1、注册公用设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、单项选择题1 2005 年第 1 题 设 a，b 都是向量，下列说法正确的是( )。（A）(a+b)(ab)=a 2 一b 2（B） a(ab)=a 2b（C） (a+b)(a 一 b)=aabb（D）(ab) 2=a 2b 22 2006 年第 1 题 已知 =i+aj 一 3k，=ai 一 3j+6k，=一 2i+2j+6k，若 ， 共面，则 a 等于 ( )。（A）1 或 2（B）一 1 或 2（C）一 1 或一 2（D）1 或一 23 2008 年第 1 题 设 a=l+2j+3k，=i 一 3j 一
2、2k，与 ， 都垂直的单位向量为( )。（A）(i+jk)（B） (i 一 j+k)（C） (i+j+k)（D） (i+j+k)4 2009 年第 1 题 设 =一 i+3j+k，=i+j+k，已知 =4i4k，则 t 等于( )。（A）1（B） 0（C）一 1（D）一 25 2010 年第 2 题 设 ， ， 都是非零向量，=X，则( )。（A）=（B） 且 （C） ( 一 )（D）( 一 )6 2013 年第 1 题 已知向量 =(一 3，2，1)，=(1，4，一 5)，则等于( )。（A）0（B） 6（C）（D）14i+16j 一 10k7 2016 年第 4 题 若向量 ， 满足=2
3、， = ，且 =2，则等于( )。（A）2（B）（C） 2+（D）不能确定8 2005 年第 2 题 过点 M(3，2，1)且与直线 平行的直线方程是( )。9 2005 年第 3 题 过 z 轴和点(1，2，一 1)的平面方程是( )。（A）x+2yz 一 6=0（B） 2xy=0（C） y+2z=0（D）x+z=010 2006 年第 2 题 设平面 的方程为 3x 一 4y 一 5z 一 2=0，以下选项中错误的是( )。（A）平面 过点(一 1， 0，1)（B）平面 的法向量为一 3i+4j+5k（C）平面 在 z 轴的截距是一（D）平面 与平面2xy 一 2z+2=0 垂直11 20
4、07 年第 1 题 设直线的方程为 ，则直线( )。（A）过点(1，一 1，0) ，方向向量为 2i+j 一 k。（B）过点 (1，一 1，0)，方向向量为 2i 一 j+k（C）过点 (一 1，1，0)，方向向量为一 2i 一 j+k（D）过点(一 1，1，0) ，方向向量为 2i+j 一 k12 2007 年第 2 题 设平面 的方程为 2x 一 2y+3=0，以下选项中错误的是( )。（A）平面 的法向量为 i 一 j（B）平面 垂直于 z 轴（C）平面 平行于 z 轴（D）平面 与 xoy 面的交线为13 2008 年第 2 题 已知平面 过点(1，1，0)、(0，0，1)、(0，1，
5、1)，则与平面 垂直且过点(1，1，1) 的直线的对称方程为( ) 。14 2009 年第 2 题 设平面的方程为 x+y+z+1=0，直线的方程为 1 一 x=y+1=z，则直线与平面( ) 。（A）平行（B）垂直（C）重合（D）相交但不垂直15 2010 年第 1 题 设直线的方程为 ，则直线( )。（A）过点(一 1，2，一 3)，方向向量为 i+2j3k（B）过点 (一 1，2，一 3)，方向向量为一 i 一 2j+3k（C）过点 (1，2，3)，方向向量为 j 一 2j+3k（D）过点(1，2，3) ，方向向量为 i2j+3k16 2011 年第 2 题 设直线的方程为 x=y 一
6、1=z，平面的方程为 x2y+z=0，则直线与平面( )。（A）重合（B）平行不重合（C）垂直相交（D）相交不垂直17 2012 年第 18 题 设直线 L 为 ，平面 为 4x 一 2y+z 一 2=0，则直线和平面的关系是( )。（A）L 平行于 （B） L 在 上（C） L 垂直于 （D）L 与 斜交18 2013 年第 15 题 已知直线 L： ，平面 ：一 2x+2y+z 一 1=0，则( )。（A）L 与 垂直相交（B） L 平行于 但 L 不在 上（C） L 与 非垂直相交（D）L 在 上19 2014 年第 9 题 设有直线 L： ，则 L1 与 L2的夹角 等于( ) 。20
7、 2005 年第 4 题 将椭圆 ，绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是( )。21 2006 年第 3 题 球面 x2+y2+z2=9 与平面 x+z=1 的交线在 xOy 坐标面上投影的方程是( )。（A）x 2+y2+(1 一 x)2=9（B）（C） z2+y2+(1 一 z)2=9（D）22 2007 年第 3 题 下列方程中代表单叶双曲面的是( )。23 2008 年第 3 题 下列方程中代表锥面的是( ) 。24 2011 年第 1 题 在三维空间中方程 y2 一 z2=1 所代表的图形是( )。（A）母线平行 x 轴的双曲柱面（B）母线平行 y 轴的双曲柱面（C）母线平行 z
