1、注册公用设备工程师动力基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 5及答案与解析一、单项选择题1 2005 年，第 1 题 设 a，b 都是向量，下列说法正确的是( )。（A）(a+b).(a-b)=a 2-b 2（B） a.(a.b)=a 2b（C） (a+b)(a-b)=aa-bb（D）(a.b) 2=a 2b 22 2006 年，第 1 题 已知 =i+aj-3k，=ai-3j+6k，=-2i+2j+6k，若 ， ， 共面，则 a 等于( )。（A）1 或 2（B） -1 或 2（C） -1 或-2（D）1 或-23 2008 年，第 1 题 设 =i+2j+3k，=i-3j-2k，与 ， 都
2、垂直的单位向量为( )。 4 2009 年，第 1 题 设 =-i+3j+k，=i+j 十 tk，已知 =-4i-4k，则 t 等于( )。5 2010 年，第 2 题 设 ， 都是非零向量，=，则( )。（A）（B） 且 （C） ()（D）()6 2013 年，第 1 题 已知向量 (-3 ，-2，1)， (1，-4 ，-5)，则等于( )。（A）0（B） 6（C）（D）14i+16j-10k7 2005 年，第 2 题 过点 M(3，-2，1) 且与直线 平行的直线方程是( )。8 2005 年，第 3 题 过 x 轴和点(1，2，-1) 的平面方程是 ( )。（A）x+2y-z-6=0（
3、B） 2x-y=0（C） y+2z=0（D）x+z=09 2006 年，第 2 题 设平面 x 的方程为 3x-4y-5z-2=0，以下选项中错误的是( )。（A）平面 过点(-1 ，0， -1)（B）平面 的法向量为-3i+4j+5k（C）平面 在 z 轴的截距是（D）平面 与平面-2x-y-2z+2=垂直10 2007 年，第 1 题 设直线的方程为 ，则直线( )。（A）过点(1，-1 ，0)，方向向量为 2i+j-k（B）过点 (1，-1，0) ，方向向量为 2i-j+k（C）过点 (-1，1，0) ，方向向量为-2i-j+k（D）过点(-1，1，0)，方向向量为 2i+j-k11 2
4、007 年，第 2 题(07 年) 设平面 的方程为 2x-2y+3=0，以下选项中错误的是( )。（A）平面 的法向量为 i-j（B）平面 垂直于 z 轴（C）平面 平行于 z 轴（D）平面 与 xoy 面的交线为12 2008 年，第 2 题 已知平面 过点(1，1，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，则与平面 垂直且过点(1，1，1)的直线的对称方程为( )。13 2009 年，第 2 题 设平面的方程为 x+y+z+1=0，直线的方程为 1-x=y+1=z，则直线与平面( ) 。（A）平行（B）垂直（C）重合（D）相交但不垂直14 2010 年，第 1 题 设直线的方程为 ，则直线(
5、 )。（A）过点(-1，2，-3) ，方向向量为 i+2j-3k（B）过点 (-1，2，-3)，方向向量为-i-2j+3k（C）过点 (1，2，-3)，方向向量为 i-2j+3k（D）过点(1，-2 ，3)，方向向量为 -i-2j+3k15 2011 年，第 2 题 设直线的方程为 x=y-1=z，平面的方程为 x-2y+z=0，则直线与平面( ) 。（A）重合（B）平行不重合（C）垂直相交（D）相交不垂直16 2012.18设直线 L 为 ，平面 为 4x-2y+z-2=0，则直线和平面的关系是( ) 。（A）L 平行于 （B） L 在 上（C） L 垂直于 （D）L 与 斜交17 2013
6、15已知直线 L： ，平面 ：-2x+2y+z-1=0，则( )。（A）L 与 垂直相交（B） L 平行于 但 L 不在 上（C） L 与 非垂直相交（D）L 在 上18 2014.9设有直线 L1： ，则 L1 与 L2 的夹角 等于( ) 。19 2005 年，第 2 题 将椭圆 ，绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是( )。 20 2006 年，第 3 题 球面 x2+y2+z2=9 与平面 x+z=1 的交线在 xoy 坐标面上投影的方程是( ) 。（A）x 2+y2+(1-x)2=9（B）（C） z2+y2+(1-z)2=9（D）21 2007 年，第 3 题 下列方程中代表单叶
