1、 1 斐波那契数列主题探究教学设计方案 一、概述 本主题为人教课标必修 5 第二章 数列中关于有阅读与思考的内容 本主题是在已有数列基本知识的基础上，探索斐波那契数列的发展历史、实际生活中的斐波那契数列，以及斐波那契数列的一些特性斐波那契数列与实际生活联系比较紧密，有着广泛的应用，而且本身也有许多特殊的性质使学生体会数学的科学价值、应用价值，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素质和创新意识 二、教学目标分析 1进一步巩固数列的相关知识，加深对数列的认识，能在具体问题情境中，发现数列的关系，并能用有关知识解决相应的问题 2初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用
2、价值，开拓视野，激发学习数学的兴趣，提高自身的文化素养和创新意识 三、学习者特征分析 学生 已经 掌握 数列 、等差、等比数列 的知识 ， 能在具体的情境问题中，发现数列 中特殊的关系： 等差或等比关系，能用相关知识解决相应的问题部分学生有一定的自主学习能力、协作学习能力但应用意识不强，创新能力不强， 因此 需要一定的 指导 学生具有一定的计算机运用能力， 能够通过网络搜索相关资源 ，能借助计算机解决相应的问题 四、教学策略选择与设计 主要采用网络探究，小组协作的方式， 在复习数列相关知识，然后逐步探究斐波那契数列的历史、应用、特征，教师做好指导、协调工作 ，对于学生探究结论给予相应评价 五、
3、 教学资源与工具设计 1 人教 A 版普通高中课程标准实验教科书必修 5； 2 网络课件 ； 2 3 斐波那契数列计算器； 4 网络型多媒体教室 六、 教学过程 本主题共需 1 个课时 具体安排如下： （一）问题引入 由学生计算，教师给予相应的指导 如果一对兔子每月能生 1 对小兔子（一雄一雌），而每 1 对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生 1 对小兔子 假定在不发生死亡的情况下，由 1 对出生的小兔子开始， 50 个月后会有多少对兔子？ 提示 ： 每月底兔子对数是： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ， 50 个月后是 125
4、86269025 对 这就是著名的斐波那契数列 或许大自然懂得数学，树木的分杈、花瓣的数量、种子的排列、 鹦鹉螺 的螺旋线都遵循这个数列你能写出以后的项吗？ 设计意图：通过斐波那契的兔子问题引入，让学生通过计算 、 思考 ，对斐波那契数列有感性认识 （二）数列 知识 1数列的 起源 人 们对数列的研究主要源于生产、生活的需要，以及出于对自然数的喜爱 数是刻画静态物体下的量，一系列的数刻画物体的变化情况，这些按一定顺序排列着的一列数称为数列（ sequence of number） 数列是刻画离散过程的重要数学模型，在生活中经常遇到的存款利息、细胞分裂等问题都与数列有关 在古希腊， 对毕 氏 学
5、 派而言，万物都是 数 他 们将数 用小石子排列成各种形 状 ，可以排成三角形的小石子 数称为 三角形 数 ，可以排成正方形的小石子 数称为 正方形 数 三角形 数 ： 正方形 数 ： 五 边 形 数 ： 3 每种多边形数均是一个数列 设计意图：让学生对于数列的起源有所了解，便于理解研究数列的意义 2数列的相关 知识 让学生快速梳理数列的基本知识： （ 1） 数列的一般形式： ,321 naaaa，简记为 na （ 2） 数列的表示方法：（ 1）列表法；（ 2）图象法；（ 3）通项公式法 （ 3） 数列的分类： 项数有限无限：无穷数列有穷数列 项数的随序号的变化情况：摆动数列常数列递减数列递增
6、数列（ 4） 数列通项公式： )(nfan ； 主要方法： 观察数列的特点，寻找项数与对应序号的关系 化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列） 逐差全加（对于后一项与前一项差中含有未知数的数列） 例如：数列 na中，naaa nn 2,1 11 ， 求 na 逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列） 例如：数列 na，12,1 11 n naaa nn， 求na 正负相间：利用 n)1( 或 1)1( n （ 隔项有零：利用 1)1(21 n或 1)1(21 1 n （ 5） 数列求和 的主要 方法 利用等差 或 等比的求和公式 4 利用通项列项求和
7、错项相减法：适用于通项为等比和等差通项之积形式的数列求和 倒序相加法：例如等差数列求和公式的推导 配对法：适合某些正负相间型的数列 学生 思考： 若 我 们 分 别 以nnn PTS ,来 代表下 图 的正方形 数 、三角形 数 及五 边 形 数 ，你能发现 求出通项公式吗？ 三者的关系 呢？（可以借助图形特点） 教师给予适当的指导 提示： 由上 图 我 们 不 难 看出： 2nSn 而2 )1( nnT n 每 个 正方形 数 都可以看成 两个 三角形 数 的和1 nnn TTS n 个 n 个 n 个 n 个 n 个 5 观 察五角形 数 可以知道 1)(32)-(3741)13(1)1(
