1、注册公用设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 11 及答案与解析一、单项选择题1 2009 年第 3 题 函数 f(x)= ，在(一 ，+)内( )。（A）单调减少（B）单调增加（C）有界（D）偶函数2 2009 年第 7 题 设 y=f(x)是(a，b) 内的可导函数， x，x+x 是(a，b)内的任意两点，则( )。（A）y=f(x) x（B）在 x，x+ x 之间恰好有一点 ，使y=f() x（C）在 x，x+ x 之间至少有一点 ，使y=f() x（D）在 x，x+x 之间任意一点 ，均有 y=f()x3 2011 年第 61 当 x0 时，下列不等式中正确的是( )
2、。（A）e x1+x（B） ln(1+x)x（C） exex（D）xsin x4 2012 年第 8 题 当 axb 时，有 f(x)0，f“(x)0，则在区间(a，b)内，函数y=f(x)的图形沿 x 轴正向是( )。（A）单调减且凸的（B）单调减且凹的（C）单调增且凸的（D）单调增且凹的5 2012 年第 9 题 下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的是( )。（A）f(x)= ，1，2（B） f(x)= ， 1，1（C） f(x)= ，1 ，2（D）f(x)= ，1，26 2013 年第题 函数 y= 的极值可疑点的个数是( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）37 2013 年
3、第 13 题 若 f(一 x)=一 f(x)(一 ，+) ，且在 (，0)内有 f(x)0，f“(x)0，则在(0 ，+)内必有( )。（A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f“(x)08 2014 年第 8 题 下列说法中正确的是( ) 。（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必是 f(x)的极值（B）若 f(x0)是 f(x)的极值，则 f(x)在 x0 处可导，且 f(x0)=0（C）若 f(x)在 x0 处可导，则 f(x0)=0 是 f(x)在 x0 取得极值的必要条件（D）若 f(x)在 x0 处可导，则 f(
4、x0)=0 是 f(x)在 x0 取得极值的必要条件9 2016 年第 11 题 设 f(x)=x(x1)(x 一 2)，则方程 f(x)=0 的实根个数是( )。（A）3（B） 2（C） 1（D）010 2016 年第 13 题 设函数 f(x)在(a，b)内可微，且 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内( )。（A）必有极大值（B）必有极小值（C）必无极值（D）不能确定有还是没有极值11 2006 年第 6 题 已知函数 等于( )。（A）2x+2y（B） x+y（C） 2x 一 2y（D）xy12 2007 年第 6 题 已知 xy=kz(k 为正常数)，则 等于( )。（A）1（B）
5、一 1（C） k（D）13 2009 年第 6 题 设 z=f(x2 一 y2)，则 dz 等于( )。（A）2x 一 2y（B） 2xdx 一 2ydy（C） f(x2 一 y2)dx（D）2f(x 2y2)(xdxydy)14 2013 年第 11 题 函数 z=z(x，y)由方程 xz 一 xy+ln xyz=0 所确定，则 等于( )。15 2013 年第 18 题 若 z=f(x，y)和 y=(x)均可微，则 等于( )。16 2014 年第 15 题 设方程 x2+y2+z2=4z 确定可微函数 z=z(x，y) ，则全微分 dz 等于( )。17 2014 年第 18 题 设 z
6、= 等于( )。18 2016 年第 9 题 若函数 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微，则下面结论中错误的是( )。（A）z=f(x，y)在点 P0 处连续（B） f(x，y) 存在（C） fx(x0， y0)，f y(x0，y 0)均存在（D）f x(x，y)，f y(x，y)在 P0 处连续19 2016 年第 18 题 若 z= +xF(u)，其中 F(u)可微，且 u= 等于( )。（A）3 xy 一 F(u)（B） 3xyln3+F(u)（C） 3xy+F(u)（D）3 xyln3+F(u)20 2005 年第 8 题 曲面 z=x2 一 y2 在点( ，一 1，1)
