1、理科数学试题 第 1 页（共 9 页） 绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 设 1i2i1iz ，则 |z A 0 B 12C 1 D 2 2 已知 集合 2 |
2、2 0 A x x x ，则 ARA | 1 2xx B | 1 2xx C | 1 | 2 x x x x U D | 1 | 2 x x x x 3 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番 . 为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后，种植收入减少 B 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后，养殖收入 增加了一倍 D 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 理科数学试题 第 2 页（共 9 页） 4 记nS为等差数列 n
3、a的前 n 项和 . 若3 2 43S S S，1 2a=， 则5a=A 12 B 10 C 10 D 12 5 设函数 32( ) ( 1 )f x x a x a x . 若 ()fx为 奇 函数，则曲线 ()y f x 在 点 (0,0) 处的切线方程为 A 2yx B yx C 2yx D yx 6 在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E为 AD 的中点，则 EBuur A 3144AB ACuuur uuurB 1344AB ACuuur uuurC 3144AB ACuuur uuurD 1344AB ACuuur uuur7 某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视
4、图如 右图 . 圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为 A，圆柱表 面上的点 N在左视图上的对应点为 B，则 在 此圆柱侧 面 上 ， 从 M到 N的 路径中，最短路径的长度 为 A 217 B 25 C 3 D 2 8 设 抛物线 2 4C y x=： 的焦点为 F ，过点 ( 2,0)- 且斜率为 23的直线与 C 交于 M， N两点，则 FM FN?uuur uuur A 5 B 6 C 7 D 8 9 已知函数 e , 0 ,() l n , 0 ,x xfx xx ( ) ( )g x f x x a . 若 ()gx存在 2 个零点，则 a 的取值范围是 A 1,0) B 0, )
5、 C 1, ) D 1, ) 10 下图来自 古希腊数学家 希波克拉底所研究的几何图形 . 此图由三个半圆构成，三个 半圆的直径 分别为 直角三角形 ABC的斜边 BC，直角边 AB， AC ABC 的三边所围成的 区域记为 ，黑色部分记为 ，其余部分记为 . 在整个图形 中 随机取一点，此点取自 ， ， 的概率分别记为1p，2p，3p，则 A 12pp B 13pp C 23pp D 1 2 3p p p 理科数学试题 第 3 页（共 9 页） 11 已知双曲线 22 13xCy： -=， O 为坐标原点 ， F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.
6、若 OMN 为直角三角形，则 |MN= A 32B 3 C 23 D 4 12已知 正方体的棱长为 1 ， 每条棱 所在直线与 平 面 所成 的 角都相等，则 截 此 正方体所得截面面积的最大值为 A 334B 233C 324D 32二 、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 ，共 20 分。 13 若 x ， y 满足约束条件 2 2 0 ,1 0 ,0,xyxyy则 32z x y 的最大值为 . 14 记nS为 数列 na的前 n项 和 . 若 21nnSa，则6S. 15 从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有 种 .（
7、用数字填写答案） 16已知 函数 ( ) 2 s i n s i n 2f x x x，则 ()fx的最小值是 . 三、解答题：共 70 分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题 ：共 60 分 。 17 （ 12 分） 在平面四边形 ABCD 中， 90ADC ， 45A ， 2AB ， 5BD . （ 1） 求 cos ADB ； （ 2） 若 22DC ， 求 BC . 18 （ 12 分） 如图， 四边形 ABCD 为正方形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中
8、点，以 DF 为折痕把 DFC 折起，使点 C 到达点 P 的 位置，且 PF BF . （ 1）证明 ： 平面 PEF 平面 ABFD ； （ 2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 . 理科数学试题 第 4 页（共 9 页） 19 （ 12 分） 设 椭圆 22 12xCy：的 右焦点 为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， 点 M 的坐标为 (2,0) . （ 1） 当 l 与 x 轴 垂直 时， 求 直线 AM 的 方程； （ 2） 设 O 为 坐标原点， 证明 ： OMA OMB . 20 （ 12 分） 某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每
