1、 1 压轴题精选讲解 一、选择题 1已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： abc 0， a b+c 0， 2a+b=0， b2 4ac 0，其中正确结论个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 （第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 2如图，四边形 ABCD 为正方形，边长为 4，点 F 在 AB 边上， E 为射线 AD 上一点，正方形 ABCD 沿直线 EF 折叠，点 A 落在 G 处，已知点 G 恰好在以 AB 为直径的圆上，则 CG 的最小值等于（ ） A 0 B 2 C 4 2 D 2 2 3如图，在矩形 ABCD 中， AB=3， BC=5，
2、以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD 于点 E，连接 CE，作 BF CE，垂足为 F，则 tan FBC 的值为（ ） A B C D 4如图，二次函数 y=ax2+c 的图象与一次函数 y=kx+c 的图象在第一象限的交点为 A，点 A 的 横坐标为 1，则关于x 的不等式 ax2 kx 0 的解集为（ ） A 0 x 1 B 1 x 0 C x 0 或 x 1 D x 1 或 x 0 （第 4 题） （第 5 题） （第 6 题） 5如图，双曲线 y= 经过抛物线 y=ax2+bx 的顶点（ ， m）（ m 0），则有（ ） A a=b+2k B a=b 2k C k b 0 D a
3、 k 0 6小明为了研究关于 x 的方程 x2 |x| k=0 的根的个数问题，先将该等式转化为 x2=|x|+k，再分别画出函数 y=x2的图象与函数 y=|x|+k 的图象（如图），当方程有且只有四个根时， k 的取值范围是（ ） A k 0 B k 0 C 0 k D k 2 二、填空题 1如图，将 O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O，点 P 是优弧 上一点，则 APB 的度数为 (第 1 题） （第 2 题） （第 3 题） 2如图， BAC=60， ABC=45， AB=4 ， D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画 O 分别交 AB， AC于 E， F，连接 E
4、F，则线段 EF 长度的最小值为 3如图，在直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y= +2x 交 x 轴的负半轴于 A，以 O 为旋转中心，将线段 OA 按逆时针方向旋转 （ 0 360），再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个 端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合题意的 的值是 _ 4抛物线 y=2x2 8x+6 与 x 轴交于点 A、 B，把抛物线在 x 轴及其下方的部分记为 C1，将 C1 向右平移得到 C2，C2 与 x 轴交于点 B、 D，若直线 y= x+m 与 C1、 C2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 （ 第 4 题） （第 5 题）
5、（第 6 题） 5如图，在矩形 ABCD 中， AB=4， AD=5， AD， AB， BC 分别与 O 相切于 E， F， G 三点，过点 D 作 O 的切线交 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为 6如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（ a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3），与 x 轴的一个交点 B（ 4， 0），直线 y2=mx+n（ m0）与抛物线交于 A， B 两点，下列结论： 2a+b=0； abc 0； 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（ 1， 0）； 当 1 x 4 时，有 y2 y1 其中正确结论 的
6、 序数 是 _ 三、解答题 1如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM、 BM（ 1）求抛物线的函数关系式；（ 2）判断 ABM 的形状，并说明理由； （ 3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（ 1）中抛物线平移，使其顶点为（ m， 2m），当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点 3 2如图，抛物线 y= x2+mx+n 与直线 y= x+3 交于 A， B 两点，交 x 轴与 D， C 两点，连接 AC， BC，已知 A（ 0，3）， C（ 3， 0） （ ）求抛物