7、处的法线方程是( )。21 2006 年第 8 题 曲面 z=1x2y2 在点 处的切平面方程是( )。（A）x+y+z 一 =0（B） xyz+ =0（C） xy+z 一 =0（D）x 一 y+z+ =022 2010 年第 71 题 下列各点中为二元函数 z=x3 一 y3 一 3x2+3y 一 9x 的极值点的是( )。（A）(3 ，1)（B） (3，1)（C） (1，1)（D）(一 1，一 1)23 2011 年第 7 题 若函数 f(x，y)在闭区域 D 上连续，下列关于极值点的陈述中正确的是( ) 。（A）f(x，y)的极值点一定是 f(x，y)的驻点（B）如果 P0 是 f(x，
8、y)的极值点，则 P0 点处 B2 一 AC0(其中 A=，)（C）如果 P0 是可微函数 f(x，y)的极值点，则 P0 点处 df=0（D）f(x，y)的最大值点一定是 f(x，y)的极大值点24 2006 年第 9 题 等于( ) 。（A）（B）（C） 3 一 x2+C（D）(3 一 x2)2+C25 2007 年第 9 题 若f(x)dx=x 3+C，则f(cosx)sin xdx 等于( )。(式中 C 为任意常数)（A）一 cos3x+C（B） sin3x+C（C） cos3x+C（D） cos3x+C26 2008 年第 9 题 若在区间(a ，b)内，f(x)=g(x) ，下列
9、等式中错误的是 ( )。（A）f(x)=Cg(x)（B） f(x)=g(x)+C（C） df(x)=dg(x)（D）df(x)=dg(x)27 2009 年第 8 题 等于( ) 。（A）cotx tanx+C（B） cotx+tanx+C（C）一 cotxtanx+C（D）一 cotx+tanx+C28 2009 年第 9 题 若f(x)dx=F(x)+C，则 等于( )。(式中 C 为任意常数)29 2010 年第 8 题 若 f(x)的一个原函数是 e-2x，则f“(x)dx 等于( ) 。（A）e -2x+C（B）一 2e-2x（C） 2e-2x+C（D）4e -2x+C30 2010
10、 年第 9 题 若xe -2xdx 等于( )。(式中 C 为任意常数)（A）一 e-2x(2x+1)+C（B） e-2x(2x+1)+C（C）一 e-2x(2x 一 1)+C（D）一 e-2x(x+1)+C31 2011 年第 8 题 等于( ) 。32 2012 年第 4 题f(x)的一个原函数为 ，则 f(x)等于( )。（A）2( 1+2x2)（B）（C） 2(1+2x2)（D）(1 2x)33 2012 年第 5 题f(x)连续，则f(2x+1)dx 等于( )。(c 为任意常数)（A）f(2x+1)+C（B） f(2x+1)+C（C） 2f(2x+1)+C（D）f(x)+C注册公用
11、设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 11 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(0 一 0)=f(0+0)=f(0)=1，f(x)在 (一 00，+)内连续；又在(一，0)内， f(x)=2x0，在(0，+) 内，f(x)=10，故 f(x)在(一 ，+) 内单调增加，应选 B。【知识模块】 数学2 【正确答案】 C【试题解析】 因 y=f(x)在 (a，b)内可导，x，x+x 是(a，b) 内的任意两点，故 f(x)在x， x+x上连续，在(x，x+ x)内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点(x， x+x)，使 f(x+x)一 f(x)=
12、f()x，即 y=f()x，应选 C。【知识模块】 数学3 【正确答案】 D【试题解析】 记 f(x)=xsinx，则当 x0 时，f(x)=1 一 cos x0，f(x)单调增，f(x)f(0)=0，即 xsin x0，应选 D。 该题也可用验证的方法求解。例如：取 x=3，显然有 e31+3=4，A 选项不成立；类似可得到选项 B 和选项 C 都不成立。【知识模块】 数学4 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x) 0，f“(x)0 知函数 y=f(x)的图形沿 x 轴正向是单调增且凹的，应选 D。【知识模块】 数学5 【正确答案】 B【试题解析】 对 f(x)= 在 x=0 不可导，因
13、而在区间1 ，1 上不满足拉格朗日定理条件，其他三个选项都满足，应选 B。【知识模块】 数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由 y= =0，知故 x=2 是驻点，x=0 是导数不存在点，故极值可疑点有两个，应选 C。【知识模块】 数学7 【正确答案】 C【试题解析】 由于在(一，0)内有 f(x)0，f“(x)0，f(x) 单调增加，其图形为凸的。又函数 f(x)在(一，+) 上是奇函数，其图形关于原点对称，故在 (0，+) 内，f(x)应单调增加，且图形为凹的，所以有 f(x)0，f“(x)0，应选 C。【知识模块】 数学8 【正确答案】 C【试题解析】 极值存在的必要条件：若 f(x)在
