1、 2011 年中考数学压轴题精选 【 1】一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m 2， 0)， B(m 2， 0)两点，记抛物线顶点为 C，且 AC BC (1)若 m 为常数，求抛物线的解析式； (2)若 m 为小于 0 的常数，那么 (1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？ (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得 BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 【 2】若 P 为 ABC 所在 平面上一点，且 120A P B B P C C P A ，则点 P 叫做ABC 的费马点 . （ 1）若点 P 为锐角 ABC 的费
2、马点，且 60A B C P A P C ， 3 ， 4，则 PB 的值为_； （ 2）如图，在锐角 ABC 外侧作等边 ACB 连结 BB . 求证： BB 过 ABC 的费马点 P ，且 BB = PA PB PC. 【 3】 如图（ 1），将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E （不与点 C ， D 重合），压平后得到折痕 MN 当 12CECD时，求 AMBN的值 类比归纳 在图（ 1）中，若 13CECD ，则 AMBN的值等于 ；若 14CECD ，则 AMBN的值等于 ；若 1CECD n（ n 为整数），则 AMBN的值等于 （用含 n 的式子表示）
3、联系拓广 如图（ 2），将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E （不与点 CD， 重合），压平后得到折痕 MN， 设 111A B C EmB C m C D n ， ，则 AMBN的值等于 （用含mn， 的式子表示）第 1 题 BDACO xyA C B B 第 2 题 方法指导： 为了求得 AMBN的值，可先求 BN 、 AM 的长，不妨设： AB =2 图（ 2） N A B C D E F M 图（ 1） A B C D E F M N 【 4】 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点 (02)A ， ，点 (
4、10)C， ，如图所示：抛物线 2 2y ax ax 经过点 B （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求抛物线的解析式； （ 3）在抛物线上是否还存在点 P （点 B 除外），使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【 5】 如图，已知抛物线 2 1yx与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C （ 1）求 A、 B、 C 三点的坐标 （ 2）过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积 （ 3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG x 轴于点 G，使以 A、 M、 G三
5、点为顶点的三角形与 PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由 【 6】如图（ 1），已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方， BC 在直线 MN 上， E 是 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG （ 1）连接 GD，求证： ADG ABE； (4 分 ) （ 2）连接 FC，观察并猜测 FCN 的度数，并说明理由； (4 分 ) （ 3）如图（ 2），将图（ 1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD， AB=a， BC=b（ a、 b 为常数），E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、 C） ，以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形
6、AEFG， 使顶点 G 恰好落在射线 CD 上判断当点 E 由 B 向 C 运动时， FCN 的大小是否总保持不变，若 FCN 的大小不变，请用含 a、 b 的代数式表示 tan FCN 的值；若 FCN 的大小发生改变，请举例说明 (5 分 ) B A C x y （ 0， 2） （ 1， 0） （第 4 题） 5 题 C P B y A o x 【 7】 如图 12，已知抛物线 2 43y x x 交 x 轴于 A、 B 两点，交 y 轴于点 C， 抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，点 B 的坐标为（ 1 ， 0） （ 1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标； （ 2）在平面直角坐标系 xo