7、线的解析式和 tan BAC 的值； （ ）在（ ）条件下， P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ PA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A， P， Q 为顶点的三角形与 ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 3如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA、 OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA=4， OC=2点 P从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位的速 度向点 A 匀速运动，到达点 A 时停止运动，设点 P 运动的时间是 t 秒（ t 0）过点 P 作 DPA= CPO，且
8、PD= CP，连接 DA （ 1）点 D 的坐标为 （请用含 t 的代数式表示） （ 2）点 P 在从点 O 向点 A 运动的过程中， DPA 能否成为直角三角形？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由 （ 3）请直接写出点 D 的运动路线的长 4如图，在 Rt ABC 中， C=90， CA=12 cm， BC=12cm；动点 P 从点 C 开始沿 CA 以 2 cm/s 的速度向点A 移动，动点 Q 从点 A 开始沿 AB 以 4cm/s 的速度向点 B 移动，动点 R 从点 B 开始沿 BC 以 2cm/s 的速度向点 C移动如果 P、 Q、 R 分别从 C、 A、 B 同时移动，移动时
9、间为 t（ 0 t 6） s 4 （ 1） CAB 的度数是 ； （ 2）以 CB 为直径的 O 与 AB 交于点 M，当 t 为何值时， PM 与 O 相切？ （ 3）写出 PQR 的面积 S 随动点移动时间 t 的函数关系式，并求 S 的最小值及相应的 t 值； （ 4）是否存在 APQ 为等腰三角形？若存在，求出相应的 t 值；若不存在请说明理由 5如图，在平面直角坐标系中，半径为 1 的 A 的圆心与坐标原点 O 重合，线段 BC 的端点分别在 x 轴与 y 轴上，点 B 的坐标为（ 6， 0），且 sin OCB= （ 1）若点 Q 是线段 BC 上一点，且点 Q 的横坐标为 m 求
10、点 Q 的纵坐标；（用含 m 的代数式表示） 若点 P 是 A 上一动点，求 PQ 的最小值； （ 2）若点 A 从原点 O 出发，以 1 个单位 /秒的速度沿折线 OBC 运动，到点 C 运动停止， A 随着点 A 的运动而移动 点 A 从 OB 的运动的过程中，若 A 与直线 BC 相切，求 t 的值； 在 A 整个运动过程中，当 A 与线段 BC 有两个公共点时， 直接写出 t 满足的条件 6如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，二次函数 y=x2+c 的图象抛物线交 x 轴于点 A， B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C（ 0， 3） （ 1）求 ABC 的度数；
11、 （ 2）若点 D 是第四象限内抛物线上一点， ADC 的面积为 ，求点 D 的坐标； （ 3）若将 OBC 绕平面内某一点顺时针旋转 60得到 OBC，点 O， B均落在此抛物线上，求此时 O的坐标 5 压轴题精选讲解解析 一、选择题 8已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，有以下结论： abc 0， a b+c 0， 2a+b=0， b2 4ac0，其中正确结论个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 由抛物线开口向下， a 0，抛物线与 y 轴交于正半轴， c 0，根据对称轴为 x= 0，则 b 0，判断；根据 x= 1 时
12、 y 0，判断 ；根据对称轴为 x=1，即 =1，判断 ；根据函数图象可以判断 【解答】 解：开口向下， a 0，抛物线与 y 轴交于正半轴， c 0，根据对称轴为 x= 0，则 b 0，所 以 abc0， 正确； 根据 x= 1 时 y 0，所以 a b+c 0， 正确； 根据对称轴为 x=1，即 =1， 2a+b=0， 正确； 由抛物线与 x 轴有两个交点，所以 b2 4ac 0， 正确 故选： D 【点评】 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，把握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，重点要理解抛物线的对称性 10如图，四边形 ABCD 为正方形，边长为 4，点 F 在 A
13、B 边上， E 为射线 AD 上一点，正方形 ABCD 沿直线EF 折叠，点 A 落在 G 处，已知点 G 恰好在以 AB 为直径的圆上，则 CG 的最小值等于（ ） A 0 B 2 C 4 2 D 2 2 【考点】 翻折变换（折叠问题）；正方形的性质 【分析】 先根据题意画出图形，由翻折的性质可知 AF=FG， AG OE， OGE=90，由垂径定理可知点 O 为半圆的圆心，从而得到 OB=OG=2，依据勾股定理可求得 OC 的长，最后依据 GC=OC OG 求解即可 【解答】 解：如图所示 ： 6 由翻折的性质可知： AF=FG， AG OE， OAE= OGE=90 AF=FG， AG