14、 x0 处可导，且 f(x)在 x0 取得极值，则必有 f(x0)=0，应为 C。【知识模块】 数学9 【正确答案】 B【试题解析】 由条件知 f(x)是三次多项式，且 f(x)=0 有 3 个实根，故 f(x)是二次多项式，最多 2 个实根。再由罗尔定理，f(x)=0 的两根之间必有 f(x)=0 的一个根，所以 f(x)=0 有 2 个实根，应选 B。【知识模块】 数学10 【正确答案】 C【试题解析】 由极值存在必要条件，如果 f(x)在(a，b) 内可导且有极值，则在极值点必有 f(x)=0。现有 f(x)在(a，b)内可微，故一定可导，又有 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内必无
15、极值，故选 C。【知识模块】 数学11 【正确答案】 B【试题解析】 令 u=xy，v= ，由这两式可解得 x2=uv，于是有 f(u，v)=uv，即f(x，y)=xy，所以 =x+y，应选 B。【知识模块】 数学12 【正确答案】 B【试题解析】 =一 1，应选 B。【知识模块】 数学13 【正确答案】 D【试题解析】 这是二元函数求全微分，利用 dz= =2xf(x2一 y2)， =一 2yf(x2 一 y2)；所以 dz=2f(x2 一 y2)(xdxydy)，应选 D。【知识模块】 数学14 【正确答案】 D【试题解析】 记 F(x，y， z)=xzxy+ln xyz，则 Fy(x，y
16、，z)=一 x+，应选 D。【知识模块】 数学15 【正确答案】 B【试题解析】 z=f(x，y)和 y=(x)复合后是 z 对 x 的一元函数，应选 B。【知识模块】 数学16 【正确答案】 B【试题解析】 对方程 x2+y2+z2=4z 两边同时微分，得 2xdx+2ydy+2zdz=4dz，解出dz= (xdx+ydy)，应选 B。【知识模块】 数学17 【正确答案】 A【试题解析】 ，应选 A。【知识模块】 数学18 【正确答案】 D【试题解析】 由函数 z=f(x，y) 在点 P0 处可微知在该点函数 z=f(x，y)极限存在、连续且偏导数存在，但偏导数不一定连续，应选 D。【知识模
17、块】 数学19 【正确答案】 D【试题解析】 =3xyln3+F(u)，应选 D。【知识模块】 数学20 【正确答案】 C【试题解析】 曲面的切向量为n= ，法线的方向向量为s=( ，2，一 1)，利用空间直线的对称式方程知，应选 C。【知识模块】 数学21 【正确答案】 A【试题解析】 切平面的法向量为 n= =一 1，一 1，一 1，切平面方程的点法式方程为 =0，应选 A。【知识模块】 数学22 【正确答案】 A【试题解析】 利用多元函数极值存在必要条件，由 解得四个驻点(3 ，1)(3，一 1)(一 1， 1)(一 1，一 1)，再利用多元函数极值存在充分条件，求二阶偏导数 =一 6y
18、，在点(3，一 1)处，ACB2=1260，是极值点。在点(3，1)处，ACB 2=12(6)0，不是极值点。类似可知(一 1，一 1)也不是极值点，点(1，1) 不满足所给函数，也不是极值点，应选A。【知识模块】 数学23 【正确答案】 C【试题解析】 如果 P0 是可微函数 f(x，y) 的极值点，由极值存在必要条件，在 P0点处有 =0，应选 C。【知识模块】 数学24 【正确答案】 B【试题解析】 用第一类换元及幂函数积分公式，有，故应选 B。【知识模块】 数学25 【正确答案】 A【试题解析】 用第一类换元f(cosx)sinxdx=一f(cosx)dcosx=一 cos3x+C，故
19、应选A。【知识模块】 数学26 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)=g(x)，显然有 df(x)=dg(x)和df(x)=dg(x)成立，再对 f(x)=g(x)两边积分，可得 f(x)=g(x)+C，选项 B、C、D 都正确，故应选 A。【知识模块】 数学27 【正确答案】 C【试题解析】 由 cos 2x=cos2xsin2x，有 原式=一 cotxtanx+C，故应选 C。【知识模块】 数学28 【正确答案】 B【试题解析】 用第一类换元及，故应选 B。【知识模块】 数学29 【正确答案】 D【试题解析】 因 e-2x 是 f(x)的一个原函数，故有 f(x)=(e-2x)=2e-2x，f(x)=(2e -2x)=4e-2x，f“(x)dx=df(x)=f(x)+C=4e -2x+C，故应选 D。【知识模块】 数学30 【正确答案】 A【试题解析】 用分部积分法，有xe -2xdx=一e-2x(2x+1)+C，故应选A。【知识模块】 数学31 【正确答案】 B【试题解析】 ，故应选 B。【知识模块】 数学32 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=，应选A。【知识模块】 数学33 【正确答案】 B【试题解析】 f(2x+1)dx= f(2x+1)+C，应选 B。【知识模块】 数学
