1、 1 / 11 模块一 有理数基本概念 定 义 示例剖析 正数 ：像 3 、 1 、 0.33 等的数，叫做正数 在小学学过的数，除 0 外都是正数 正数都大于 0 负数 ：像 1 、 3.12 、 175、 2008 等在正数前加上“ ” （读作负）号的数，叫做负数 负数都小于 0 0 既不是正数，也不是负数 正数： 1， 2.5， 43， 负数： 1 ， 5 ， 12， 一个数字前面的 “ ” ， “ ”号叫做它的符号 正数前面的 “ ” 可以省略，注意 3 与 3 表示是同一个正数 用正、负数表示 相反意义的量 ： 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然 “ 相反意义
2、的量 ” 包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量 譬如：用正数表示向南，那么向北 3km 可以用负数表示为 3km 有理数 ： 整数与分数统称有理数 () 正 整 数自 然 数整 数 零有 理 数 按 定 义 分 类 负 整 数正 分 数分 数负 分 数() 正 整 数正 有 理 数正 分 数有 理 数 按 符 号 分 类 零负 整 数负 有 理 数负 分 数正整数： 1， 2， 10， 负整数： 3 ， 6 ， 15 ， 正分数： 23， 1.5， 0.3 ， 负分数： 15， 3.25 ， 1.62 ， 注： 正数和零统称为非负数； 负数和零统称为非正数； 正整数和零
3、统称为非负整数； 负整数和零统称为非正整数 【夯实基础】 【例 1】 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ） A节约汽油 10 升和浪费粮食 10kg B向东走 8 公里和向北走 8 公里 C收入 300 元和支出 100 元 D身高 180cm 和身高 90cm 第一讲 有理数与数轴 2 / 11 规定向前、收入为正，后退、支出为负，那么下面四个语句中错误的是（ ） A 前进 18 米的意义是后退 18 米 B 4 万元的意义是亏损 4 万元 C 收入的相反意义是支出 D 后退 4 米的意义是前进 4 米 如果零上 5 记作 5 ，那么零下 5 记作（ ） A 5 B 10 C 5 D 10
4、 如果水位升高 4m 时水位变化记作 4m ，那么水位下降 3m 记作 _m ， 水位不升不降时水位变化记作 _m . 甲 ， 乙两地的海拔高度分别为 200 米， 150 米，那么甲地比乙地高出（ ） A 200 米 B 50 米 C 300 米 D 350 米 学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有 “ 600 30 （ ml ） ” 字样，请问“ 600 30ml ” 是什么含义？质检局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 603ml ， 611ml ， 589ml ， 573ml ， 627ml ，问抽查产品的容量是否合格？ 在下表适当的空格里打上 “ ” 号 整数 分数 正数 负整
5、数 正分数 非负数 非负整数 无理数 0 1.5 14 0.62 3 0.31 98 【解析】 C； B； C； 3 ， 0； D； “ 600 30 ml ” 表示每瓶饮料容量最小可以是 600 30 ml ，最大可以是 600+30 ml ，抽出的 5 瓶容量均在 600 30 ml 与 600 30 ml 之间，因此合格 整数 分数 正数 负整 数 正分 数 非负 数 非负整 数 无理 数 0 1.5 14 0.62 3 0.31 98 3 / 11 【能力提升】 【例 2】 一种 零件 的长度在图纸上是 0.050.0520米，表示这种零件加工要求最大 不超过 米，最小不小于 米 （北
6、京师范大学附属实验中学） 1 是（ ） A 最小的整数 B最小的正整数 C最小的自然数 D最小的有理数 4.5 ， 6 ， 0 ， 2.4 ， ， 12， 0.313 ， 3.14 ， 11 ， 以上各数中 属于负数 ， 属于非正数 ， 属于非负有理数 . 在 15， 38， 0.15， 30 ， 12.8 ， 225中，负分数的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 （人大附中期中） 【解析】 20.05 19.95 B 属于负数的有： 4.5 ， 12， 0.313 ， 11 ； 属于非正数的有： 4.5 ， 0 ， 12， 0.313 ， 11 ； 属于非负有理数： 6， 0， 2
7、.4 ， 3.14 B .模块二 数轴 定 义 示例剖析 数轴：规定了 原点 、 正方向 和 单位长度 的直线 原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表 “ 1” 的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变 数轴的画法 画一条水平的直线； 在这条直线上适当位置取一实心点作为原点： 确定向右的方向为正方向，用箭头表示； 选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致 画数轴的常见