9、一箱产品在交付用户之前要对产品 作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品 . 检验时， 先从这箱产品中任取 20 件作 检验 ，再根据 检验 结果决定是否对余下的 所有 产品作 检验 . 设每件产品为 不合格品 的概率都为(0 1)pp ，且各件产品是否为不 合格品 相互独立 . （ 1） 记 20 件产品中 恰 有 2 件不合格 品 的概率为 ()fp， 求 ()fp的 最大 值点0p. （ 2）现对一箱产品 检验 了 20 件，结 果 恰 有 2 件不合格 品 ，以（ 1）中确定的0p作为 p 的值 . 已知每件产品的 检验 费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要 对每件 不合
10、格品 支付 25 元的 赔偿 费用 . （ ） 若不对该箱余下的产品作 检验 ， 这一箱产品的检验费用与 赔偿费用 的和记为X，求 EX； （ ） 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据， 是否该对 这箱 余下的 所有 产品作 检验？ 21 （ 12 分） 已知函数 1( ) lnf x x a xx . （ 1）讨论 ()fx的单调性 ； （ 2） 若 ()fx存在两个极值点1x，2x，证明 ：12( ) ( ) 2f x f x axx . （二）选考题：共 10 分。 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （
11、 10 分） 在直角坐标系 xOy 中 ，曲线1C的方程为 | | 2y k x. 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为 2 2 c o s 3 0 . （ 1）求2C的 直角坐标 方程； （ 2）若1C与2C有 且仅有三 个 公共点 ，求1C的方程 . 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分） 已知 ( ) | 1 | | 1 |f x x a x . （ 1） 当 1a 时 ，求不等式 ( ) 1fx 的解集； （ 2） 若 (0, 1)x 时 不等式 ()f x x 成立 ，求 a 的取值范围 . 理科数学试题 第 5 页（共 9 页） 绝密启
12、用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 理科 数学试题参考答案 一、 选择题 1 C 2 B 3 A 4 B 5 D 6 A 7 B 8 D 9 C 10 A 11 B 12 A 二、 填空题 13 6 14 63 15 16 16 332三、 解答题 17 解： （ 1）在 ABD 中，由正弦定理得s i n s i nB D A BA A D B. 由题设知， 52,s i n 4 5 s i n A D B所以 2sin5ADB. 由题设知， 90ADB ， 所以 2 2 3c o s 12 5 5A D B . （ 2）由题设 及（ 1）知， 2c o s s i n5B D
13、C A D B . 在 BCD 中，由余弦定理得 2 2 2 2 c o s22 5 8 2 5 2 2525.B C B D D C B D D C B D C 所以 5BC . 18 解： （ 1）由已知可得 ， BF PF ， BF EF ，所以 BF 平面 PEF . 又 BF 平面 ABFD ， 所以平面 PEF 平面 ABFD . 理科数学试题 第 6 页（共 9 页） （ 2）作 PH EF ，垂足为 H . 由（ 1）得，PH 平面 ABFD . 以 H 为 坐标 原点， HFuur 的方向 为 y 轴 正方向 ， |BFuur 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 H xy
14、z . 由 （ 1）可得， DE PE . 又 2DP ， 1DE ，所以 3PE . 又 1PF ， 2EF ，故 PE PF . 可得 32PH， 32EH. 则 (0,0,0)H ， 3(0,0, )2P, 3( 1, , 0)2D ， 33(1, , )22DPuuur ， 3(0, 0, )2HPuuur 为 平面ABFD 的法向量 . 设 DP 与平面 ABFD 所成角 为 ，则 3 34s i n | |43| | | |H P D PH P D P u u ur u u uru u ur u u ur. 所以 DP 与平面 ABFD 所 成角的正弦值为 34. 19 解： （
15、1）由已知得 (1,0)F ， l 的方程 为 1x . 由 已知可得，点 A的坐标为 2(1, )2或 2(1, )2. 所以 AM的 方程为 2 22yx 或 2 22yx. （ 2）当 l与 x轴重合时， 0O M A O M B . 当 l与 x轴垂直时， OM为 AB 的垂直平分线， 所以 OMA OMB . 当 l与 x轴 不 重合 也不 垂直时 ，设 l的方程为 ( 1) ( 0 )y k x k ，11( , )Ax y，22( , )B x y，则1 2x ，2 2x ， 直线 MA， MB 的斜率之和为121222M A M Byykk xx . 由11y kx k，22y