8、 轴的双曲柱面（D）双曲线25 2012 年第 16 题 曲线 x2+4y2+z2=4 与平面 x+z=a 的交线在 yOz 平面上的投影方程是( )。26 2012 年第 17 题 方程 x2 一 +z2=1，表示( ) 。（A）旋转双曲面（B）双叶双曲面（C）双曲柱面（D）锥面27 2014 年第 2 题 在空间直角坐标系中，方程 x2+y2 一 z=0 所表示的图形是( )。（A）圆锥面（B）圆柱面（C）球面（D）旋转抛物面28 2016 年第 8 题yOz 坐标面上的曲线 绕 Oz 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是( ) 。（A）x 2+y2+z=l（B） x+y2+z=1（C） y2
9、+ =1（D）y 2 一 =129 2010 年第 3 题 设 f(x)= ，则( )。（A）f(x)为偶函数，值域为 (1，1)（B） f(x)为奇函数，值域为(一，0)（C） f(x)为奇函数，值域为(一 1，1)（D）f(x)为奇函数，值域为 (0，+)30 2005 年第 5 题 下列极限计算中，错误的是( ) 。31 2006 年第 4 题 若 =，则 a 与 b 的值是( )。（A）b0，a 为任意实数（B） a0，b=0（C） a=1，b=一 8（D）a=0 ，b=032 2007 年第 4 题 若有 =0，则当 xa 时，f(x)不一定是( )。（A）有极限的函数（B）有界函数
10、（C）无穷小量（D）比(x a)高阶的无穷小33 2008 年第 33 题 函数 f(x)= ，在 x1 时，f(x)的极限是( )。（A）2（B） 3（C） 0（D）不存在注册公用设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 利用向量数量积的分配律以及 aa=a 2，有(a+b)(a 一 b)=a a+baabbb= a 2b 2。 选项 B 和 D 在数量积中使用了结合律，所以是错误的；选项 C 在向量积中使用了交换律，故也是错误的，应选 A。【知识模块】 数学2 【正确答案】 C【试题解析】 若 ， 共面，则 =0，
11、计算三阶行列式得a2+3a+2=0，求解该方程得 a=1 或一 2，应选 C。【知识模块】 数学3 【正确答案】 D【试题解析】 由向量积定义可知， ，先作向量 ， 的向量积，再单位化则可，由于 = =5(i+j 一 k)，取 i+j 一 k，再单位化得 (i+j一 k)，应选 D。【知识模块】 数学4 【正确答案】 C【试题解析】 = =(3t 一 1)i+(1+t)j 一 4k=一 4i4k，得 t=一 1，应选C。【知识模块】 数学5 【正确答案】 C【试题解析】 由 =，有 一 =0，提取公因子得 ()=0，由于两向量平行的充分必要条件是向量积为零，所以 ( 一 )，应选 C。【知识模
12、块】 数学6 【正确答案】 C【试题解析】 由向量积计算公式有 =，应选 C。【知识模块】 数学7 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 数学8 【正确答案】 D【试题解析】 直线 的方向向量 s 应垂直于平面 x 一 y 一 z+1=0 和平面 2x+y 一 3z+4=0 的法向量，因此方向向量 s 应是这两个法向量的向量积，即s= =4i+j+3k，应选 D。【知识模块】 数学9 【正确答案】 B【试题解析】 过 z 轴的平面方程为 Ax+By=0，再将点(1，2，一 1)代入得 A=2B，故有 2Bx+By=0，消去 B 得一 2x+y=0，应选 B。【知识模块】 数学10 【正确
13、答案】 D【试题解析】 平面 3x4y5z2=0 的法向量为 n1=(一 3，4，5)，平面2xy一 2z+2=0 的法向量为 n2=(2，一 1，一 2)，两个平面垂直的充要条件是法向量的数量积为零，而 n1n 2=(一 3)(一 2)+4x(1)+5(2)=80，故 D 选项错误。将点(一 1，0，一 1)代入 3x 一 4y 一 5z 一 2=0 满足，A 选项正确；显然3i+4j+5k是平面 的法向量， B 选项正确；将 x=y=0 代入 3x 一 4y 一 5z 一 2=0，解得 z=一，平面 在 z 轴的截距是一 ，C 选项正确。应选 D。【知识模块】 数学11 【正确答案】 A【
14、试题解析】 由所给直线的对称式方程知，直线过点(1，一 1，0)，方向向量为一 2i 一 j+k，故 2i+j 一 k 也是所给直线的方向向量，应选 A。【知识模块】 数学12 【正确答案】 B【试题解析】 平面 的方程中不含 z，平面 平行于 z 轴，不可能垂直于 z 轴，应选 B。 A 选项和 C 选项显然正确； 的方程可改写为 ，而 xOy 面的方程为 z=0，两者联立即为 ，所以 D 选项也正确。【知识模块】 数学13 【正确答案】 B【试题解析】 因为直线与平面 垂直，故平面 的法向量就是所求直线的方向向量，又平面 过点(1，1，0) 、(0，0，1)、(0，1， 1)，三点可确定两
