1、14.轴对称 解读课标 美丽的枫叶、高山的倒影、雄伟的建筑，我们生活在一个充满对称的世界之中 .从人体到植物的花果树叶，从艺术家的创造到日常生活中的图案设计， 轴对称是现实世界中广泛存在的一种现象 .正如 20 世纪著名数学家赫尔曼 外尔所说： “对称是一种思想，通过它，人们毕生追求并创造秩序、美丽和完善 .” 平面镜成像、光的反射、 “斯诺克 ”台球、图形的折叠、镶边与剪纸、进行图案设计、解最值问题等，常用轴对称概念性质来探讨 . 线段、角、等腰三角形是最简单的轴对称图形， 作出它们的对称轴并利用相关性质是解几何问题的常用技巧 . 熟悉下列基本图形、基本理论： 问题解决 例 1 如图 ,已知
2、四边形 ABCD 中 ,AC 平分 BAD,CE AB 于点 E,且2AE （ AB+AD）,若120D ，则 B =_ . （天津市竞赛题） 试一试 利用角平分线翻折造全等，是解题的关键 . 例 2 如图 ,四边形 ABCD 中 , 1 2 0 , 9 0B A D B D ,在 BC、 CD 上分别找一点M、 N,使 AMN 周长最小时 ,则 A M N A N M 的度数为 ( ). A. 130 B. 120 C. 110 D. 100 （兰州市中考题） 试一试 化折为直，作 A 点的对称点，分别作两次对称变换确定 M， N 两点的位置 . 例 3 在平面直角坐标系中 ,直线 l 过点
3、 M(3,0)，且平行于 y 轴。 (1)如果 ABC 三个顶点的坐标分别是 A(2,0),B(1,0),C(1,2),ABC 关于 y轴的对称图形是1 1 1 1 1 1,A B C A B C关于直线 l 的对称图形是2 2 2A B C,写出2 2 2A B C的三个顶点的坐标； (2)如果点 P 的坐标是 (a,0),其中 a0,点 P 关于 y 轴的对称点是1P,点1P关于直线 l 的对称点是2P,求2PP的长。 试一试 对于（ 2），随着 a 的取值不同，1P与 M 有不同的位置关系 . （南京市中考题） 例 4 （ 1） 如图 ,在锐角 ABC 中 ,AB=42, BAC=45
4、， BAC 的平分线交 BC 于点D，点 M、 N 分别是 AD 和 AB 上的动点，求 BM+MN 的最小值 . （ 2）如 图 ， A,B 为直线 l 同侧两定点， C,D 为 l 上任意两点，且 CD=a 为定值，确定 C,D 两点的位置，使 AC+CD+BD 值最小 . 图 图 例 5 如图 ,已知平面直角坐标系中 ,A、 B 两点的坐标分别为 A(2,3)、 B(4,1). (1)若 P(x,0)是 x 轴上的一个动点，当 PAB 的周长最短时，求 x 值； (2)若 C(a,0)、 D(a+3,0)是 x 轴上的两个动点，当四边形 ABDC 的周长最短时，求 a 的值； (3)设
5、M、 N 分别为 x轴、 y轴上的动点 ,问：是否存在这样的点 M(m,0)和 (0,n)，使四边形 ABMN周长最短？若存在，求出 m、 n 的值；若不存在，请说明理由 . （湖州市中考题） 试一试 AB,CD 的长都为定值，于是只要求 PA+PB 最短或 AD+BC 最短或 MB+MN+NA 最短，运用轴对称性质化折线为直线 . 台球桌上的数学 台球桌的形状是一个长方形，当母球被击打后可能在不同的边上反弹，为了母球最终击中目标球，击球者需作出不同的设计，确定击球的方向，因此，台球既复杂又有趣，台球运动 成 为智慧和技能的较量。 如图，母球从 A 点出发经 B 点到 G 点，相当于从 A 点
6、 出发直接击打目标球 G，其实质是图形的轴对称变换，关键是找到母球关于桌边的对称点的位置 . 例 6 如图，在长方形球台 ABCD 上，现在要击打 P 球，使它依次碰撞球台的 AB 边、 BC边、 CD 边、 AD 边后，恰好撞到 Q 球，求 P 球打击的路线 . 数学冲浪 知识技能广场 1. 如图所示 ,在 33 的正方形网格中 ,已有两个小正方形被涂黑 ,再将图中其余小正方形任意涂黑一个 ,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有 种 . （乌鲁木齐中考题） 2. 如图 ,等边 ABC 的边长为 1cm,D、 E 分别是 AB、 AC 上的点 ,将 ADE 沿直线 DE 折叠 ,点 A 落在点
7、 A处 ,且点 A在 ABC 外部 ,则阴影部分的周长为 cm. （河北省中考题） 3. 如图 ,在平面直角坐标系中 ,将 长方形 AOCD沿直线 AE 折叠 (点 E在边 DC 上 ),折叠后端点D 恰好落在边 OC 上的点 F 处。若点 D 的坐标为 (10,8)，则点 E 的坐标为 _ _. （ 2015 年滨州市中考题） 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 4. 如图 ,在 ABC 中 ,AC=BC=2, 90ACB ,D 是 BC 边的中点 ,E 是 AB 边上一动点 ,则EC+ED 的最小值是 . （河南省中考题） 5. 如图 ,四边形 ABCD 中 , 50C , 90BD
