1、第二章 自动控制系统的数学模型 2-1 动态微分方程,一、基本概念,1、系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间 关系的数学表达式1）动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，它一般是时间函数。如：微分方程，传递函数，状态方程等。 2）静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间的关系。一般不是时间函数 2、建立动态模型的方法1）机理分析法：用定律定理建立动态模型。2）实验法：用实验数据提供的信息，采用辨识方法建模。 3、建立动态模型的意义：找出系统输入输出变量之间的相互关系，以便分析设计系统，使系统控制效果最优。,二、列写系统微分方程的步骤,1、确定系统的输入量和输出量2、
2、根据系统所遵循的基本定律，依次列写出各元件的微分方程3、消中间变量，得到只含输入、输出量的标准形式,三、举例,例1：设有由电感L，电容C和电阻R组成的电路，如图所示。试求出以输出电压U2为输出变量和以输入电压U1为输入变量的微分方程。,（1）确定电路的输入量和输出量,解：,U1为输入量，U2为输出量,（2）依据电路所遵循的电学基本定律列写微分方程,（3）消去中间变量，得到U2与U1的关系方程,对（2）式求导得,代入（3）式并整理得,例2：如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为m的物体受到外力作用产生位移Y，求该系统的微分方程。,解：,（1）确定输入量和输出量,输入量：外力F（t) 输出量:位移y
3、(t),（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程,（2）列写原始微分方程,其中,阻尼器的粘性摩擦力,弹簧的弹力,（1）,将以上各式代入（1）式得,整理得,例3：设有带直流电动机系统，如图所示。试列写系统微分方程。,解：,（1）确定输入输出量,输入量ua，,设,输出量n，设,（2）列微分方程,等效电路如图所示,电枢回路的微分方程：,-电势常数,电动机机械微分方程,若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：,（2-2）,（2-1）,电动机机械微分方程,若考虑电动机负载力矩和粘性摩擦力力矩时：,其中,，通常忽略不计。,电动机电磁转距与电枢电流成正比,（3）消去中间变量,将（2-3）带入（2-4）得
4、,（2-3）,（2-4）,（2-5）,（2-6）,将（2-5）,（2-6）带入（2-1）得,（2-7）,令：,-电动机机电时间常数,-电动机电磁时间常数,得,（2-8）,若以 为输入，电动机转角 为输出,将（2-9）（2-10）（2-11）带入（2-8）得,（2-9）,（2-10）,（2-11）,（2-12）,例4 下图所示为闭环调速控制系统，编写控制系统微分方程。,(2)编写各环节的微分方程,解：(1)确定系统输入输出量,输入量为给定电压Ug=Xr,输出量为电动机转速n=Xc.,1）比例放大环节,假定,，有,2）可控硅整流功率放大环节,Ud=KsUk ； Ks-电压放大系数,(2-15),(2-16),3）直流电动机,其中,R电动机回路和可控硅整流电路总电阻,4）反馈环节,比例系数,(3) 消去中间变量,(2-17),将式（2-15）（2-16）代入（2-17）经整理得：,=,(2-18),令 Ks K1=Kg,正向通道放大系数，Ksf Ks K1/Ce=Kk 开环放大系数,得闭环系统的微分方程式：,
