1、理论力学,一、力学的分类,注：连续介质力学(包括弹性体力学和流体力学)是研究质量连续分布的可变形物体运动规律的科学。,二、理论力学的研究对象,经典力学的应用范围是：宏观、低速运动物体。理论力学是经典力学的一大部分，但不讨论连续介质力学。静力学不象工科一样详尽，而只是作为动力学的一特例。,理论力学：是研究宏观物体机械运动规律的一门学科。,机械运动：是物体在空间的位置随时间的变化。,三、理论力学的研究方法,是从实践出发，经过抽象化、综合、归纳、建立公理，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论，形成理论体系，然后再通过实践来验证理论的正确性。,四、理论力学的发展史,意大利的达芬奇(14521519
2、)研究滑动摩擦、平衡、力矩。,波兰的哥白尼(14731543)创立宇宙“日心说”。,德国的开普勒(15711630)提出行星运动三定律。,意大利的伽利略(15641642)提出自由落体规律、惯性定律及加速度的概念。,早在(公元前287212)古希腊阿基米德著的论比重就奠定了静力学基础。,英国伟大科学家牛顿(16431727)在1687年版的自然哲学的数学原理一书总其大成，提出动力学的三个基本定律，万有引力定律，天体力学等。是力学奠基人。,瑞士的伯努利(16671748)提出虚位移原理。,瑞士的欧拉(17071783)出版著作力学用微分方程研究。,法国达朗伯(17171785)出版著作动力学专论
3、达朗伯原理。,法国拉格朗日(17361813)出版名著分析力学。,主要参考书目：,1 陈世民.理论力学简明教程, 高教出版社, 2001 2 周衍柏.理论力学教程（第三版）,高教出版社,1986 3 刘焕堂.理论力学原理与方法,厦大出版社,1997 4 胡慧玲等.理论力学基础教程,高教出版社,1986 5 卢圣治.理论力学基本教程，北师大出版社，2004 6 H.Goldstein, Classical Mechanics, 2-nd edition, Addison Wesley,1980要求记笔记 评分比例：10+20+70%,第一章 牛顿力学的基本原理,1.1 质点运动的描述方法,一、参
4、照系与坐标系,参照系,物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。, 参照物不同，对同一个物体运动的描述结果可能不同；, 观察者是站在参照系的观察点上；, 不特别说明都以地球为参照系。,说明：,直角坐标系,极坐标系,柱坐标系,球坐标系,自然坐标系,坐标系,为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标系。参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方法）。,坐标系,坐标变量 单位矢量 位矢表达式 位矢长度,(1) 直角坐标系,坐标变量 单位矢
5、量 位矢表达式 位矢长度,(2) 平面极坐标系,坐标变量 单位矢量 位矢表达式 位矢长度,(3) 柱坐标系,(4) 球坐标系,坐标变量 单位矢量 位矢表达式 位矢长度,3、质点及位置的描述,(1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模型就叫质点。,(2) 位置描述,坐标描述：,质点相对某参照系的位置，可由位矢r 确定;,直角坐标系:,二、运动学方程及轨道,1、运动方程,极坐标系：,描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。,质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并
6、由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度等。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。一般常用的方程有,（1）矢量形式的运动学方程,当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导。它的特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。,（2）直角坐标形式的运动学方程,这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是代数方程，虽然依赖于坐标系，但是运算容易。,（3）极坐标下的运动学方程,当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。,（4）自然坐标形式的运动学方程,对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动，运算比较简便，各运动参数的物理意
7、义明确。,质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分析方法。,2、轨道,质点运动过程中在空间描述出的连续曲线, 运动学方程中消去t得轨道方程。(直线运动、曲线运动)。,三、位移、速度、加速度,1、位移：,2、速度：,3、加速度：,坐标变量 单位矢量 位矢表达式 位矢长度,(1) 直角坐标系,四、 速度、加速度分量表示式,位矢,1、速度：,分量式：,大小：,方向：,可用速度与三个坐标轴的方向余弦表示,2、加速度：,分量式：,大小：,例1设椭圆规尺AB的端点A与端点B沿直线导槽ox及oy滑动（
