1、控制理论基础,王思野,北京理工大学 信息与电子学院 ,课程简介,课件地址 新浪邮箱网盘 用户名： 密 码：autoctrl2013,第二章 系统的数学模型,系统的数学模型,系统的数学模型,系统的数学模型,定义：系统的数学模型就是描述系统中各变量间关系的数学形式和方法 意义：数学模型的建立和简化是定量分析和设计控制系统的基础,系统的数学模型,建立数学模型的目的?是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。,数学
2、模型的建立方法1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。 2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。建模原则：选择合适的分析方法确定相应的数学模型简化,系统的数学模型,本章研究动态、定常、集总参数系统 动态系统：系统中各变量随时间变化，系统处于运动状态 定常系统：系统的物理参数不随时间变化 集总参数系统：系统的物理参数不随空间位置变化,系统的数学模型,系统的数学模型,数学模型是对系统的抽象和归纳 许多表面上完全不同的系统却可能具有完全相同的数学模型 数学模型表示的是一种共性，研究透了一种数学模型，就能完全了解具有该种数学模型的
3、所有不同系统的特点 研究系统主要是以数学模型为基础，分析和设计系统，而不再涉及实际系统的物理性质和具体特点,系统的数学模型,用一个包含输入量、输出量及它们对时间的导数或积分的方程，来表示元件或系统的输出量与输入量之间的关系 微分方程的阶数：方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数,常见的控制系统,1、集中参数系统 变量仅仅是时间的函数。这类系统建立的动态数学模型通常是微分方程。 2、分布参数系统 变量不仅是时间函数，而且还是空间的函数。这类系统建立的动态数学模型通常是偏微分方程。如很大的蒸馏罐，温度随空间位置不同是有梯度变化的。在实际系统中，大多数系统都是分布式参数系统，但由于偏微分方程求解比
4、较困难，因此在一定误差允许范围内，对系统作一个近似，近似为集中参数系统，这样就可以用微分方程进行分析。,常见的控制系统,3、线性系统 能够用线性数学模型(线性的代数方程、微分方程、差分方程等)描述的系统，称为线性系统。这类系统的基本特性，即输出响应特性、状态响应特性、状态转移特性等均满足线性关系。 对于控制系统而言，由线性元件构成的系统为线性系统，其运动方程一般为线性微分方程。若其各项系数为常数，则称为线性定常系统。 在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和（可加性），并且当输入增大倍数时，输出相应增大同样的倍数（均匀性），就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系
5、统 非线性系统：描述系统的数学模型是非线性微分方程，其特性是不能应用叠加原理。,常见的控制系统,4、非线性系统 不满足叠加原理的系统，就是非线性系统。因此非线性系统对两个输入量的响应不能单独进行计算，因此系统分析将比较困难，很难找到一般通用方法。但在实际系统中，绝对线性的系统是不存在的，通常所谓的线性系统也是在一定的工作范围内才保证线性的，如放大器，在小信号时可能出现“死区”，在大信号时，又可能出现饱和现象，如图所示即为几种常见的非线性的关系曲线。,显然上面的微分方程不容易求解，系统分析很困难，所以常常需要引入“等效”线性系统来代替非线性系统，这种等效线性系统仅在有限的工作范围内是正确的。我们
6、下面研究的系统就是线性系统或能等效为线性系统的非线性系统。,非线性微分方程：,常见的控制系统,5、线性定常系统 如果描述一个线性系统的微分方程的系数为常数，那么称系统为线性定常系统。 如,6、线性时变系统 如果描述一个线性系统的微分方程的系数为时间的函数，那么称系统为线性时变系统。 如,系统的数学模型,系统的数学模型,控制系统微分方程的建立,用一个包含输入量、输出量及它们对时间的导数或积分的方程，来表示元件或系统的输出量与输入量之间的关系 微分方程的阶数：方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数 单变量线性定常系统的微分方程的一般形式为,解析法写微分方程的一般步骤,1) 分析系统运动的因果关系
7、，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。 2) 忽略一些次要因素，合理简化。 3) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。 4) 列写中间变量的辅助方程。方程数与变量数相等！ 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。 6) 将方程式化成标准形。与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。,确定输入量输出量,列写微分方程,微分方程,标准形式,消去中间变量,整理,机械系统的微分方程,做直线运动的物理要遵循的基本力学定律是牛顿第二定律：转动的物理要遵循牛顿转动定律：,机械系统的微分方程,直线运动的摩擦力：转