8、 ,E、 F 分别是 BC、 DC 上的点 ,当AEF 的周长最小时 , EAF 的度数为 ( ) A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 （ 2015 年遵义市中考题） 6. 如图是一个经过改造的台球桌面的示意图 ,图中 4 个角上的阴影部分分别表示四个入球孔。如果一个球按图中所示的方向被击出 (球可以经过多次反射 ),那么该球最后将落入的球袋是( ) A.1 号袋 B.2 号袋 C.3 号袋 D.4 号袋 第 6 题图 第 7 题图 第 9 题图 7.如图是由 4 个相同的小正方形组成， ABC 的顶点都落在小正方形的顶点上，则与 ABC成轴对称，并且顶点都落在小正方形的顶点上的三
9、角形有（ ） . A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 （第 25 届 “希望杯 ”邀请赛试题） 8.在平面直角坐标系中，点 P（ -3,2）关于直线 y=x 的对称点的坐标是（ ） . A.（ -3， -2） B.（ 3,2） C.（ 2， -3） D.（ 3， -2） 9. 如图，长方形 ABCD 中， AB=8， BC=6， P 为 AD 上一点，将 ABP 沿 BP 翻折至 EBP，PE 与 CD 相交于点 O，且 OE=OD.求 AD 的长 . （ 2015 年徐州市中考题） 10. 台球是一项高雅的体育运动。其中包含了许多物理学、几何学知识。如图 是一个台球桌，目标球 F
10、 与本球 E 之间有一个 G 球阻挡 . (1)击球者想通过击打 E 球先撞击球台的 AB 边。经过一次反弹后再撞击 F 球。他应将 E 球打到 AB 边上的哪一点 ？ 请在图 中用尺规作出这一点 H,并作出 E 球的运行路线 (不写画法 .保留作图痕迹 )； (2)如图 ,现以 D为原点 ,建立直角坐标系 ,记 A(0,4),C(8,0),E(4,3),F(7,1),求 E球 按 刚才方式运行到 F 球的路线长度 .(忽略球的大小 ) 第 10 题图 （苏州市中考题） 思维方法天地 11.如图 ,设1l和2l是镜面平行且镜面相对的两面镜子。把一个小球放在1l和2l之间 ,小球在镜1l中的像为
11、 A,A在镜2l中的像为 A。若1l、2l的距离为 7，则 AA=_. （江苏省竞赛题） 第 11 题图 第 12 题图 12.如图， 在直角坐标系中 ,x 轴上的动点 M(x,0)到定点 P(5,5)、 Q(2,1)的距离分别为 MP 和MQ，那么，当 MP+MQ 取最小值时，点 M 的坐标是 _. 13. 如图 , 30AOB ，点 M、 N 分别在边 OA、 OB 上，且 OM=1， ON=3，点 P、 Q 分别在边 OB、 OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是 _ . （ 2015 年武汉市中考题） 第 13 题图 第 14 题图 第 15 题图 14. 如图，直线1l与2l相交
12、， =60 ，点 P 在角 内（不在1l，2l上）小明用下面的方法作 P 的对称点：先以1l为对称轴作点 P 关于1l的对称点1 P，再以2l为对称轴作点1 P关于2l的对称点2 P，然后再以1l为对称轴作点2 P关于1l的对称点3P，以2 l为对称轴作点3P关于2l的对称点4 P， 如此继续，得到一系列的点1 P、2 P、 、n P若点n P与点 P重合，则 n 的最小值是（ ） A.5 B.6 C.7 D. （浙江省竞赛题） 15. 如图 ,矩形 ABCD 中 ,E 是 AD 的中点 ,将 ABE 沿直线 BE 折叠后得到 GBE,延长 BG 交CD 于点 F. 若 AB=6, 46BC
13、,则 FD 的长为 ( ). A.2 B.4 C. 6 D. 23 （ 2015 年泰安市中考题） 16. 在直角坐标系中 ,已知两点 A(8,3),B(4,5)以及动点 C(0,n),D(m,0),则当四边形 ABCD 的周长最小时 ,比值 mn为 （ ） . A. 2 -3B. -2 C. 3-2D.-3 17. 如图， ABC 中，已知 BAC 45， AD BC 于 D， BD 2,DC 3，求 AD 的长 . 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换 ,巧妙地解答了此题 . 请按照小萍的思路，探究并解答下列问题： (1)分别以 AB、 AC 为对称轴，画出 ABD、 ACD 的
14、轴对称图形， D 点的对称点为 E、 F，延长 EB、 FC 相交于 G 点，证明四边形 AEGF 是正方形； (2)设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值 . （益阳市中考题） 应用探究乐园 18. 如图 ,一个台球桌是直角三角形的 ,如果从斜边上某点朝着垂直于斜边方向击出台球 ,那么球在其他两个直角边上反弹后 ,又能回到斜边上 ,请证明 :台球滚过的距离长与击球点的位置无关 (台球反射时服从入射角等于反射角的规律 ). （俄罗斯萨温市竞赛题） 19. 河岸 l 同侧的两个居民小区 A、 B 到河岸的距离分别为 a 米、 b 米（即图 中所示 AA=a米， BB=b米） , AB c 米现欲在河岸边建一个长度为 s 米的绿化带 CD（宽度不计），使 C 到小区 A 的距离与 D 到小区 B 的距离之和最小 图 图 （ 1）在图 中画出绿化带的位置，并写出画图过程； （ 2）求 AC+BD 的最小值 （江苏省竞赛题）