14、OE， 点 O 是圆半圆的圆心 OG=OA=OB=2 在 OBC 中，由勾股定理可知： OC= = =2 当点 O、 G、 C 在一条直线上时， GC 有最小值， CG 的最小值 =OC OG=2 2 故选： D 【点评】 本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用、垂径定理，明确当点 O、 G、 C 在一条直线上时， GC 有最小值是解题的关键 9如图，在矩形 ABCD 中， AB=3， BC=5，以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD 于点 E，连接 CE，作 BF CE，垂足为 F，则 tan FBC 的值为（ ） A B C D 【考点】 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；
15、锐角三角函数的定义 【分析】 首先根据以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD 于点 E，判断出 BE=BC=5；然后根据勾股定理，求出 AE 的值是多少，进而求出 DE 的值是多少；再根据勾股定理，求出 CE 的值是多少，再根据 BC=BE， BF CE，判断出点 F是 CE 的中点，据此求出 CF、 BF 的 值各是多少；最后根据角的正切的求法，求出 tan FBC 的值是多少即可 【解答】 解： 以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD 于点 E， BE=BC=5， AE= ， DE=AD AE=5 4=1， CE= ， BC=BE， BF CE， 点 F 是 CE 的中点， CF= ，
16、 BF= = ， 7 tan FBC= ， 即 tan FBC 的值为 故选： D 【点评】 （ 1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方 （ 2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 等腰三角形的两腰相等 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （ 3）此题还考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确一个角的正弦、余弦、正切的求法 （ 4）此题还考查了矩形的性质和应用，
17、以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握 10如图，二次函数 y=ax2+c 的图象与一次函数 y=kx+c 的图象在第一象限的交点为 A，点 A 的横坐 标为 1，则关于 x 的不等式 ax2 kx 0 的解集为（ ） A 0 x 1 B 1 x 0 C x 0 或 x 1 D x 1 或 x 0 【考点】 二次函数与不等式（组） 【分析】 ax2 kx 0 即二次函数的值大于一次函数的值，即二次函数的图象在一次函数的图象的上边，求自变量 x的范围 【解答】 解： ax2 kx 0 即 ax2+c kx+c，即二次函数的值大于一次函数的值 则 x 的范围是： 0 x 1 故选 A 【点评】 本
18、题考查了二次函数与不等式的解集的关系，理解 ax2 kx 0 即二次函数的值大于一次函数的值时求自变量的取值是关键 10如图，双曲线 y= 经过抛物线 y=ax2+bx 的顶点（ ， m）（ m 0），则有（ ） A a=b+2k B a=b 2k C k b 0 D a k 0 【考点】 二次函数图象与系数的关系 8 【分析】 根据抛物线的开口方向和反比例函数所处的象限判断 a 0， k 0，根据对称轴 x= = 得出 a=b，由双曲线 y= 经过抛物线 y=ax2+bx 的顶点（ ， m）（ m 0），对称 k= m， m= a b，进而对称 8k=a=b，即可得出 a k 0 【解答】
19、解： 抛物线 y=ax2+bx 的顶点（ ， m）， 对称轴 x= = ， a=b 0， 双曲线 y= 经过抛物线 y=ax2+bx 的顶点（ ， m）（ m 0）， k= m， m= a b， m= 2k， m= a= b， 2k= a= b， 8k=a=b， a 0， a k 0， 故选 D 【点评】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线的顶点坐标和二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键 8小明为了研究关于 x 的方程 x2 |x| k=0 的根的个数问题，先将该等式转化为 x2=|x|+k，再分别画出函数 y=x2的图象与函数 y=|x|+k 的图象（如图），当方程有且只有四个