15、个向量，平面 的法向量可取为这两个向量的向量积，即 n= =i+k，所求直线的方向向量为 l+k，应选 B。【知识模块】 数学14 【正确答案】 D【试题解析】 平面 x+y+z+1=0 的法向量为(1，1，1)，既不平行也不垂直，故直线 1 一 x=y+1=z 的方向向量为(一 1，1，1)，这两个向量既不垂直也不平行，表明直线与平面相交但不垂直，应选 D。【知识模块】 数学15 【正确答案】 D【试题解析】 将直线的方程化为对称式得 ，直线过点(1，2，3)，方向向量为 i+2j 一 3k，或一 i 一 2j+3k，应选 D。【知识模块】 数学16 【正确答案】 B【试题解析】 直线的方向
16、向量为 s=(1，1，1)，平面的法向量为 n=(1，2，1)，因 sn=12+1=0，这两个向量垂直，从而直线与平面平行，又直线上的点(0，1， 0)不在平面上，故直线与平面不重合，应选 B。【知识模块】 数学17 【正确答案】 C【试题解析】 直线 L 的方向向量为 s= =一 7(4i+一 2j+k)，平面 的法向量为 n=4i+一 2j+k，对应坐标成比例，n s，故 L 垂直于 ，应选 C。【知识模块】 数学18 【正确答案】 C【试题解析】 平面的法向量为 n=(一 2，2，1)，直线的方向向量为 s=(3，一 1，2)，对应坐标不成比例，直线与平面不垂直，又 sn=(3，一 1，
17、2) T(一 2，2，1) T=一 60，直线与平面不平行。应选 C。【知识模块】 数学19 【正确答案】 B【试题解析】 L 1 的方向向量 s1=(1，一 2，1)， L 2 的方向向量 s2=(1，1，2)， cos= ，应选 B。【知识模块】 数学20 【正确答案】 C【试题解析】 将 就可得到所求旋转曲面方程，应选 C。【知识模块】 数学21 【正确答案】 B【试题解析】 联立 x2+y2+z2=9 和 x+z=1 消去 z，得投影柱面方程 x2+y2+(1 一 x)2=9，再与 z=0 联立，就得到投影曲线的方程，应选 B。【知识模块】 数学22 【正确答案】 A【试题解析】 一
18、z2=1 表示单叶双曲面， +z2=1 表示椭球面，一 z2=1 表示双叶双曲面， +z2=0 表示原点，应选 A。【知识模块】 数学23 【正确答案】 A【试题解析】 由二次曲面的分类知： 一 z2=0 表示锥面； 一 z2=1 表示单叶双曲面， 一 z2=1 表示双叶双曲面， +z2=1 表示椭球面，应选A。【知识模块】 数学24 【正确答案】 A【试题解析】 方程中缺变量 x，故是母线平行 x 轴的柱面；又 y2 一 z2=1 在 yOz 面内表示双曲线，故该图形为双曲柱面，应选 A。【知识模块】 数学25 【正确答案】 A【试题解析】 联立 x2+4y2+z2=4 和 x+z=a 消去
19、 x，得投影柱面方程， (az)2+4y2+z2=4。再与 x=0 联立，就得到投影曲线的方程，故应选 A。【知识模块】 数学26 【正确答案】 A【试题解析】 这是双曲线 绕 y 旋转所生成的旋转双曲面。应选 A。【知识模块】 数学27 【正确答案】 D【试题解析】 这是抛物线 绕 z 旋转所生成的旋转抛物面，应选 D。【知识模块】 数学28 【正确答案】 A【试题解析】 由于曲线是绕 Oz 轴旋转，故旋转曲面的方程只需将 y2+z=l 中的 y换成 则可，故得 x2+y2+z=1，应选 A。【知识模块】 数学29 【正确答案】 C【试题解析】 f(一 x)= =一 f(x)，f(x)为奇函
20、数。又 f(x)的定义域为(一 ，+)；而 f(x)= f(x)=1，所以值域为(一 1，1)，应选 C。【知识模块】 数学30 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =0，而 sinx 是有界量，根据无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量，知 =1 错误。利用两个重要极限的结论，知其他三个选项都是正确的。应选 B。【知识模块】 数学31 【正确答案】 A【试题解析】 利用 (其中 Pm(x)=amxm+am1xm1+a0，Q n(x)=bnxn+bn1xn+b0)，由=，知 b0，a 为任意实数，应选A。【知识模块】 数学32 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)=0，这说明当 xa 时，f(x)是有极限的函数，且是无穷小量，并且是比(x 一 a)高阶的无穷小，因而选项(A)、(B)、(C)都是对的，f(x)是有界函数不一定成立，应选 B。【知识模块】 数学33 【正确答案】 D【试题解析】 分段函数在交接点，必须考虑左右极限，由 f(x)=2知，在 x1 时，f(x)的极限不存在，应选 D。【知识模块】 数学
