1、 1 二次函数中的最值问题重难点复习 一般地，如果 cbacbxaxy ,(2 是常数， )0a ，那么 y 叫做 x 的 二次函数 . 二次函数 2y ax bx c 用配方法可化成： 2()y a x h k 的形式 khxay 2 的形式，得到顶点为 (h ,k )，对称轴是 hx . abacabxacbxaxy442222 ，顶点是 ），（ a bacab 442 2 ，对称轴是直线 abx 2 . 二次函数常用来解决最 值 问题，这类问题实际上就是求函数的最大 (小 )值 。一般而言， 最大 (小 )值 会在顶点处取得，达到 最大 (小 )值 时的 x 即为顶点横坐标值， 最大 (
2、小 )值 也就是顶点纵坐标值。 自变量 x 取任意实数时的最值情况 （ 1） 当 0a 时，函数在2bx a处取得最小值 244ac ba，无最大值； （ 2） 当 0a 时，函数在2bx a处取得最大值 244ac ba，无最小值 （ 3） 二次函数最大值或最小值的求法 第一步 ： 确定 a 的符号， 0a 有最小值， 0a 有最大值； 第二步 ： 配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值 2.自变量 x 在某一范围内的最值 如： 2y a x b x c 在 m x n （其中 mn ）的最值 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴 ：0 2bxx a ； 第二步：讨论： 1若
3、0a 时求最小值 （ 或 0a 时求最大值 ） ，需分三种情况讨论： (以 0a 时求最小值 为例 ) 对称轴小于 m 即0xm，即对称轴在 m x n 的左侧 ，在 xm 处取最小值 2m i ny a m b m c ； 对称轴0m x n，即对称轴在 m x n 的内部 ，在0xx处取最小值 2m i n 0 0y a x b x c ； 对称轴大于 n 即0xn，即对称轴在 m x n 的右侧 ，在 xn 处取最小值 2m i ny a n b n c . 2 若 0a 时求最大值 （ 或 0a 时求最小值 ） ，需分两种情况讨论： (以 0a 时求最小值 为例 ) 对称轴0 2mnx
4、 ，即对称轴在 m x n 的中点的左侧 ，在 xn 处取最大值 2m a xy a n b n c ； 对称轴0 2mnx ，即对称轴在 m x n 的中点的右侧 ，在 xm 处取最大值 2m a xy a m b m c 2 小结： 对二次函数的区间最值结合函数图象 总结 如下： 当 a0 时)(212)()(212)()(21m a x如图如图，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543m i n如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfxf当 a0 时)(2)()(2)2()(2)()(876m a x如图如图如图，mabmfnabmabfnabnfx
5、ff xf m bam nf n bam n( )( ) ( )( )( ) ( )( )m i n ，如图如图212212910另法： 2 ( 0 )y a x b x c a 当 m x n （其中 mn ）的最值 ： 求出函数的对称轴0 2bxx a ，在以后的数学学习中 若0m x n，则分别求出0,mx n处的函数值 ()fm，0()fx， ()fn，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值； 若00x m x n或时，则求出 ,mn处的函数值 ()fm， ()fn，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。 3 基础巩固 : 将下列函数 写成顶点式 ,并写出对称轴和 顶点坐标
6、 : (1) 22 4 5y x x ； (2) (1 ) ( 2 )y x x (3) 22 3 5y x x (4)y 12 xx (5) 242 xxy (6) 2 41y a x a x 例 1.求下列 函数的最大值或最小值 （ 1） 532 2 xxy ； （ 2） 432 xxy （ 3） 22 4 1y x a x （ 4） 2 2y ax x (5)2846y xx 例 1（ 1） 最小值 为 498无最大值；（ 2）最大值为 254，无最小值 . 练习 : 求下列函数的最大值或最小值 (1) 2 41y x x (2) 224y x x (3) 2 2y x ax (4) 2
7、 24y a x xa (5) 224y x x 的 最小值 是 _. 例 2.、如图，抛物线 2 2y x x p 与直线 xy 交于点 A（ -1， m）、 B（ 4，n），点 M 是抛物线上的一个动点，连接 OM （ 1）求 m， n， p。 （ 2）当 M 为抛物线的顶点时 ，求 M 坐标和 OMB 的面积； （ 3）当点 M 在直线 AB 的下方且在抛物线对称轴的右侧， M 运动到何处时， OMB 的面积最大。 4 练习 ： 1 如图，二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）的图象与 x 轴交于 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）两点，与 y 轴交于点 C，且二次函数的最小值为 4