8、如下图所示），而B以匀速度c 运动，求椭圆规尺上M点的轨道方程，速度及加速度.设MA=a,MB=b, .,M点速度的方向：,M点加速度的方向：,二、极坐标系,1、速度：,注意: 方向都变化，乘积函数求导。,先求：,同理：,速度分量式：,大小：,2、加速度,即：,三、自然坐标系,1、,质点所在位置处轨道曲线的曲率半径,3、速度,4、加速度,解:,四、柱坐标系,五、球坐标系,提示：,六、质点运动学问题的解,一、三种类型,1、已知,求,微分、导数,2、已知,求,积分，解微分方程,（1） 已知,（2）已知,（3）已知,，求轨道、,动力学引言,动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学中所研究的
9、力学模型是质点和质点系(包括刚体)。,动力学的理论基础：是牛顿三大定律，它们也被称为动力学的基本定律。,牛顿 Issac Newton（16431727）,英国物理学家, 经典物理 学的奠基人 . 他对力学、光学、 热学、天文学和数学等学科都 有重大发现., 牛顿在光学上的主要贡献是发现了太阳光是由7种不同颜色的光合成的，他提出了光的微粒说。, 牛顿在数学上的主要贡献是与莱布尼兹各自独立地发明了微积分，给出了二项式定理。, 牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著自然哲学的数学原理。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果
10、，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。,1.2 牛顿定律,任何质点如不受力作用，则将保持其原来静止的或匀速 直线运动的状态不变。,一. 第一定律（惯性定律）,质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性,事实上，不存在不受力的质点，若作用在质点上的力系为 平衡力系，则等效于质点不受力。,惯性是物体保持静止或匀速直线运动状态的内禀属性； 力是改变物体运动状态的外加因素。,该定律表明：力是改变质点运动状态的原因。,惯性定律成立的参考系，称为惯性参考系，简称惯性系。,存在一惯性参考系，可建立一系列相对它匀速平动的其它惯性系。,非惯性系：相对惯性系做变速平动或转动的参考系,常见力, 重力, 弹性
11、力, 摩擦力, 阻力,四种基本相互作用, 以距源 处强相互作用的力强度为 1,二. 第二定律（力与加速度关系定律）质点受力作用时所获得的加速度的大小与作用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力的方向相同。,由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常称上式 为动力学基本方程。,注意：当质点同时受几个力的作用时,式中的F 为这些力的合力。,牛顿第二定律只在惯性系中成立,四第三定律（作用反作用定律）,两物体之间 的作用与反作用力总是大小相等、方向相反、 作用线在沿同一直线上。,应说明：此定律它不仅对静力问题适用，对运动问题也适用。,五、质点运动微分方程,将动力学基本方程用微分形式表
12、示所得到的方程称为质点运动微分方程。,1.矢径形式的质点运动微分方程由动力学基本方程：由运动学可知：,于是可得：,或,2.直角坐标形式的质点运动微分方程,3、自然坐标形式的质点运动微分方程,或,4 、用质点运动微分方程解题,第一类问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。 这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。,第二类问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。 这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。,应说明的是:,1、当力是常数或是时间的简单函数时，有 则 。,2、当力是位置的简单函数时，有,分离变量积分,3.、当力是速度的简单函数时，有 分离变量积分,利用循环求导变换,则有
13、,1.第一类：已知质点运动，求作用在质点上的力（微分问题）,质点动力学两类问题的求解,解题步骤和要点：正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。求解未知量。,2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题）已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、 位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。,解题步骤如下： 正确选择研究对象。 正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力（应放在一般位置上进行分析，对变力建