8、动物体的摩擦力矩：,FB称为黏性摩擦力，与运动速度成正比，f称为黏性阻尼系数。Ff称为恒值摩擦力。,TB称为黏性摩擦力矩，Kc称为黏性阻尼系数。Tf称为恒值摩擦力矩。,机械平移系统举例,三个基本的无源元件：质量m,，弹簧k，阻尼器f 三种阻碍运动的力：惯性力ma；弹性力ky；阻尼力fv,弹簧-质量-阻尼器串联系统。 试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t) 为输出量的运动方程式。,例,遵照列写微分方程的一般步骤有：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质 量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为 中间变量。,机械平移系统举例,（2）按牛顿第二定律列写原
9、始方程，即,（3）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得,（4）整理方程得标准形,写中间变量与输出量的关系式,k,只有 输入量和输出量,电气系统的微分方程,基尔霍夫电流定律和电压定律电阻、电感、电容两段电压、电流与元件参数的关系,电气系统的微分方程,电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。,例,i(t),（2）由KVL写原始方程：,（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。,电气系统的微分方程,列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:,（3）将上式代入原始方程，消去中间变量得,i(t),（4）
10、整理成标准形， 令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为,只有输入量和输出量,电气系统的微分方程,由理想运算放大器组成的电路如图2-1-2所示，电压ui(t)为输入量，电压uo(t)为输出量，求它的微分方程式,（2-1-11）,（2-1-12）,T=RC，时间常数,例,电气系统的微分方程,试列写出图中无源网络的微分方程,例,线性微分方程的一般特征,观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：,式中，c(t)是系统的输出变量， r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束： （1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定； （2
11、）左端的阶次比右端的高，n=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；,系统的数学模型,系统的数学模型,拉氏变换,复习拉氏变换及其性质,1.如果有一个以时间t为自变量的实变函数f(t),它的定义域是t0，那么f(t)的拉普拉斯变换为,它是一个复变函数，通常称F(s)为f(t)的象函数，而称f(t)为F(s)的原函数；L是表示进行拉氏变换的符号。,拉氏变换,2) 微分定理,若 ，则,2.性质和定理1) 线性性质 L ax1(t) + bx2(t) = aX1(s) + bX2(s),拉氏变换,若x1(0)= x2(0) = = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，,3) 积分定律,X（-1
12、）(0)是x(t)dt 在t=0的值。同理,拉氏变换,5) 初值定理如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且,4) 终值定理若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在j轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：,存在，则,拉氏变换,6) 延迟定理 L x(t )1(t ) = esX(s)Leat x(t) = X(s + a) 7) 时标变换,8) 卷积定理,拉氏变换,求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。解：,例,求函数x(t)的拉氏变换。,例4,解：,拉氏变换,求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。
13、解：,例3,求函数x(t)的拉氏变换。,解： x(t) = x1(t) + x2(t) =A1(t) A1(t t0 ),例4,+,拉氏变换,求正弦函数x(t) = sint 的拉氏变换。解：,例,拉氏变换,几个重要的拉氏变换,传递函数,传递函数是经典控制理论中重要的数学模型； 经典控制理论研究的主要内容，就是系统输出和输入的关系，即如何由已知的输入量求输出量； 微分方程的求解比较困难，尤其是高阶微分方程的求解，所以解微分方程的方式仅适合于低阶微分方程； 传递函数以拉普拉斯变换为基础，把控制系统的输出和输入关系表示得简单明了，利用传递函数不必求解微分方程就可以研究系统的输出响应； 利用传递函数