16、 kx k得 1 2 1 2122 3 ( ) 4( 2 ) ( 2 )M A M B k x x k x x kkk xx . 理科数学试题 第 7 页（共 9 页） 将 ( 1)y k x代入 22 12x y得 2 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2 0k x k x k . 所以， 221 2 1 24 2 2,2 1 2 1kkx x x x . 则 3 3 31 2 1 2 24 4 1 2 8 42 3 ( ) 4 021k k k k kk x x k x x k k . 从而 0MA MBkk， 故 MA， MB的倾 斜 角互补 . 所以 OMA OMB . 综上， OMA
17、 OMB . 20 解： （ 1） 20 件产品中 恰 有 2 件不合格 品 的概率为 2 2 1 820( ) C (1 )f p p p. 因此 2 1 8 2 1 7 2 1 72 0 2 0( ) C 2 ( 1 ) 1 8 ( 1 ) 2 C ( 1 ) ( 1 1 0 )f p p p p p p p p . 令 ( ) 0fp ，得 0.1p . 当 (0,0.1)p 时， ( ) 0fp ；当 (0.1,1)p 时， ( ) 0fp .所以 ()fp的最大值点为0 0.1p . （ 2） 由（ 1）知， 0.1p . （ ）令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依
18、题意知 (180, 0.1)YB ，20 2 25XY ，即 40 25XY . 所以 ( 4 0 2 5 ) 4 0 2 5 4 9 0E X E Y E Y . （ ）如果对余下的产品作 检验 ，则 这一箱产 品 所需要的 检验 费为 400 元 . 由于 400EX ，故应该对余下的产品作 检验 . 21 解： （ 1） ()fx的定义域为 (0, ) ， 22211( ) 1 a x a xfx x x x . （ ）若 2a ，则 ( ) 0fx ，当且仅当 2a ， 1x 时 ( ) 0fx ，所以 ()fx在 (0, )单调递减 . （ ）若 2a ，令 ( ) 0fx 得， 2
19、 42aax 或 2 42aax . 当 2244( 0 , ) ( , )a a a ax U时 ， ( ) 0fx ； 当 2244(,)a a a ax 时 ， ( ) 0fx . 所以 ()fx 在 2 4(0, )2aa，2 4( , )2aa单调递减，在 2244( , )a a a a 单调递增 . 理科数学试题 第 8 页（共 9 页） （ 2）由（ 1）知， ()fx存在两个极值点 当且仅 当 2a . 由于 ()fx的两个极值点1x，2x满足 2 10x ax ，所以121xx，不妨设12xx，则2 1x. 由于 1 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2
20、2( ) ( ) l n l n l n l n 2 l n1 1 2 21f x f x x x x x xaaax x x x x x x x xx ， 所以12( ) ( ) 2f x f x axx 等价于2221 2 ln 0xxx . 设函数 1( ) 2 lng x x xx ， 由 （ 1） 知， ()gx在 (0, ) 单调递减 ，又 (1) 0g ， 从而 当 (1, )x 时， ( ) 0gx . 所以2221 2 lnxxx 0，即12( ) ( ) 2f x f x axx . 22 解： （ 1）由 cosx ， siny 得2C的 直角坐标 方程 为 22( 1)
21、 4xy . （ 2）由（ 1）知2C是圆心为 ( 1,0)A ，半径为 2 的圆 . 由题设知，1C是过点 (0,2)B 且关于 y 轴对称的两条射线 . 记 y 轴右边的射线为1l，y 轴左边的射线为 2l . 由于 B 在圆 2C 的外面，故 1C 与 2C 有 且仅有三 个 公共点等价于 1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点 . 当1l与2C只有一个公共点时， A 到1l所在直线的距离为 2 ，所以2| 2 | 21kk，故43k 或 0k . 经检验，当 0k 时， 1l 与 2C 没有公共点；当 43k 时， 1l 与
22、 2C 只有一个公共点，2l与2C有两个公共点 . 当2l与2C只有一个公共点 时， A 到2l所在直线的距离为 2 ，所以2| 2 | 21kk ，故0k 或 43k. 经检验，当 0k 时，1l与2C没有公共点；当 43k时，2l与2C没有公共点 . 综上，所求1C的 方程为 4 | | 23yx . 理科数学试题 第 9 页（共 9 页） 23 解 ： （ 1） 当 1a 时 ， ( ) | 1 | | 1 |f x x x ，即 2 , 1 ,( ) 2 , 1 1 ,2 , 1 .xf x x xx 故 不等式 ( ) 1fx 的解集为 1 | 2xx. （ 2） 当 (0, 1)x 时 | 1 | | 1 |x ax x 成立等价于当 (0, 1)x 时 | 1| 1ax 成立 . 若 0a ，则当 (0, 1)x 时 | 1| 1ax ； 若 0a ， | 1| 1ax 的解集为 20 xa，所以 2 1a，故 02a . 综上， a 的取值范围为 (0,2 .