8、3)13( 11 nn nnPnpP nnn 即2)13(22)1(3)23(23)23(11 nnnnn nTn kkP nnknkn设计意图：让学生回顾数列的基本知识，便于将知识系统化，能更好的从整体上把握 ，灵活应用 数列 解决相应问题 3数列与函数的关系 让学生回顾 数列可以看成是定义域为正整数集 *N （或它的有限子集）的函数 当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式 由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数 数列 具有函数的一般性质， 可以 借 助数形结合
9、的思想研究问题，但研究的侧重点有所不同，函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等，数列侧重研究下标子数列或两个数列的合成的性质等 设计意图：回顾函数与数列的关系， 进一步加深认识研究 数列 的角度和意义 4特殊数列 让学生填写下列表格： 名称 等差数列 等比数列 定义 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一般地，如 果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常6 一个常数，那么这个数列就叫等差数列（ arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列的公差（ common difference），通常用字母 d 表示 数，那么这个数列就叫等比数
10、列（ geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（ common ratio），通常用字母 q 表示 通项公式 dnaa n )1(1 等差数列实际是一次型函数，是最简单的递推数列 11 nn qaa 等比数列实际是指数型函数 前 n 项和公式 dnnnaaanS nn 2 )1(2)(11 )1(11)1( 11 q qqaaqqaS nnn 比例中项 等差中项：三个数bAa , 成等差数列，则 A 叫做 a 与 b 的等差中项（ artithmetic mean） 2 baA 等比中项：三个数 bGa , 成等比数列，则 G 叫做 a 与 b 的等比中项 abG 设
11、计意图：对比中学中重要的两个特殊数列：等差数列和等比数列的性质，加深对这两种数列的理解和应用 ，通过系统比较能更好的理解 （ 三 ） 斐波那契 教师适当的加以介绍 ，可以在让 学生利用互联网收集相关资料 中世纪最有才华的数学家斐波那契 （ 1175 年 1259 年）出生在意大利比萨市的一个商人家庭 因父亲在阿尔及利亚经商，因此幼年在阿尔及利亚学习，学到不少时尚未流传到欧洲的阿拉伯数学 成年以后，他继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利的西西里岛 斐波那契是一位很有才能的人，并且特别擅长于数学研究 他发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因此有利于推动欧洲大数学的发展 他
12、在其他国家和地区经商的同时，特别注意搜集当地的算术、代数和几何的资料 回国后，便将这些资料加 以研究和整理，编成算经（ 1202 年，或叫算盘书） 算经的出版，使他成为一个闻名欧洲的数学家 继算经之后，他又完成了几何实习（ 1220 年）和四艺经（ 1225 年）两部著作 算经在当时的影响是相当巨大的 这是一部由阿拉伯文和希腊文的材料编译成拉丁文的数学著作，当时被认为是欧洲人写的一部伟大的数学著作，在两个多世纪中一直被奉为经典著作 在当时的欧洲，虽然多少知道一些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，一般的人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零” 斐波那契的算经，介绍 了阿拉伯记数法和
13、印度人对整数、分数、平方根、立方根的运算方法，这部著作在欧洲大陆产生了极大的影响，并且改变了当时数学的面貌 他在这本书的序言中写道：“我把自己的一些方法和欧几里得几何学中的某些微妙的技巧加到印度的方法中去，于是决定写现在这本 15 章的书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏 在斐波那契的算经中，记载着大量的代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格的证明 书中记载的一个有趣的问题：理想中的兔子繁殖问题，兔子每个月对数就构成了著名的斐波那契数列 据载首先是由 19 世纪法国数学家吕卡将级数 nF： 1， 1， 2， 3， 5，7 8， 13， 21， 34， .命名为斐波那契级数，它是一种特殊的线
14、性递归数列，在数学的许多分支中有广泛应用 1963 年美国还创刊斐波那契季刊来专门研究数列 设计意图： 了解斐波那契的历史，提高学习数学的兴趣，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神 （ 四 ） 斐波那契数列 特性 小组探究，归纳总结结论，可以参照提示，对于能力 较强 的小组可以进一步探究其它性质 教师对于 各小组的探究过程加以评价 斐波那契数列： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， 1通项公式 观察斐波那契数列项数之间有什么关系？ 提示：从第三项开始每一项等于其前两项的和，即若用 nF 表示第 n 项，则有)3(21 n FFF