20、根时， k 的取值范围是（ ） A k 0 B k 0 C 0 k D k 【考点】 二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】 直接利用根的判别式，进而结合函数图象得出 k 的取值范围 【解答】 解：当 x 0 时， y=x+k， y=x2， 则 x2 x k=0， b2 4ac=1+4k 0， 解得： k ， 当 x 0 时， y= x+k， y=x2， 则 x2+x k=0， b2 4ac=1+4k 0， 解得： k ， 如图所示一次函数一部分要与二次函数有两个交点，则 k 0， 9 故 k 的取值范围是： k 0 故选： B 【点评】 此题主要考查了二次函数图象与一次函数图象综合应用，正
21、确利用数形结合得出是解题关键 二、填空题 18如图，将 O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O，点 P 是优弧 上一点，则 APB 的度数为 60 【考点】 翻折变换（折叠问题）；圆周角定理 【分析】 作半径 OC AB 于 D，连结 OA、 OB，如图，根据折叠的性质得 OD=CD，则 OD= OA，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到 OAD=30，接着根据三角形内角和定理可计算出 AOB=120，然后根据圆周角定理计算 APB 的度数 【解答】 解：如图作半径 OC AB 于 D，连结 OA、 OB 将 O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O， OD=CD OD= OC=
22、OA OAD=30， OA=OB， ABO=30 AOB=120 APB= AOB=60 故答案为： 60 【点评】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系和折叠的性质，求得 OAD=30是解题的关键 16如图， BAC=60， ABC=45， AB=4 ， D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画 O 分别交 AB，AC 于 E， F，连接 EF，则线段 EF 长度的最小值为 2 10 【考点】 圆周角定理；垂径定理；解直角三角形 【分析】 由垂线段的性质可知，当 AD 为 ABC
23、的边 BC 上的高时，直径 AD 最短，此时线段EF=2EH=20Esin EOH=20Esin60，当半径 OE 最短时， EF 最短，连接 OE， OF，过 O 点作 OH EF，垂足为 H，在 Rt ADB 中，解直角三角形求直径 AD，由圆周角定理可知 EOH= EOF= BAC=60，在 Rt EOH 中，解直角三角形求 EH，由垂径定理可知 EF=2EH，即可求出答案 【解答】 解：由垂线段的性质可知，当 AD 为 ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD 最短， 如图，连接 OE， OF，过 O 点作 OH EF，垂足为 H， 在 Rt ADB 中， ABC=45， AB=4 A
24、D=BD=4，即此时圆的直径为 4， 由圆周角定理可知 EOH= EOF= BAC=60， 在 Rt EOH 中， EH=OEsin EOH=2 = ， 由垂径定理可知 EF=2EH=2 ， 故答案为： 2 【点评】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形 16如图，在直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y= +2x 交 x 轴的负半轴于 A，以 O 为旋转中心，将线段 OA 按逆时针方向旋转 （ 0 360），再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处，请直接写出所有符合题意的 的值
25、是 30或 150 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；坐标与图形变化 -平移；坐标与图形变化 -旋转 【分析】 首先求出抛物线的顶点坐标以及 AO 的长，再利用平移的性质结合 AO 只是左右平移，进而得出旋转的角度 【解答】 解：由题意可得： y= +2x= （ x+2） 2 2， 故抛物线的顶点坐标为：（ 2， 2）， 当 y=0 时， 0= （ x+2） 2 2 解得： x1=0， x2=4， 故 AO=4， 11 将线段 OA 按逆时针方向旋转 （ 0 360），再沿水平方向向右或向左平移若干个单位长度，对应线段的一个端点正好落在抛物线的顶点处， 旋转后对应点 A到 x 轴的距离为： 2
26、， 如图，过点 A作 AC x 轴于点 C， 当 COA=30， 则 CA= AO=2， 故 为 30时符合题意， 同理可得： 为 150时也符合题意， 综上所述：所有符合题意的 的值是 30或 150 故答案为： 30或 150 【点评】 此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点以及旋转与平移变换，正确得出对应点的特点是解题关键 18抛物线 y=2x2 8x+6 与 x 轴交于点 A、 B，把抛物线在 x 轴及其下方的部分记为 C1，将 C1 向右平移得到 C2，C2 与 x 轴交于点 B、 D，若直线 y= x+m 与 C1、 C2 共有 3 个不同的交点，则 m 的取值范围是 m 3 【考点