14、可以研究系统的结构、参数对其动态过程的影响，使分析问题的过程大大简化； 可将对系统性能的要求转化为对传递函数的要求，从而使设计问题容易实现。,传递函数的意义,传递函数,传递函数是描述系统（或元件）的输入与输出关系的一种数学模型 系统（元件）的传递函数G(s)的定义：在初始条件为零时，线性定常系统（元件）输出信号的拉氏变换式C(s)与输入信号的拉氏变换式R(s)之比。,系统（元件）输出信号c(t)的拉氏变换,系统（元件）输入信号r(t)的拉氏变换,若已知系统的传递函数和输入信号的拉氏变换式，就可求得初始条件为零时系统输出信号的拉氏变换式,传递函数的定义,传递函数,线性定常系统的微分方程的一般形式
15、,a、b等为由系统结构、参数决定的常数,零初始条件，做拉氏变换,r(t)和c(t)及其各阶导数在t=0时均为0,R(s) = Lr(t) C(s) = Lc(t),线性定常系统传递函数的一般形式,输出信号的拉氏变换式C(s)和输入信号的拉氏变换式R(s)之比是一个只取决于系统结构的s的函数,由系统微分方程求系统传递函数,传递函数,例7,试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).,如图RLC电路，,解：零初始条件下取拉氏变换,传递函数：,i(t),传递函数,例8,求图所示机械系统的传递函数G(s) = Y(s)/F(s)。,关于传递函数的几点说明,第一、传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线
16、性常系数微分方程一一对应，传递函数的结构和各项系数（包括常数项）完全取决于系统本身结构，与输入信号的具体形式和大小无关。 同一个系统，若选择不同的变量作为输入信号和输出信号，所得到的传递函数可能不同，因此求传递函数时，必须指明输入量和输出量。 传递函数的概念主要适用于单输入、单输出的情况。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除一个有关的输入量外，其他输入量（包括常值输入量）一概视为零。,关于传递函数的几点说明,第二、传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。但研究某一种传递函数所得到的结论，可适用于具有这种传递函数的各种系统。,关于传递函数的几
17、点说明,第三、对于实际的元件和系统，传递函数是复变量s的有理分式，其分子N(s)和分母D(s)都是s的有理多项式。 传递函数的其他形式：及,零极点表达式,零极点增益/根轨迹增益,时间常数形式,放大系数,关于传递函数的几点说明,第四、对于实际的物理元件和系统而言，输入量与它所引起的响应（输出量）之间的传递函数，分子多项式N(s)的阶次m总是小于分母多项式D(s)的阶次n； 客观物理世界的基本属性所决定； 反映了一个事实：一个物理系统的输出不能立即完全复现输入信号，只有经过一定的时间过程后，输出量才能达到输入量所要求的数值。 例如机械系统中物体有质量、会产生形变、有摩擦；电气网络中，存在电容、电感
18、等储能元件；,关于传递函数的几点说明,第五、在传递函数G(s)中，自变量是复变量s，称传递函数是系统的复域描述；在微分方程中，自变量是时间t，称微分方程是系统的时域描述。 第六、令系统传递函数分母等于零所得方程称为特征方程，即D(s) = 0。特征方程的根成为特征根。特征根就是传递函数的极点。,基本环节及其传递函数,环节：把一个复杂的控制系统分成一个个小部分基本环节：不宜再分的最小环节,放大环节(比例环节),放大环节的动态方程：放大环节的传递函数：特点：输出量与输入量成比例，传递函数是一个常数 实例：放大器、齿轮减速器,惯性环节,惯性环节的动态方程：惯性环节的传递函数：T为惯性环节的时间常数,
19、积分环节,积分环节的动态方程：积分环节的传递函数：输出量等于输入量的积分,振荡环节,振荡环节的动态方程：振荡环节的传递函数：T为时间常数，n为无阻尼自振角频率，为阻尼比，皆为常数，其中n = 1/T。 注意：0 1，这时输出信号具有振荡的形式。,纯微分环节,纯微分环节的动态方程：纯微分环节的传递函数：输出信号是输入信号的微分,一阶微分环节,一阶微分环节的动态方程：一阶微分环节的传递函数：是该环节的时间常数,二阶微分环节,二阶微分环节的动态方程：二阶微分环节的传递函数：和都是常数， 为该环节的时间常数,延迟环节,延迟环节的动态方程：延迟环节的传递函数：是常数，为该环节的延迟时间，延迟环节任意时刻
20、的输出值等于时刻以前的输入值。,电气网络的运算阻抗与传递函数,运算法建立电气网络的传递函数： 把电流、电压换成相应的拉氏变换式； 把电阻、电感、电容换成相应的运算阻抗； 把运算阻抗当作普通电阻； 依据电路定律，建立电气网络的传递函数；,R R L Ls C 1/Cs i(t) I(s) u(t) U(s),实例,在图中，电压u1和u2分别是输入量和输出量，求该电路的传递函数G(s) = U2(s)/U1(s),实例,在图中，电压u1和u2分别是输入量和输出量，求该电路的传递函数G(s) = U2(s)/U1(s),实例,图中，电压u1和u2分别是输入量和输出量，求该电路的传递函数G(s) =