8、， （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）若 M（ m， n）（ 0 m 3）为此抛物线上的一个动点，连接 MC、 MB，试求当 m 为何值时， MBC 的面积最大？并求出这个最大值 考点 ： 二次函数综合题 1904127 专题 ： 代数几何综合 题 分析： （ 1）根据点 A、 B 的坐标求出对称轴解析式，从而得到顶点坐标，然后设顶点式解析式，把点 A 的坐标代入计算即可得解； （ 2）根据点 B、 C 的坐标求出 OB、 OC 的长度，利用勾股定理求出 BC，再求出直线 BC 的解析式，根据三角形的面积，当平行于 BC 的直线与抛物线只有一个交点时 MBC 的面积最大，再根据平行直线的解
9、析式的 k值相等设出平行线的解析式，然后与抛物线联立消掉 y 得到关于 x 的一元二次方程，然后利用根的判别式 =0求出直线的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出点 M 到 BC 的距离，然后求解即可； （ 3）根 据抛物线的解析式设点 P 的坐标为（ x， x2 2x 3），根据抛物线的对称性以及点 P 在点 Q 的左侧，表示出 EF=2（ 1 x），然后根据正方形的四条边都相等列式，再分 x 1 时点 P 的纵坐标是正数， 1 x 1 时，点 P 的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号，解方程求解即可 解答： 解：（ 1） y=x2 2x 3； （ 2）不难求出，直线 BC 的解析式为 y=
10、x 3， S MBC= 3 = ； 2已知：如图，抛物线 y=ax2+3ax+c（ a 0）与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在 B 点左侧点 B 的坐标为（ 1， 0）， OC=3BO （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值； 5 解答： 解：（ 1） 抛物线的解析式为： （ 2 分） （ 2） AC 的解析式为： （ 3 分） S 四边形 ABCD=S ABC+S ADC = = 设 ， 当 x= 2 时， DM 有最大值 3 此时四边形 ABCD 面积有最大值 例 3.(1) 当 14
11、x时，求函数 2 41y x x 的最大值和 最小值 (2)当 12x时，求函数 2 1y x x 的最大值和最小值 例 2.(2)当 1x 时，min 1y ，当 2x 时，max 5y 巩固练习 (1) 函数 22 4 1y x x 在区间 30x 上的最大值是 _，最小值是 _. （ 2） 已知 302x，求函数 f x x x( ) 2 1的最值 . 最小值为 1，最大值为 194(3) 函数 23 3 1y x x 在区间 10x 上的最大值是 _，最小值是 _. （ 4） 函数 y x x 2 4 2在区间 03x 上的最大值是 _，最小值是 _. 2， -2 (5) 03x,求函
12、数 (2 )y x x 的取值范围 (6) 函数 2y x x a 在区间 31x 上的最大值是 _，最小值是 _.(a 为常数 ) 例 4. 已知关于 x 的函数 2 22y x a x 在 55x 上 (1) 当 1a 时，求函数的最大值和最小值； (2) 当 a 为实数时，求函数的最值 (1) 当 1x 时，min 1y ；当 5x 时，max 37y (2) 当 0a 时，m a x 2 7 1 0ya；当 0a 时，m a x 2 7 1 0ya练习 ：求关于 x 的二次函数 2 21y x tx 在 11x 上的最值 (t 为常 数 ) 【 课后作业 】 6 1.抛物线 2 ( 4
13、 ) 2 3y x m x m ，当 m = 时，图象的 对称轴是 y 轴 ；当 m = 时，图象的顶点在 x 轴上；当 m = 时，图象过原点 4 14 或 2， 322 用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ 216l3求下列二次函数的最值： (1) 22 4 5y x x ； (2) (1 ) ( 2 )y x x (1) 有最小值 3，无最大值； (2) 有最大值 94，无最小值 4 求二次函数 22 3 5y x x 在 22x 上的最大值和最小值，并求对应的 x 的值 当 34x时，min 318y ；当 2x 时，max 19y 5 函数 y
14、12 xx 在区间 11x 上 的最小值和最大值分别是（ ） B )(A 1, 3 )(B 3,34 （ C） 1,32 （ D） 1 ,34 6 函数 242 xxy 在区间 14x上的 最小值是（ ） C )(A 7 )(B 4 )(C 2 )(D 2 7 函数5482 xxy的最值 为 （ ） B )(A 最大值为 8，最小值为 0 )(B 不存在最小值，最大值为 8 （ C）最小值为 0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值 8.已知二次函数 mxxy 62 的最小值为 1，那么 m 的值为 .10 9对于函数 22 4 3y x x ， 当 0x 时，求 y 的取值范
15、围 5y 10求函数 23 5 3 2y x x 的最小值当 56x时，m in33 6y ；当 23x 或 1 时， max 3y 11.已知关于 x 的函数 2 22y x a x 在 55x 上 (1) 当 1a 时，求函数的最大值和最小值； 2) 当 a 为 常 数时，求函数的最大值 .(1) 当 1x 时，min 1y ；当 5x 时，max 37y (2) 当 0a 时，m a x 2 7 1 0ya；当 0a 时，m a x 2 7 1 0ya 12已知关于 x 的函数 22( 2 1 ) 1y x t x t ，当 t 取何值时， y 的最小值为 0？当 54t时，min 0y 13求关于 x 的二次函数 2 21y x tx 在 11x 上的最大值 (t 为常数 ) 13当 0t 时，m ax 22yt，此时 1x ；当 0t 时，m ax 22yt，此时 1x