27、】 二次函数图象与几何变换 【分析】 首先求出点 A 和点 B 的坐标，然后求出 C2解析式，分别求出直线 y= x+m 与抛物线 C2相切时 m 的值以及直线 y= x+m 过点 B 时 m 的值，结合图形即可得到答案 【解答】 解： y=2x2 8x+6=2（ x 2） 2 2 令 y=0， 即 x2 4x+3=0， 解得 x=1 或 3， 则点 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， 由于将 C1向右平移 2 个长度单位得 C2， 则 C2解析式为 y=2（ x 4） 2 2（ 3x5）， 当 y= x+m1 与 C2相切时， 令 y= x+m1=y=2（ x 4） 2 2， 即 2x2
28、 15x+30 m1=0， =8m1 15=0， 12 解得 m1= ， 当 y= x+m2 过点 B 时， 即 0= 3+m2， m2=3， 当 m 3 时直线 y= x+m 与 C1、 C2共有 3 个不同的交点， 故答案为 m 3 【点评】 本题主要考查抛物线与 x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度 18如图，在矩形 ABCD 中， AB=4， AD=5， AD， AB， BC 分别与 O 相切于 E， F， G 三点，过点 D 作 O 的切线交 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为 【考点】 切线的性质
29、 【分析】 连接 OE， OF， ON， OG，在矩形 ABCD 中，得到 A= B=90， CD=AB=4，由于 AD， AB， BC 分别与 O 相切于 E， F， G 三点，得到 AEO= AFO= OFB= BGO=90，推出四边形 AFOE， FBGO 是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果 【解答】 解：连接 OE， OF， ON， OG， 在矩形 ABCD 中， A= B=90， CD=AB=4， AD， AB， BC 分别与 O 相切于 E， F， G 三点， AEO= AFO= OFB= BGO=90， 四边形 AFOE， FBGO 是正方形，
30、 AF=BF=AE=BG=2， DE=3， DM 是 O 的切线， DN=DE=3， MN=MG， CM=5 2 MN=3 MN， 在 Rt DMC 中， DM2=CD2+CM2， （ 3+NM） 2=（ 3 NM） 2+42， NM= ， DM=3+ = 故答案为 13 【点评】 本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 17如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（ a0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3），与 x 轴的一个交点 B（ 4， 0），直线 y2=mx+n（ m0）与抛物线交于 A， B 两点，下列结论： 2a+b=0； abc 0；
31、 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（ 1， 0）； 当 1 x 4 时，有 y2 y1 其中正确结论的个数是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 【考点】 二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质 【分析】 根据抛物线对称轴方程对 进行判断；由抛物线开口方向得到 a 0，由对称轴位置可得 b 0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c 0，于是可对 进行判断；根据顶点坐标对 进行判断；根据抛物线的对称性对 进行判断；根据函数图象得当 1 x 4 时，一次函数图象在抛物线下方，则可对 进行判断 【解答】 解： 抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3），
32、抛物线的对称轴为直线 x= =1， 2a+b=0，所以 正确； 抛物线开口向下， a 0， b= 2a 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c 0， abc 0，所以 错误； 抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3）， x=1 时，二次函数有最大值， 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，所以 正确； 抛物线与 x 轴的一个交点为（ 4， 0） 而抛物线的对称轴为直线 x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 2， 0），所以 错误； 抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n（ m0）交于 A（ 1， 3）， B 点（ 4， 0） 当 1 x 4 时， y2 y1