21、U2(s)/U1(s),小结,传递函数是经典控制理论中重要的数学模型，利用传递函数不必求解微分方程就可以研究系统的输出响应 系统（元件）的传递函数G(s)的定义：在初始条件为零时，线性定常系统（元件）输出信号的拉氏变换式C(s)与输入信号的拉氏变换式R(s)之比。,系统的数学模型,系统的数学模型,控制系统的框图和传递函数,传递函数方框图（或动态结构图，简称框图） 图形表示的数学模型 清楚表示出输入信号在系统各元件之间的传递过程 方便地求出复杂系统的传递函数,框图的概念和绘制,四大要素： 函数方框 信号流线 相加点 分支点 绘制方框图的依据：系统各个环节的动态微分方程式及其拉氏变换式。 一个系统
22、可以具有不同的框图，但输出和输入信号的关系都是相同的,系统方程组的列写和整理,1、从输出量开始写，以系统输出量作为第一个方程左边的量 2、每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始，每个方程左边的量是前面方程右边的中间变量 3、列写方程时尽量用已出现过的量 4、输入量至少要在一个方程的右边出现；除输入量外，在方程右边出现过的中间变量一定要在某个方程的左边出现,控制系统的框图和传递函数,在图中，电压u1(t)、u2(t)分别为输入量和输出量，绘制它的框图。,控制系统的框图和传递函数,试绘制图中所示的无源网络结构的方框图,控制系统的框图和传递函数,试绘制图中所示的无源网络结构的方框图,i1(t),i
23、2(t),控制系统的框图和传递函数,试绘制图中所示的无源网络结构的方框图,Ui(s),I2(s),Uo(s),Ui(s),I1(s),Uo(s),I1(s),Uo(s),I2(s),变化与化简,变化与化简,框图的变换规则,等效原则：变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。,串联环节的简化,n个环节串联的等效传递函数等于n个传递函数相乘,并联环节的简化,n个环节并联，其总的等效传递函数是各环节传递函数的代数和,反馈回路的简化,Y(s)称为反馈信号，E(s)称为偏差信号,“+”适合负反馈系统 “-”适合正反馈系统,前向通路传递函数,反馈通路传递函数,闭环传递函数,开环传递函
24、数,“-”适合负反馈系统 “+”适合正反馈系统,相加点和分支点的移动,1、相加点前移,相加点后移？,相加点和分支点的移动,2、相加点之间的移动两个相邻的相加点之间可以相互交换位置而不改变该结构输入和输出信号的关系。此结论对多个相加点也是适用的,相加点和分支点的移动,3、分支点后移,分支点前移？,相加点和分支点的移动,4、相邻分支点之间的移动从一条信号流线上无论分出多少条信号线，都代表同一个信号，所以，一条信号流线上的各分支点之间可以随意改变位置，不必作任何其他改动。,框图的化简,1、将显而易见的串联、并联环节和基本反馈回路用一个等效的函数框图代替 2、通过移动分支点或相加点来解除交叉结构，将剩
25、余框图逐步变换为串联、并联环节和基本反馈回路 3、再逐步用等效环节代替,框图的化简可以用于求解系统的传递函数,框图的化简,简化图所示的多回路系统，求闭环传递函数C(s)/R(s)及E(s)/R(s)。,交叉结构,框图的化简,框图的化简,框图的化简,简化下图所示的系统的结构图，并求系统传递函数(s),框图的化简,简化下图所示的系统的结构图，并求系统传递函数(s),框图的化简,框图的化简,框图的化简,试简化图中所示的系统的结构图，并求系统的传递函数(s),闭环系统的传递函数,系统中的信号 有用信号：参考输入、控制输入、指令输入及给定值 扰动信号前向通路的传递函数,加在控制对象上,系统的开环传递函数
26、,系统的开环传递函数：前向通路的传递函数与反馈通路的传递函数之积,输出对参考输入的闭环传递函数,输出对参考输入的闭环传递函数：当扰动输入信号为零时，输出对输入的传递函数,输出对于扰动输入的闭环传递函数,输出对扰动输入的闭环传递函数：设置参考输入信号R(s) = 0。,系统的总输出,线性系统的信号符合叠加原理 R(s) 0, F(s) 0 系统总输出：,偏差信号对于参考输入的闭环传递函数,偏差信号E(s)的大小反映误差的大小 求偏差信号对于参考输入的闭环传递函数时，令F(s) = 0；,偏差信号对于扰动输入的闭环传递函数,令R(s) = 0,F(s),系统的总偏差,应用叠加原理,补充内容：信号流
27、图,信号流图,信号流图的意义： 方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。Mason提出的信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。 采用信号流图，可利用Mason增益公式直接求得系统任意两个变量间的关系 定义：表示一组联立线性代数方程的网络图，是有节点和支路组成的信号传递网络。,信号流图,术语： 节点：表示系统变量。以小圆圈表示 支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头的方向表示信号传递方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称为支路传输 输入节点：仅有输出支路的节点 输出节点：仅有输入支路的节点。有时需人为引出一条增益为1的支路，形成输出节点 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点,信