15、nnn 通过 递推关系式 )3(2,1121 n FFnFnnn ，我们可以一步一个脚印地算出任意 项 ，不过，当 n 很大时，推算是很费事的 我们必须找到更为科学的计算方法 你能否 寻找到通项公式， 借助网络资源，能否给予证明 ？ 提 示 ： 1730 年 法 国 数 学 家 棣 莫 弗 给 出 其 通 项 表 达 式 nnnS 25125151， 19 世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表达式，现在称为之为比内公式 可以利用归纳法证明 网络资源： 求斐波那契数列的通项公式 2项间关系 根据下列问题分组探究，写下探究的结果 有能力 的学生 可以继续研究其他性质 提供斐波那契数列计算器 的
16、 网页 斐波那契数列有许 多奇妙的性质 ， 下面一起研究 部分性质： （ 1）问题：观察相邻两项之间有什么关系？ 相邻两项互素，（1, nn FF） （ 2） 1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， 第 3 项、第 6 项、第 9 项、第 12 项、的数字，有什么共同特点？ 提示：能够被 2 整除 第 4 项、第 8 项、第 12 项，能够被 3 整除 第 5 项、第 10 项、的数字，能够被 5 整除 你还能发现 哪 些类似的规律？ （ 3） 2321 1 nn FFFFF 如果你把前五加起来再加 1，结果会等于第七 项
17、；如果把前六 项 加起来，再加 1，就会得出第八 项 那么前 n 项 加起来再加 1，会不会等于第 n + 2 项 呢？ 8 提示： 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21 由于每一 项 都是其前两项的和， 所以 2321 1 nn FFFFF （ 4）如果我们分别对偶数项与奇数项做加法运算的话，情形又如何呢？ 1 + 2 + 5 = 8 1 + 2 + 5 + 13 = 21 1 + 1 + 3 + 8 = 13 1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34 提示： 我们可以得到下列的结果： nn FFFF 212
18、31 122421 nn FFFF 9 你是否能给出证明？ （ 5）不可思议的是，如果我们把第三项的平方加上第四项的平方会得到第七项 22 + 32 = 4 + 9 = 13 32 + 52 = 9 + 25 = 34 82 + 132 = 64 + 169 = 233 试试看其它的情形 12212 nnn FFF 是不是都成立呢？ （ 6）更不可思议的是，你能想象 到吗， 斐波那契数列 与杨辉三角 居然有 联系？ 提示： 3黄金分割 动手做一下：把斐波 那契数列中从第二项开始的每一项除以前一项， 得到一个新的数列，并画出 图象 ，分析新数列的特点 提示： 1， 2， 1.5， 1.67， 1
19、.6， 1.63， 1.615， 1.619， 1.618， . 下图中横轴为 n 的值，纵轴为 nnFF1的取值： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 1 2 8 13 3 5 10 nnFF1看起来好像会趋近某个 定值，大约为 1.61 这为人所知作为金黄比率 , 并且因此斐波那奇的序列并且称金黄序列 ， 开普勒发现 斐波那契数列的黄金比率 4探究其它特性 利用斐波那契数列计算器和互联网，每小组探究斐波那契数列的其它性质，然后利用网络搜索所得到的性质，是否已经被发现。在网络中查找一下是否还有其它性质，
20、将得到的结论填入下表 小组： 人员组成： 性质 描述 证明过程 网络相关资源 备注 设计意图： 通过系列的、逐层深入的问题串，引导学生利用数列的知识探索斐波那契数列的特性，进一步加深学生对数列的认识和运用 （ 五 ）联系生活 将 学生 分组 ，利用网络搜索斐波那契数列 与 生活 的联系 ， 将收集的资源加工整理，制作成课件，以小组为单位展示课件，并加以说明 尝试一下，能否借助斐波那契数列的特性设计图案？在网络中查找一下利用斐波那契数列设计的图案，并分析其中蕴含的数列 下面是从生物、艺术、计算机设计图形等方面简单示例 1生物学与斐波那契数列 在现实的自然世界中，算盘书里那样的神 奇兔子自然是找不
21、到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列 起绒草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋 很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的 逆时针与顺时针的螺旋数就是斐波那契数列中相邻的两项 斐波那契数列在自然界中的出现是如此地频繁，人们深信这不是偶然的 以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让人想到的是向日葵），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚 尽 管这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中的相邻数字 这样的螺旋被称为斐波那契螺