7、y 中是否存在点 P，与 A、 B、 C 三点构成一个平行四边形？若存在，请 写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 ； （ 3）连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D，在抛物线上是否存在点 M，使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线 CM 的解析式；若不存在，请说明理由 【 8】如图，抛物线 21 24y x x 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B （ 1）求点 A、点 B 的坐标 （ 2）若点 P 是 x 轴上任意一点，求证： PA PB AB （ 3）当 PBPA 最大时，求点 P 的坐标 【 9】 矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 13
8、 所示， AC、 两点的坐标分别为 (60)A ， ，N M B E C D F G 图（ 1） 图（ 2） M B E A C D F G N O D B C A x y E 图 12 B O A x y 第 8 题 (0 3)C ， ，直线 34yx 与 BC 边相交于 D 点 （ 1）求点 D 的坐标； （ 2）若抛物线 2 94y ax x经过点 A ，试确定此抛物线的表达式； （ 3）设（ 2）中的抛物线的对称轴与直线 OD 交于点 M ，点 P 为对称轴上一动点，以P O M、 、 为顶点的三角形与 OCD 相似，求符合条件的点 P 的坐标 【 10】我们所学的几何知识可以理解为
9、对“构图”的研究 ： 根据给定的（或构造的）几何图 形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究 . 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法） . 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究： (1) 如图 1，在圆 O 所在平面上，放置 一条 直线 m （ m 和圆 O 分别交于点 A、 B），根据这个图形可 以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？ (2) 如图 2，在圆 O 所在平面上，请你放置与圆 O 都相交且 不同时经过
10、圆心 的 两条 直线 m 和 n （ m 与圆 O 分别交于点 A、 B， n 与圆 O 分别交于点 C、 D） . 请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之 . (3) 如图 3，其中 AB 是 圆 O 的 直径， AC 是弦， D 是 的中点，弦 DE AB 于点F. 请找出点 C 和点 E 重合的条件，并说明理由 . y O 3 C D B 6 A x 34yx第 9 题 ABC A B O m 第 25 题图 1 O 第 25 题图 2 A B O E 第 25 题图 3 D C F G D C 精选 10 道压轴题答案 【 1】解： (1)设抛物线的解析式为： y a(x m 2)
11、(x m 2) a(x m)2 4a 2 分 AC BC，由抛物线的对称性可知： ACB 是等腰直角三角形，又 AB 4， C(m， 2)代入得 a 12 解析式为： y 12(x m)2 2 5 分 (亦可求 C 点，设顶点式 ) (2) m 为小于零的常数， 只需将抛物线向右平移 m 个单位，再向上平移 2 个单位，可以使抛物线 y 12(x m)2 2 顶点在坐标原点 7 分 (3)由 (1)得 D(0， 12m2 2)，设存在实数 m，使得 BOD 为等腰三角形 BOD 为直角三角形， 只能 OD OB 9 分 12m2 2 |m 2|，当 m 2 0 时，解得 m 4 或 m 2(舍
12、 ) 当 m 2 0 时，解得 m 0(舍 )或 m 2(舍 )； 当 m 2 0 时，即 m 2 时， B、 O、 D 三点重合 (不合题意，舍 ) 综上所述：存在实数 m 4，使得 BOD 为等腰三角形 12 分 【 2】解： （ 1） 2 3 . 2 分 （ 2）证明：在 BB 上取点 P ，使 120BPC ， 连结 AP ，再在 PB 上截取 PE PC ，连结 CE 120BPC， 60EPC ， PCE 为正三角形， 60P C C E P C E C E B ， ，=120 ， ACB 为正三角形， AC BC ACB， =60 ， P C A A C E A C E E C
13、B =60 ， P C A E C B ， ACP B CE APC B 120C E P A E B ， ， 120A P B A P C B P C ， P 为 ABC 的费马点， BB 过 ABC 的费马点 P ，且 BB =EB + P B P E P A P B P C 2 分 【 3】 解： 方法一： 如图 （ 1-1），连接 BM EM BE， ， 由题设，得四边形 ABNM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称 MN 垂直平分 BE B M E M B N E N， 1 分 四边形 ABCD 是正方形， 9 0 2A D C A B B C C D D A , 1 12CE
14、 C E D ECD ， 设 BN x ， 则 NE x ， 2NC x A C B P E 第（ 25）题 B N 图（ 1-1） A B C D E F M 在 Rt CNE 中， 2 2 2N E C N C E 22221xx 解得 54x，即 54BN 3 分 在 Rt ABM 和在 Rt DEM 中， 2 2 2A M A B B M， 2 2 2D M D E E M， 2 2 2 2A M A B D M D E 5 分 设 AM y ， 则 2DM y， 22 2 22 2 1yy 解得 14y ，即 14AM 15AMBN 7 分 方法二： 同方法一， 54BN 3 分 如