8、错误： 没有 原点 没有正方向 没有原点 单位长度不统一 - 1 102 31 202 3 44 / 11 没有单位长度 有理数与数轴的关系： 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来 注意：数轴上的点不都代表有理数，如 利用数轴比较有理数的大小： 数轴上右边的 点所对应的 数总大于左边的 点所对应的 数 因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数 01ba 【夯实基础】 【例 3】 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用 “ ” 连接 115 3 . 5 1 4 0 2 . 522 ， ， ， ， ， ， （ 北京 101 中学期中） 45和 0.9 的大小关系是 ： 45_ 0.9 数轴
9、上与原点 的 距离是 3 个单位长度的点所表示的数是 _ （北京四中期中） 数轴上点 A 对应的数为 3 ，那么与 A 相距 1 个单位长度的点 B 所对应的数是_ 数轴上的点 A 、 B 分别表示数 3 和 1 ，点 C 是 AB 的中点，则点 C 所表示的数是_ （人大附中单元测试） 如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的 整数为 在数轴上任取一条长度为 119999的线段， 则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 . 【解析】 先画出数轴，在数轴上标注所有的数（如图所示），在数轴上，右边的数总比左边的 数大，故 113 . 5 1 0 2 . 5 4 522
10、. ； 3 ； 4 或 2 ; 1 ; 1 ， 0 ， 1， 2; 2000 0- 1 43210b a0 1- 3 . 5 - 112 + 542 . 5120- 4 - 3 - 2 - 1 543210-1 .3 2.65 / 11 【能力提升】 【例 4】 在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了 2 个单位长度，再向左移动 3 个单位长 度后到达终点，此时这个点表示的数是（ ） A 5 B 1 C 1 D 5 一个点从数轴 上表示 2 的点 开始，先向右移动 1 个单位长度，再向左移动 2 个单位 长度，则终点表示的数是 _ 数轴上的点 A 对应的数是 1 ，一只蚂蚁从 A 点出发沿着
11、数轴向右以每秒 3 个单位长 度的速度爬行至 B 点后，用 2 秒的时间吃光了 B 点处的蜜糖，又沿原路 以原速度 返回 A 点，共用去 6 秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？ B 点与 A 点的距离是多少个单位长度？ B 点对应的数是多少？ 【解析】 C； 3 ； 蚂蚁 6s 共爬行 12 个单位长度； B 点到 A 点的距离为 6 个单位长度； B 点对应的数是 5 【例 5】 已知数轴上有 A、 B 两点，它们之间的距离为 1，点 A 与原点的距离为 3，那么点 B 所对应的数为 . 在数轴上， N 点和 O 点的距离是 N 点与 30 所对应点之间的距离的 4 倍，那么 N 点 表示
12、的数是 _. 已知下图中数轴上线段 MO(O 是原点 )的七等分点 A、 B、 C、 D、 E、 F 中，只有两 点对应的数是整数，点 M对应的数 m 10 ，那么 m可以取的不同值有 个，m 的最小值为 . 【解析】 4 或 2 或 2 或 4 . N 点与 O 点的距离是 N 点与 30 所对应点之间的距离的 4 倍 . 若 N 点在数 0 和 30 之间，设 N 点到 O 点的距离为 x，则 5x=30， x=6.所以 N=24. 若 N 点在 30 右边，设 N 点到 O 点的距离为 x，那么 N 点到 30 所对应的点的距离即为 x， O 点到 30 所对应的点的距离为 3x，则 3
13、x=30， x=10. 所以 4x=40.N=40. N 点表示的数是 24 或 40. 七等分点 A、 B、 C、 D、 E、 F 中，只有两点对应的数是整数，故可分以下几种情况讨论： 若点 F 为整数，则有点 A、 B、 C、 D、 E 均为整数，不符合题意； 若点 E 为整数，则有点 A 和点 C 都为整数，也不符合题意； 若点 D 为整数，则点 A 为整数，符合题意； 若点 A 或点 B 或点 C 为整数，则都只有一点为整数，不符合题意 . 通过以上的分析，可以发现只有点 A 和点 D 对应的数为整数 . 54BA1 2 30- 1OFEDCBAM6 / 11 由题意得：对应的数为整数
14、的两点为点 A 和点 D， 73m为整数，且7m和72m都不为整数，又 0 m 10 ， 解得：328m或314或37. 【拓展】如图，已知数轴上 A 、 B 、 C 、 D 四点对应的实数都是整数，每相邻两个点相距 1 个单位，如果 A 对应的实数为 a ， B 对应的实数为 b ，且 29ba，那么数轴上的原点应该是 A 、 B 、 C 、 D 中的哪一点？ 【解析】 从数轴上可以看出： ba ，且 4ba ，由于 29ba，所以 5a ， 所以比 a 大 5的 c 是原点。 模块三 相反数、倒数 定 义 示例剖析 相反数： 只有符号不同 的两个数互称为相反数特别地， 0 的相反数是 0