7、双曲面的是( )。22 2008 年，第 3 题 下列方程中代表锥面的是( ) 。23 2011 年，第 1 题 在三维空间中方程 y2-z2=1 所代表的图形是( )。（A）母线平行 x 轴的双曲柱面（B）母线平行 y 轴的双曲柱面（C）母线平行 z 轴的双曲柱面（D）双曲线24 2012 年，第 16 题 曲线 x2+4y2+z2=4 与平面 x+z=a 的交线在 yoz 平面上的投影方程是( ) 。25 2012 年，第 17 题 方程 ，表示( )。（A）旋转双曲面（B）双叶双曲面（C）双曲柱面（D）锥面26 2014 年，第 2 题 在空间直角坐标系中，方程 x2+y2-z=0 所表
8、示的图形是( )。（A）圆锥面（B）圆柱面（C）球面（D）旋转抛物面27 2010 年，第 3 题 设 f(x)= ，则( )。（A）f(x)为偶函数，值域为 (-1，1)（B） f(x)为奇函数，值域为(-，0)（C） f(x)为奇函数，值域为(-1 ，1)（D）f(x)为奇函数，值域为 (0，+)28 2005 年，第 5 题 下列极限计算中，错误的是( )。29 2006 年，第 4 题 若 ，则 a 与 b 的值是( )。（A）b0，a 为任意实数（B） a0，b=0（C） =1，b=-8（D）a=0 ，b=030 2007 年，第 4 题 若有 ，则当 xa 时，f(x)不一定是(
9、)。（A）有极限的函数（B）有界函数（C）无穷小量（D）比(x-a) 高阶的无穷小注册公用设备工程师动力基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 5答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 利用向量数量积的分配律以及 a.a=a 2，有(a+b).(a-b)=a.a+b.a-a.b-b.b=a 2-b 2 选项 B 和 D 在数量积中使用了结合律，所以是错误的；选项 C 在向量积中使用了交换律，故也是错误的。应选 A。【知识模块】 数学2 【正确答案】 C【试题解析】 若 ， 共面，则 =0，计算三阶行列式得a2+3a+2=0，求解该方程得 a=-1 或-2 ，应选 C。【知识模块
10、】 数学3 【正确答案】 D【试题解析】 由向量积定义知，故作向量 ， 的向量积，再单位化则可，由于 = =5(i+j-k)，取 i+j-k，再单位化得 ，应选 D。【知识模块】 数学4 【正确答案】 C【试题解析】 = =(3t-1)i+(1+t)j-4k=-4i-4k，得 t=-1，应选 C。【知识模块】 数学5 【正确答案】 C【试题解析】 由 ，有 =0 ，提取公因子得 ()=0，由于两向量平行的充分必要条件是向量积为零，所以 ()，应选 C。【知识模块】 数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由向量积计算公式：应选 C。【知识模块】 数学7 【正确答案】 D【试题解析】 直线 的方向
11、向量应垂直于平面 x-y-z+1=0 和平面2x+y-3z+4=0 的法向量，因此所求直线的方向向量 s 应是这两个法向量的向量积，即 ，应选 D。【知识模块】 数学8 【正确答案】 B【试题解析】 过 z 轴的平面方程为 Ax+By=0，再将点(1，2，-1)代入得 A=-2B，故有-2Bx+8y=0 ，消去 B 得-2x+y=0 ，应选 B。【知识模块】 数学9 【正确答案】 D【试题解析】 平面 3z-4y-5z-2=0 的法向量为 n1=(-3，4，5)，平面-2x-y-2z+2=0 的法向量为，n 2=(-2，-1，-2)，两个平面垂直的充要条件是法向量的数量积为零，而n1.n2=(
12、-3)(-2)+4(-1)+5(-2)=-80，故(D)选项错误。将点(-1，0，-1)代入 3x-4y-5z-2=0 满足，A 选项正确；显然 -3i+4j+5k 是平面 的法向量，B 选项正确；将x=y=0 代入 3x-4y-5z-2=0，解得 z= ，平面 在 z 轴的截距是 ，C 选项正确。应选 D。【知识模块】 数学10 【正确答案】 A【试题解析】 由所给直线的对称式方程知，直线过点(1，-1，0)，方向向量为-2i-j+k，故 2i+j-k 也是所给直线的方向向量，应选 A。【知识模块】 数学11 【正确答案】 B【试题解析】 平面 的方程中不含 z，平面 平行于 z 轴，不可能