14、立力的表达式）。 正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定 出其运动初始条件）。,选择并列出适当的质点运动微分方程。,如力是常量或是时间及速度函数时，可直接分离变量 。,求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运动的初始条件，求出质点的运动。,如力是位置的函数，需进行变量置换,例1.3-1,(1) 采用直角坐标系:,运动微分方程,一质量为 m 的炮弹, 以速率 v0 自仰角为 a 的炮管内射出. 设炮弹飞行中受到的空气阻力与炮弹的速度成正比, FR = -mbv, 这里 b 是常数. 求炮弹飞行时的速度和轨道.,解: 炮弹受力,初始条件,例1.3-2,(4)和(5)式
15、消去 t 得轨道方程,速度,无空气阻力, 抛物线,有空气阻力, 水平位置极限,例1.3-3,(2) 采用自然坐标系:,运动方程,初始条件,(7)和(8)代入(10)式,由于,速度,例1.3-4,轨迹,1.3 质点运动的基本定理及守恒定律,一、动量定理与动量守恒律,1. 动量:,定义：,2. 动量定理,物理学中一个非常重要的物理量。在机械运动的范围内，质点间运动的传递通过动量的交换来实现。动量是机械运动强弱的度量。,为动量定理的微分形式。,质点在受到外力时质点的动量将发生改变。,力对质点的冲量，是一个矢量。上式为动量定理的积分形式。,3. 动量守恒,即：如果质点受到的合外力等于零， 则其动量守恒
16、。常数由初值确定。,变形并积分,即：如果质点在某方向上受到的合外力为0,则该方向上的动量守恒。,二、力矩与动量矩,1. 力矩,力对空间某一点O的力矩:,O点称为矩心,力对空间某一轴线的力矩:(力矩矢量沿轴的投影),O,F对L轴力矩：,即：力沿轴上一点的力矩在该轴上的投影。或者力在平面上的投影对力的作用点在轴上的垂直投影点的力矩大小。,2. 动量矩(矢量),对O点的动量矩：,对x,y,z轴的投影：,三、动量矩定理与动量矩守恒律(对固定点O),1. 动量矩定理( 出发点：牛顿第二运动定律 ),动量矩定理的微分形式,质点对某一定点的角动量的时间变化率等于作用于质点的外力对同一定点的力矩,投影式:,2
17、. 冲量矩,3. 动量矩守恒律,即：如果质点受到的外力矩等于零,则其动量矩守恒。常数由初值确定。,即：如果质点在某方向上受到的外力矩为0,则该方向上的动量矩守恒。,【例1】质点所受的力恒通过某一个定点，则质点必在一平面上运动（如地球绕太阳运动，卫星绕地球运动等）。试证明之。,解：,分量式为：,x乘(1), y乘(2), z乘(3),并相加,得:,经过固定点的平面方程。,由于力恒通过一个定点，那么力对该定点的力矩:,四、动能定理与机械能守恒律,1.动能定理,定义动能,质点动能的微分等于作用在该点上的力所作的元功,2. 若F为保守力场，那么,机械能守恒,五、势能曲线,质点受一维守恒力的作用，则质点
18、的势能是其坐标的函数。假设该一维坐标为x , 则V(x)x图形称为势能曲线。,经典力学与量子力学的区别之一，隧穿效应,【例2】如图所示，一重锤固定一轻杆末端，将其约束在竖直圆周上运动。假设初始角度为0，忽略空气阻力，求重锤经过最低点的速度。,解：(1) 分析用机械能守恒律的可能性,重锤受到哪些力？ 哪些做功哪些不做功？,(2)确定初末态时重锤的总机械能； 用机械能守恒定律求出速度,缺点：无法求出T 的大小。(若考虑空气阻力，则不能用机械能守恒),(3) 尝试用动力学的方法,受力分析,写出动力学方程(自然坐标或极坐标),注意：假设了速度的方向后，那么就应该考虑相关表达式的正负。由于这里只关心速度
19、的值，因此求解时最好把dt换成d：,于是微分方程变为：,两边积分：,求杆对重锤的作用力,守恒律小结,2. 牛顿第二定律是二阶微分方程，守恒律是一阶的，称为第一积分，能量守恒也称能量积分。用初积分比用运动方程来的简单。,基础：,1.4 保守力 势能,1. 若质点在某空间区域任意位置上，受到确定的力F(r)，力是位置的单值有界可微函数，则该区域称为力场，F 为场力。如：万有引力场、静电场。若含有时间称为非稳定场。,2. 保守力场:,若力场是稳定的，当质点运动时，场力做功单值地由始末位置确定（与轨道形状无关）该力场称为保守力场。质点受到的场力为保守力。如电磁力、重力等。否则场力做功与路径有关，这种力
20、为非保守力 (漩涡力)，力场为非保守力场。 如：摩擦力与路径有关耗散能量耗散力,3. 保守力的判据:,F(r)为保守力的充要条件：,即：,证明:必要性,与路径无关，只与始末位置有关。必存在一可微函数V，使得,充分性:,根据斯托克斯定理,即积分与路径无关,=,同理：,4. 势能:,函数V(x,y,z)成为质点在坐标(x,y,z) 处的势能。 势能的物理意义：保守力作的功等于势能的减少量。,注：,1) 势能函数加上任意常数不影响势能差。,3) F与V的关系：,2) 仅当力场为保守力场时才可引入势能。,解：先验证力是否为保守力,解法二：选直线路径积分,解法三：沿质点运动的路径积分,解法四：用势能的增量计算做功,做功与路径有关。,不存在势能函数,作业：P42 1.2，1.5,