22、旋 展示 自然界中各种各样的斐波那契螺旋 图片 （ 1） 细察下列各种花，它们的花瓣的数目具有斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花斐波那契数经常与花瓣的数目相结合： 3百合和蝴蝶花 5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8翠雀花 13金盏草 21紫宛 34， 55， 84雏菊 展示花的图片 11 （ 2） 斐波那契数还可以在植物的叶 、枝、茎等排列中发现例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数 0，然后依序点数叶子 (假定没有折损 )，直至到达与那片叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回叶子在一个循回中旋
23、转的圈数也是斐波那契数在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序 (源自希腊词，意即叶子的排列 )比多数的叶序比呈现为斐波那契数的比 （ 3） 斐波那契数有时也称松果数，因为连续的斐波那契数会出现在松果的左和右的两种螺旋形走向的数目之中 这种情况在向日葵的种子盘中也会看到此外，你 能发现一些连续的卢卡斯 数吗？ （ 4） 菠萝是又一种可以检验斐波那契数的植物对于菠萝，我们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成的螺旋线数 （ 5） 树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段 “休息 ”时间，供自身生长，而后才 能萌发新枝 所以，一株树苗在一段间隔（如图 4），例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝
24、 “休息 ”，老枝依旧萌发；此后，老枝与 “休息 ”过一年的枝同时 萌发，当年生的新枝则次年 “休息 ” 这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列 这个规律，就是生物学上著名的 “鲁德维格定律 ” 这些植物懂 得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样 这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉 叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片
25、叶子和前一片叶子之间的角度应该是 222.5 度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 度之比是黄金分割数 1.618033989的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生 向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到 89，甚至 144 条 2艺术 展示 埃及的图像 古埃及的人体画像的绘画都是基于 “神圣比例 “也就是我们所了解的黄金 分割 展示 希腊神庙 的图片 3 计算机设计 由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，你并不总能找到完美的斐波那契螺旋 即使是生长得很健康的植物，也难免有这样那样的缺
26、陷 仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中心经常是一片混乱 所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出来的完美的斐波那契螺旋吧 展示 计算机绘制的斐波那契螺旋 图片 设计意图： 通过展示斐波那契数列与生物、艺术、建筑、计算机等方面的联系， 增强学生的应用意识，扩展学生的视野，激发学生学习数学的兴趣 七、教学评价设计 借助于网络资源资源， 探索斐波那契数列其它特性，并给出相应说理过程 调查周围的生物、艺术作品、建筑能否找出与斐波那契数列的联系？写出调查报告 评价 评价是整个教学环节中非常重要的一部分，因此非常有必要设计合理有效的评价来督促、激励学生保质保量的完成任 务 12 首先，教师在第一课时的
27、时候就应该把整个单元学习所采用的评价方式讲清楚，一些量表可以在具体学习本单元的内容之前就发给学生，这样就使学生做到心里有数 总的方式：过程性评价和总结性评价相结合，教师评价与同伴评价相结合，组内评价与组间评价相结合 小组汇报评价量表和组内互评量表请参照附录二和附录三 附录一：小组任务分工表 组别 探究 数列性质 组长 小组成员 分工情况： 组长 成员一 成员二 成员三 成员四 进度安排：（请小组讨论后，对将要进行的探究进行一个时间上的规划） 预期成果设计：（请小组讨论后，对最终的成果的内容和形式进行一个初步的设计） 推荐资源：（请推荐在探究过程中发现的更好的 结论 ） 附录二： 小组汇报量化评分表 一级指标 二 级 指 标 分值 内容 （ 70分） 内容无科学性错误 25 说理 清晰 20 内容完整 15 观点独特 10 13 汇报者的表现 （ 10分） 表情自然 2 表达清晰 2 回答问题有针对性 4 能在规定时间内完成 2 小组协作学习（ 20分） 小组成员能和谐相处 6 回答问题时组员间能发挥合作精神 7 该小组成员在研究过程中给了其他小组帮助 7 注：此表算出的是小组成员的平均分数，个人分数还得根据小组成员互评量表和回答问题的情况来调整 （ 该教学设计方案由 中央电教馆教育信息资源开发部 王新民 提供 ）