15、图（ 1 2），过点 N 做 NG CD ， 交 AD 于点 G ，连接 BE AD BC ， 四边形 GDCN 是平行四边形 NG CD BC 同理，四边形 ABNG 也是平行四边形 54AG BN 90M N B E E B C B N M ， 90N G B C M N G B N M E B C M N G ， ， 在 BCE 与 NGM 中 90E B C M N GB C N GC N G M ， B C E N G M E C M G ， 分 114A M A G M G A M 5， = 4 15AMBN 7 分 类比归纳 25 （或 410 ）； 917 ； 22 11nn
16、2222211n m nnm 【 4】（ 1）过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D ， 9 0 9 0B C D A C O A C O C A O ， B C D C A O ； 又 90B D C C O A C B A C ；， B C D C A O ， 12B D O C C D O A ， 点 B 的坐标为 ( 31)， ； 4 分 N 图（ 1-2） A B C D E F M G （ 2）抛物线 2 2y ax ax 经过点 ( 31)B， ，则得到 1 9 3 2aa ， 5 分 解得 12a，所 以抛物线的解析式为 211 222y x x ； 7 分 （ 3）假设存在点
17、 P ，使得 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形： 若以点 C 为直角顶点； 则延长 BC 至点1P，使得1PC BC，得到等腰直角三角形1ACP， 8 分 过点1P作1PM x轴，1 1 1 90C P B C M C P B C D P M C B D C ， ， ； 1M P C D B C 121M C D P M B D ，可求得点1P(1， -1)； 11 分 若以点 A 为直角顶点； 则过点 A 作2AP CA，且使得2AP AC，得到等腰直角三角形2ACP， 12 分 过点2P作2PN y轴，同理可证2A P N C A O ； 13 分 2 21N P O A
18、A N O C ，可求得点2(21)P ，； 14 分 经检验，点1(1 1)P ，与点2(21)P ，都在抛物线 211 222y x x 上 16 分 【 5】 解：（ 1）令 0y ，得 2 10x 解得 1x ， 令 0x ，得 1y A( 1,0) B(1,0) C(0, 1) 3 分 （ 2） OA=OB=OC=1 BAC= ACO= BCO=45 AP CB， PAB=45 ， 过点 P 作 PE x 轴于 E， 则 APE 为等腰直角三角形 令 OE=a ，则 PE= 1a P( , 1)aa 点 P 在抛物线 2 1yx上 211aa 解得1 2a，2 1a （不合题意，舍去
19、） PE=3 4 分 四边形 ACBP 的面积 S =12ABOC+12ABPE= 112 1 2 3 422 5 分 (3) 假设存在 PAB= BAC =45 PA AC MG x 轴于点 G， MGA= PAC =90 E C B y P A ox 在 Rt AOC 中， OA=OC=1 AC= 2 ， 在 Rt PAE 中， AE=PE=3 AP= 32 6 分 设 M 点的横坐标为 m ，则 M 2( , 1)mm 点 M 在 y 轴左侧时，则 1m ( ) 当 AMG PCA 时，有 AGPA= MGCA AG= 1m， MG= 2 1m 即 2113 2 2mm 解得 1 1m
20、（舍去） 2 23m （舍去） 7 分 ( ) 当 MAG PCA 时有 AGCA= MGPA即 2112 3 2mm ，解得： 1m （舍去） 2 2m M( 2,3) 8 分 点 M 在 y 轴右侧时，则 1m ( ) 当 AMG PCA 时有 AGPA= MGCA AG= 1m ， MG= 2 1m 2113 2 2mm 解得 1 1m （舍去） 2 43m M 47( , )39 ( ) 当 MAG PCA 时有 AGCA= MGPA即 2112 3 2mm 解得：1 1m （舍去） 2 4m M(4,15) 存在点 M，使以 A、 M、 G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 ， M
21、 点的坐标为 ( 2,3) ， 47( , )39， (4,15) 【 6】 解：（ 1）四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 AB=AD， AE=AG， BAD EAG 90 BAE EAD DAG EAD BAE DAG BAE DAG 4 分 （ 2） FCN 45 5 分 理由是：作 FH MN 于 H AEF ABE 90 BAE + AEB 90， FEH+ AEB 90 FEH BAE 又 AE=EF， EHF EBA 90 G M C B y P A ox G M C B y P A ox M B E A C N D F G 图（ 1） H EFH ABE 7 分 F