33、，所以 正确 故选： C 14 【点评】 本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（ a0），二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a 0 时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴右（简称：左同右异）；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点： 抛物线与 y 轴交于（ 0， c）；抛物线与 x 轴交点个数由 决定： =b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； =b
34、2 4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点； =b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点 三、解答题 27如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、 B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM、 BM （ 1）求抛物线的函数关系式； （ 2）判断 ABM 的形状，并说明理由； （ 3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（ 1）中抛物线平移，使其顶点为（ m， 2m），当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点 【考点】 二次函数综合题 【专题】 压轴题 【分析】 （ 1）由条件可分别求得 A、 B 的坐标
35、，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （ 2）结合（ 1）中 A、 B、 C 的坐标，根据勾股定理可分别求得 AB、 AM、 BM，可得到 AB2+AM2=BM2，可判定 ABM 为直角三角形； （ 3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立 y=x，可得到关于 x 的一元二次方程，根据根的判别式可求得 m的范围 【解答】 解：（ 1） A 点为直线 y=x+1 与 x 轴的交点， A（ 1， 0）， 又 B 点横坐标为 2，代入 y=x+1 可求得 y=3， B（ 2， 3）， 抛物线顶点在 y 轴上， 可设抛物线解析式为 y=ax2+c， 把 A、 B 两点坐标代入可得
36、 ，解得 ， 抛物线解析式为 y=x2 1； （ 2） ABM 为直角三角形理由如： 由（ 1）抛物线解析式为 y=x2 1 可知 M 点坐标为（ 0， 1）， 15 AM= ， AB= = =3 ， BM= =2 ， AM2+AB2=2+18=20=BM2， ABM 为直角三角形； （ 3）当抛物线 y=x2 1 平移后顶点坐标为（ m， 2m）时，其解析式为 y=（ x m） 2+2m，即 y=x2 2mx+m2+2m， 联立 y=x，可得 ，消去 y 整理可得 x2（ 2m+1） x+m2+2m=0， 平移后的抛物线总有不动点， 方程 x2（ 2m+1） x+m2+2m=0 总有实数根，
37、 0，即（ 2m+1） 2 4（ m2+2m） 0， 解得 m ， 即当 m 时，平移后的抛物线总有不动点 【点评】 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点在（ 1）中确定出 A、 B 两点 的坐标是解题的关键，在（ 2）中分别求得 AB、 AM、 BM 的长是解题的关键，在（ 3）中确定出抛物线有不动点的条件是解题的关键本题考查知识点较为基础，难度适中 27如图，抛物线 y= x2+mx+n 与直线 y= x+3 交于 A， B 两点，交 x 轴与 D， C 两点，连接 AC， BC，已知 A（ 0， 3）， C（ 3， 0）
38、 （ ）求抛物线的解析式和 tan BAC 的值； （ ）在（ ）条件下， P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ PA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A， P， Q 为顶点的三角形与 ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ ）只需把 A、 C 两点的坐标代入 y= x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线 AB 与抛物线的交点 B的坐标，过点 B作 BH x轴于 H，如图 1易得 BCH= ACO=45， BC= ， AC=3 ，从而得到 ACB=90，然后