15、相反数必须成对出现，不能单独存在 例如 ： 5 和 5 互为相反数，或者说 5 是5 的相反数， 5 是 5 的相反数 ； 例如 ： 3 与 3 互为相反数，而 3 与 2 虽然符号不同，但它们不是相反数 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上 “ ” 号即可 一般地，数 a 的相反数是 a ；这里以 a 表示任意一个数，可以为正数、 0、负数，也可以是任意一个代数式注意 a 不一定是负数 当 0a 时， 0a；当 0a 时， 0a；当 0a时， 0a 例如： 3 的相反数为 3 3 的相反数为 ( 3) 0 的相反数为 0 ( 3) 0 互为相反数的两个数的和为零，即若 a 与 b 互
16、为相反数，则 0ab ； 反之，若 0ab ，则 a 与 b 互为相反数 一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等 例如： 3 与 3 互为相反数，则 3+(3) =0 多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“ ” 号，都可以全部去掉； 一个正数前面有偶数个 “ ” 号，也可以把“ ” 号全部去掉； 一个正数前面有奇数个 “ ” 号，则化简后只保留一个 “ ” 号， 即 “ 奇负偶正 ” （其中 “ 奇偶 ” 是指正数前面的 “ ” 号的个数的奇偶数， “ 负正 ” 是指化简的最后结果的符号） 例如： + +6 6 66 55 （ - ） DCBA4- 4 07 / 11
17、倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数 a ， b 互为倒数，则 1ab ；反之亦然 负倒数：乘积为 1 的两个数互为负倒数 若 a ，b 互为负倒数，则 1ab 反之亦然 例如： 1313， 3 与 13互为倒数 . 若 1313 ,则 3 与 13互为负倒数 . 倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数； 互为倒数的两个数的乘积一定是 1 ； 0 没有倒数； 求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可 . 【夯实基础】 【例 6】 7 的相反数（ ） A 17B 7 C 17D 7 （北京市中考题） 下列正确的是（ ） A一个数的相反数一定是负数 B 和 3.14 互为相反数 C 所
18、有的有理数都有相反数 D 13 和 31互为相反数 如果 0a ，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ()a ； ()a ； ()a ； ()a ； a 3 的倒数 是 （ ） A 13B 13C 3 D 3 （北京市中考题） 【解析】 D C aa ，正数； aa ，负数； aa ，负数 ； a ，正数； =aa ，正数 选 A 【能力提升】 【例 7】 37与 互为相反数； 12a是 的相反数 2 的相反数是 ； 4b 是 的相反数 4 5 与 互为相反数， ab 与 互为相反 数， 7 bc 与 互为相反数 【解析】 37， 12a； 2 ， 4b ； 4 ； 5， ab， 7 b
19、c 8 / 11 【例 8】 若3a与 273a互为相反数，则 a 若 x 、 y 都是有理数，且使得四个两两不相等的数 4x 、 2x 、 27y 、 y 能分成两 组，每组的两个数是互为相反数，则 xy 的值等于 【解析】 73 ； 有两对相反数，初看没法确定 4 个数中谁是谁的相反数，但是从整体考虑，由于 互为相反数的两个数的和为 0，所以 这 4 个数的和仍为 0，即 4 + 2 2 7 0x x y y ，得到 1xy 【例 9】 已知有理数 a、 b 在数轴上表示如图，现比较 a、 b、 a 、 b 的大小，正确的是（ ） A a b a b B a b b a C b a a b
20、 D a b b a 已知 ,ab为有理数，且 0a ， 0b ， 0ab ，将四个数 , , ,a b a b 按由小到大的顺序排列是 【解析】 C 借助数轴标出 ,ab的大概位置，知 b a a b 【探索创新】 【例 10】 探究数字黑洞：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌比如：任意找一个 3 的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加得到一个新数，然后把这个新数的每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能