22、H BE， EH AB BC， CH BE FH FHC 90， FCH 45 8 分 （ 3） 当点 E 由 B 向 C 运动时， FCN 的大小总保持不变， 9 分 理由是：作 FH MN 于 H 由 已知可得 EAG BAD AEF 90 结合（ 1）（ 2）得 FEH BAE DAG 又 G 在射线 CD 上 ， GDA EHF EBA 90 EFH GAD， EFH ABE 11 分 EH AD BC b， CH BE， EH AB FHBE FHCH 在 Rt FEH 中， tan FCN FHCH EH AB ba 当点 E 由 B 向 C 运动时， FCN 的大 小总保持不变，
23、 tan FCN ba 【 7】 （ 1） 对称轴 4 22x （ 2 分） 当 0y 时，有 2 4 3 0xx ， 解之，得 1 1x ，2 3x 点 A 的坐标为（ 3 ， 0） （ 4 分） （ 2）满足条件的点 P 有 3 个，分别为（ 2 ， 3），（ 2， 3），（ 4 ， 3 ） （ 7 分） （ 3）存在当 0x 时， 2 4 3 3y x x 点 C 的坐标为（ 0， 3） DE y 轴， AO 3， EO 2， AE 1， CO 3 AED AOC AE DEAO CO即 133DE DE 1 （ 9 分） DEOCS 梯 形 1 (1 3) 22 4 在 OE 上找点
24、F，使 OF 43，此时COFS 14323 2，直线 CF 把四边形 DEOC 分成面 积相等的两部分，交抛物线于点 M （ 10 分） 设直线 CM 的解析式为 3y kx，它经过点 4 03F，则 4 303 k （ 11 分） 解之，得 94k 直线 CM 的解析式为 9 34yx（ 12 分 【 8】 解：（ 1）抛物线21 24y x x 与 y 轴的交于点 B，令 x=0 得 y=2 B（ 0， 2） 22112 ( 2 ) 344y x x x A（ 2， 3） （ 2）当点 P 是 AB 的延长线与 x 轴交点时， ABPBPA 当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与
25、 x 轴的交点时， M B E A C N D F G 图（ 2） H B O A x y 第 28 题图 P H 在点 P、 A、 B 构成的三角形中， ABPBPA 综合上述： PA PB AB （ 3）作直线 AB 交 x 轴于点 P，由（ 2）可知：当 PAPB 最大时，点 P 是所求的点 8 分 作 AH OP 于 H BO OP， BOP AHP AH HPBO OP由（ 1）可知： AH=3、 OH=2、 OB=2， OP=4，故 P（ 4， 0） 【 9】 解：（ 1）点 D 的坐标为 (4 3)， （ 2 分） （ 2）抛物线的表达式为 23984y x x （ 4 分） （
26、 3）抛物线的对称轴与 x 轴的交点1P符合条件 OA CB ， 1P O M C D O 1 90O P M D C O ， 1R t R tP O M C D O （ 6 分） 抛物线的对称轴 3x ， 点1P的坐标为1(30)P ， （ 7 分） 过点 O 作 OD 的垂线交抛物线的对称轴于点2P 对称轴平行于 y 轴， 2P M O D O C 2 90P O M D C O ， 21R t R tP M O D O C （ 8 分） 点2P也符合条件，2O P M O D C 1 2 13 9 0P O C O P P O D C O ， ， 21R t R tP P O D C O
27、 （ 9 分） 12 4P P CD 点2P在第一象限， 点2P的坐标为2P (34)， y O 3 C D B 6 A x 34yx M P1 P2 符合条件的点 P 有两个，分别是1(30)P ，2P (34)， （ 11 分） 【 10】 解： (1) 弦（图中线段 AB）、弧（图中的 ACB 弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等 . （ 写对一个给 1 分， 写对两个 给 2 分 ） (2) 情形 1 如图 21， AB 为弦， CD 为垂直于弦 AB 的直径 . 3 分 结论：（垂径定理的结论之一） . 4 分 证明：略 （对照课本的证明过程给分） . 7 分 情形 2 如图
28、 22， AB 为弦， CD 为弦，且 AB 与 CD 在圆内相交于点 P. 结论： PDPCPBPA . 证明：略 . 情形 3 （图略） AB 为弦， CD 为弦，且 m 与 n 在圆外相交于点 P. 结论： PDPCPBPA . 证明：略 . 情形 4 如图 23， AB 为弦， CD 为弦，且 AB CD. 结论： = . 证明： 略 . （ 上面四种情形中做一个即可，图 1 分，结论 1 分，证明 3 分； 其它正确的情形参照给分；若提出的是错误的结论，则需证明结论是错误的 ） (3) 若点 C 和点 E 重合， 则由圆的对称性，知点 C 和点 D 关于直径 AB 对称 . 8 分
29、设 xBAC ，则 xBAD ， xABC 90 .9 分 又 D 是 的中点，所以 AB CAC DC A DC A D 1802 ， 即 )90(1 8 022 xx .10 分 解得 30BACx .11 分 （ 若求得 ACAB23或 FBAF 3 等也可，评分可参照上面的标准；也可以先直觉猜测点 B、 C 是圆的十二等分点，然后说明 ） 整理人：太安中学 徐 海 声明：此 10 道题并非本人原创。 O n D A C B m 第 25 题图 21 P ABCAD BCA B O E 第 25 题图 3 D C F G O 第 25 题图 22 n D A C B m P O 第 25 题图 23 n D A C B m