39、根据三角函数的定义就可求出 tan BAC 的值； （ ）过点 P 作 PG y 轴于 G，则 PGA=90设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x 0，则 PG=x，易得 APQ= ACB=90若点 G在点 A的下方， 当 PAQ= CAB时， PAQ CAB此时可证得 PGA BCA，根据相似三角形的性质可得 AG=3PG=3x则有 P（ x， 3 3x），然后把 P（ x， 3 3x）代入抛物线的解析式，就可求出点 P 的坐标 当 PAQ= CBA 时， PAQ CBA，同理，可求出点 P 的坐 标；若点 G 在点 A 的上方，同理，可求出点 P 的坐标； 【解答】 解：
40、（ ）把 A（ 0， 3）， C（ 3， 0）代入 y= x2+mx+n，得 16 ， 解得： 抛物线的解析式为 y= x2 x+3 联立 ， 解得： 或 ， 点 B 的坐标为（ 4， 1） 过点 B 作 BH x 轴于 H，如图 1 C（ 3， 0）， B（ 4， 1）， BH=1， OC=3， OH=4， CH=4 3=1， BH=CH=1 BHC=90， BCH=45， BC= 同理： ACO=45， AC=3 ， ACB=180 45 45=90， tan BAC= = = ； （ ）（ 1）存在点 P，使得以 A， P， Q 为顶点的三角形与 ACB 相似 过点 P 作 PG y 轴
41、于 G，则 PGA=90 设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x 0，则 PG=x PQ PA， ACB=90， APQ= ACB=90 若点 G 在点 A 的下方， 如图 2，当 PAQ= CAB 时，则 PAQ CAB PGA= ACB=90， PAQ= CAB， PGA BCA， = = AG=3PG=3x 则 P（ x， 3 3x）把 P（ x， 3 3x）代入 y= x2 x+3，得： x2 x+3=3 3x， 整理得： x2+x=0，解得： x1=0（舍去）， x2= 1（舍去） 如图 2，当 PAQ= CBA 时，则 PAQ CBA 同理可得： AG= PG=
42、x，则 P（ x， 3 x）， 把 P（ x， 3 x）代入 y= x2 x+3，得： x2 x+3=3 x， 整理得： x2 x=0，解得： x1=0（舍去）， x2= ， P（ ， ）； 若点 G 在点 A 的上方， 当 PAQ= CAB 时，则 PAQ CAB， 同理可得：点 P 的坐标为（ 11， 36） 当 PAQ= CBA 时，则 PAQ CBA 17 同理可得：点 P 的坐标为 P（ ， ） 综上所述：满足条件的点 P 的坐标为（ 11， 36）、（ ， ）、（ ， ） 【点评】 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函
43、数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大 26如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA、 OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA=4， OC=2点 P从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 时停止运动，设点 P 运动的时间是 t 秒（ t 0）过点 P 作 DPA= CPO，且 PD= CP，连接 DA （ 1）点 D 的坐标为 （ t， 1） （请用含 t 的代数式表示） （ 2）点 P 在从点 O 向点 A 运动的过程中， DPA 能
44、否成为直角三角形？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由 （ 3）请直接写出点 D 的运动路线的长 18 【考点】 四边形综合题 【分 析】 （ 1）作 DE OA 于 E，证得 POC PED，根据三角形相似的性质易求得 PE= t， DE=1，即可求得 D（ t， 1）； （ 2）分两种情况讨论： 当 PDA=90时， DPA 是直角三角形，此时 COP ADP得出 = ，即可求得 t1=2， t2= 当 DAP=90时， DPA 是直角三角形，此时 COP DAP得出 = ，即可求得t= （ 3）根据题意和（ 1）求得的 D（ t， 1），即可求得当点 P 与点 O 重合时， D1（ 0
45、， 1），点 P 与点 A 重合时， D2（ 6， 1），从而得出点 D 在直线 D1D2 上，即 D 点运动的路线是一条线段，起点是 D1（ 0， 1），终点是 D2（ 6， 1），即可求得点 D 运动路线的长度为 6 【解答】 解：（ 1）如图 1，作 DE OA 于 E， POC= PED=90， DPA= CPO， POC PED， = = ， OC=2， OP=t， PD= CP， PE= t， DE=1， D（ t， 1）； 故答案为（ t， 1） （ 2）在 COP 中， CO=2， OP=t， CP= = 在 ADP 中， PD= CP= ， AP=4 t 当 PDA=90时， DPA 是直角三角形，此时 COP ADP = ， = ， 解得： t1=2， t2= 当 DAP=90时， DPA 是直角三角形，此时 COP DAP = = ， = ， 解得： t= 综上所述，点 P 在从点 O 向点 A 运动的过程中，当