13、垂直于 z 轴，应选 B。 A 选项和 C 选项显然正确； 的方程可改写为 ，而 xoy 面的方程为 z=0，两者联立即为 ，所以 D 选项也正确。【知识模块】 数学12 【正确答案】 B【试题解析】 因为直线与平面 垂直，故平面 的法向量就是所求直线的方向向量，又平面 过点(1，1，0) 、(0，0，1)、(0，1， 1)，三点可确定两个向量，平面 的法向量可取为这两个向量的向量积，即 n= =i+k，所求直线的方向向量为 i+k，应选 B。【知识模块】 数学13 【正确答案】 D【试题解析】 平面 x+y+z+1=0 的法向量为(1，1，1)，直线 1-x=y+1=z 的方向向量为(-1，
14、1， 1)，这两个向量既不垂直也不平行，表明直线与平面相交但不垂直，应选 D。【知识模块】 数学14 【正确答案】 D【试题解析】 将直线的方程化为对称式得 ，直线过点(1，-2，3)，方向向量为 i+2j-3k，或-i-2j+3k，应选 D。【知识模块】 数学15 【正确答案】 B【试题解析】 直线的方向向量为 S=(1，1，1)，平面的法向量为 n=(1，-2，1)，因 s.n=1-2+1=0，这两个向量垂直，从而直线与平面平行，又直线上的点(0，1，0)不在平面上，故直线与平面不重合。应选 B。【知识模块】 数学16 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s= =-7(4
15、i+-2j+k)，平面 的法向量为 n=4i+-2j+k，对应坐标成比例，ns ，故 L 垂直于 。应选 C。【知识模块】 数学17 【正确答案】 C【试题解析】 平面的法向量为，N=(-2，2，1)，直线的方向向量为 s=(3，-1，2)，对应坐标不成比例，直线与平面不垂直，又 s.n=(3，-1，2) T.(-2，2，1) T=-60，直线与平面不平行。应选 C。【知识模块】 数学18 【正确答案】 D【试题解析】 L 1 的方向向量 s1=(1，-2，1)，L 2 的方向向量 s2=(-1，-1，2)，cos=，应选 D。【知识模块】 数学19 【正确答案】 C【试题解析】 将 中的变量
16、 z 换成 就可得到所求旋转曲面方程，应选 C。【知识模块】 数学20 【正确答案】 B【试题解析】 联立 x2+y2+z2=9 和 x+z=1 消去 z，得投影柱面方程 x2+y2+(1-x)2=9，再与 z=0 联立，就得到投影曲线的方程，应选 B。【知识模块】 数学21 【正确答案】 A【试题解析】 表示单叶双曲面， 表示椭球面，表示双叶双曲面， 表示原点。应选 A。【知识模块】 数学22 【正确答案】 A【试题解析】 由二次曲面的分类知： 表示锥面； 表示单叶双曲面， 表示双叶双曲面， 表示椭球面。应选 A。【知识模块】 数学23 【正确答案】 A【试题解析】 方程中缺变量 x，故是母
17、线平行 x 轴的柱面；又 y2-z2=1 在 yoz 面内表双曲线，故是双曲柱面。应选 A。【知识模块】 数学24 【正确答案】 A【试题解析】 联立 x2+4y2+z2=4 和 x+z=a 消去 x，得投影柱面方程， (x-z)2+4y2+z2=4。再与 x=0 联立，就得到投影曲线的方程，应选 A。【知识模块】 数学25 【正确答案】 A【试题解析】 这是双曲线 绕 y 旋转所生成的旋转双曲面。应选 A。【知识模块】 数学26 【正确答案】 D【试题解析】 这是抛物线 绕 z 旋转所生成的旋转抛物面。应选 D。【知识模块】 数学27 【正确答案】 C【试题解析】 f(-x)= ，f(x)为
18、奇函数。又 f(x)的定义域为(-，+)；而 知 f(x)单调增，又，所以值域为(-1，1)，应选 C。【知识模块】 数学28 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，而 sinx 是有界量，根据无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量，知 错误。利用两个重要极限的结论，知其他三个选项都是正确的。应选 B。【知识模块】 数学29 【正确答案】 A【试题解析】 利用 ，(其中 Pm(x)=amxm+am-1xm-1+a0，Q n(x)=bnxn+bn-1xn-1+b0)由，有 b0，a 为任意实数，应选 A。【知识模块】 数学30 【正确答案】 B【试题解析】 由 ，这说明当 xa 时，f(x)是有极限的函数，且是无穷小量，并且是比(x-a)高阶的无穷小，因而选项 A、B、C 都是对的，f(x)有界函数不一定成立，应选 B。【知识模块】 数学