28、号流图,前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终达到输出节点的通路 前向通路总增益：前向通路上各支路增益之乘积，用Pk表示 回路：起点和终点在同一节点，并与其他节点相遇仅一次的通路 回路增益：回路中所有支路的乘积，用La表示 不接触回路：没有公共节点的回路,信号流图的性质,信号流图只适用于线性系统 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路 具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的,信号
29、流图的绘制,两种方法： 由微分方程绘制s方程 由系统方框图绘制 例 画出图中所示系统方框图的信号流图,信号流图的等效变换法则,梅森增益公式,梅森增益公式求传递函数,对于图中所示的框图，求(s) = U2(s)/U1(s) 及 E(s) = E(s)/U1(s) ，其中E(s) = U1(s) U3(s)。,梅森增益公式求传递函数,对于图中所示的框图，求(s) = U2(s)/U1(s) 及 E(s) = E(s)/U1(s) ，其中E(s) = U1(s) U3(s)。,实例,例，利用梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,实例,例，利用梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,P1,实例,例，利用
30、梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,P2,实例,例，利用梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,P3,实例,例，利用梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,L1,实例,例，利用梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,L2,实例,例，利用梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,L3,实例,例，利用梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,L4,实例,例，利用梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,L1,L2,实例,例，利用梅森公式求图中所示系统的闭环传递函数,L1,L2,实例,例，系统的方框图如下，画出信号流图，并用梅森公式求系统的传递函数,实例,画出信号流图,实例,画出信号流图,实例,例，如图所示的方框图
31、，用梅森公式求其传递函数,实例,画图信号流图,实例,画图信号流图,实例,例，系统如图所示，用梅森公式求系统传递函数,实例,画出信号流图,实例,画出信号流图,小结,框图：以图形来表示的数学模型 框图的组成：函数方框、信号流线、相加点、分支点 框图的绘制方式 框图的变换规则 串联环节的简化 并联环节的简化 反馈回路的简化 相加点和分支点的移动 通过对框图的化简可以求得传递函数 化简规则,小结,闭环系统的传递函数 系统的开环传递函数 对参考输入信号的闭环传递函数 对扰动输入信号的闭环传递函数 偏差信号的闭环传递函数 信号流图 术语 绘制方式 梅森公式 先绘制信号流图 再辨识回路 计算,系统的数学模型
32、,系统的数学模型,实例,实际元件的输入量和输出量之间都存在不同程度的非线性 对于高阶非线性微分方程，在数学上不能求得一般形式的解 所采取的方法：在可能的条件下，把非线性方程用近似的线性方程代替 最常用的方法：小偏差线性化 将变量的非线性函数展开成泰勒级数，得到变量在某工作状态附近的小增量的表达式，然后略去高于一次小增量的项，从而获得近似的线性函数。,实例,若x-x0=x足够小，且在x0点f(x)的高阶导数不是，则可忽略x的高阶项，得到,说明y的增量和x的增量变成了线性关系,y是x的非线性函数,展开成x0附近的泰勒级数,线性化增量方程,线性化变量方程,实例,变量形式的方程和增量形式的方程只差一个常数，若坐标原点选在预期工作点，即x0 = 0, y0 = 0, 则变量形式和增量形式的方程是相同的； 如果非线性函数是多元函数，则采用多元函数的泰勒级数将其线性化 如果非线性函数中含有自变量的导数，则把这些导数也看成自变量，然后应用多元函数的泰勒级数进行线性化 n元非线性函数在工作点附近线性化后的变量形式的方程是,与工作点有关的数,偏导数在工作点处的数值,总结,第二章结束 谢谢,