21、得到一个固定不变量的数 T ，我们称它为数字“黑洞”， T 为何具有如此魔力？通过认真观察、分析，你一定能发现它的奥秘请问，数字“黑洞” T 【解析】 从一个具体的数操作，发现规律； 例如选择数字 3，进行一次运算后的结果 是 2733 ； 进行第二次运算后的结果是 35172 33 ； 进行第三次运算后的结果是 153153 333 ； 进行第四次运算后的结果是 153351 333 ； 所以结果 T 153 a b09 / 11 【例 11】 电子跳蚤落在数轴上的某点 0K ，第一步从 0K 向左跳 1 个单位到 1K ，第二步由 1K 向右跳 2 个单位到 2K ，第三步由 2K 向左跳
22、 3 个单位到 3K ，第四步由 3K 向右跳 4 个单位到 4K ，按以上规律跳了 100 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 100K 所表示的数恰是19.94，试求 电子跳蚤的初始位置 0K 点所表示的数 . 【解析】 0630. .设 0K 点表示的有理数为 x，则 1K ， 2K ， 100K 点所表示的有理数分别为 1x ， 21x ， 321 x ， 100994321 x ，由题意得： 94191 0 0994321 .x ，解得 0630.x . 【例 12】 动点 A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点 B 也从原点出发向数轴正方向运动，3 秒后，两点相距 15 个单位长度已
23、知动点 A ， B 的速度比是 1:4 ，（速度单位：单位长度 /秒） 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出 A ， B 两点从原点出发运动 3 秒时 的位置 若 A ， B 两点从 中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？ 若 A ， B 两点从 中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点 C 也同时从 B 点位置出发向 A 点运动，当遇到 A 点后，立即返回向 B 点运动，遇到 B 点后又立即返回向 A 点运动，如此往返，直到 B 追上 A 时，点 C 立即停止运动若点 C 一直以 20 单位长度 /秒的速度匀速运动，那么点 C 从开始运动到停止运动，行驶的路程
24、是多少个单位长度？ （ 北京 东城 区 期末） 【解析】 设 A 的速度为 x 单位长度 /秒， B 的速度为 4x 单位长度 /秒 依题意， 3( 4 ) 15xx 1x 即： A 的速度为 1 单位长度 /秒， B 的速度为 4 单位长度 /秒 3 秒时， A 的位置在 3 ， B 的位置在 12 设 x 秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？ 12 4 31.8xxx 设 y 秒后 B 追上 A ，依题意， 4 155yyy 20 5 100 点 C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是 100 个单位长度 x0 3 6 9 12-3-6-9- 1 210 / 11 课后创新培养 【实战演练
25、】 知识 模块 一 有理数基本概念 课后演练 【演练 1】 一天早上 的气温是 7 ，中午上升了 11 ，半夜又下降了 9 ， 那么半夜的气温 是（ ） A 5 B 5 C 13 D 13 （八中期中） 如果节约 16 吨水记作 +16 吨，则浪费 6 吨水 记作 下列说法正确的是（ ） A有最小的负整数，没有最小的正 整 数 B有最小的负数，没有最大的正数 C有最大的负数，没有最小的正数 D有最大的负整数 ， 没有最大的正整数 （十一学校期中） 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号： 2.4 ， 3， 2.008， 103， 114， 0.15 ， 0， 2 ， 3.14 正有理数数集合：
26、 非负整数集合： 负分数集合： 【解析】 A； 6 吨 ； D； 正有理数： 3， 2.008， 114， 2 ， 3.14 非负整数： 3， 0， 2 ； 负分数： 2.4 ， 103， 0.15 【演练 2】 检验 5 个排球，其中 超 过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数这 5 个排球的记数分别为 ： 1 号球， +5； 2 号球， +0.7； 3 号球， 0.6 ； 4 号球， 3.5 ； 5 号球，+2.5从轻重的角度看，最轻的球是 号球，最接近标准的球是 号球 （八中期中） 【解析】 4； 3. 知识 模 块二 数轴 课后演练 【演练 3】 数轴 上，点 ,AB分别表示 3 和
27、 5，则线段 AB 的 中 点 所表示的数是 11 / 11 【解析】 1 【演练 4】 有理数 a ， b 在数轴 上 的对应点的位置如图所示：则（ ） A 0ab B 0ab C 0ab D 0ab 【解析】 A 知识 模块 三 相反数，倒数 课后演练 【演练 5】 6 的 相反数 是 ， 427的倒数是 ， 4 的倒数的相反数是 ； （北京师范大学附属实验中学） a 的相反数为 2，则 a ； ab 的相反数 【解析】 6， 718， 14； 2； ab 【演练 6】 如图所示，若点 A 是有理数 a 在数轴上对应的点，则 a 、 a 、 1 的大小关系是 【解析】 1aa ba - 11010A
