1、注册公用设备工程师（给水排水基础考试-下午-数学）模拟试卷 12 及答案与解析一、单项选择题1 函数 y=3e2x 是微分方程 的( )。（A）通解（B）特解（C）是解，但既非通解也非特解（D）不是解2 微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2)dy=0 的通解是( )。（A）1+x 2=Cy（B） (3+2y)=C(1+x2)（C） (1+x2)(3+2y)=C（D）(3+2y) 2=3 微分方程 cosxsinydy=cosysinxdx 满足条件 y x=0= 的特解是( )。4 设 =f(x)-x，且 f(0)=0，则 f(x)是( )。（A）e -x-1（B） -e-x-1（C） e
2、x-1（D）e x+15 微分方程 ylny-lnxdx=xdy 的通解是( )。6 微分方程 满足初始条件 y x=1=0 的特解是( )。7 微分方程 yy-2(y)2=0 的通解是( )。8 xy=(1+2x2)y的通解是( )。（A）y=C 1ex2（B） y=C1ex2+C2x（C） y=C1ex2+C2（D）y=C 1xex2+C29 微分方程 y-6y+9y=0 在初始条件 y x=0=2，y x=0=0 下的特解为( )。（A） xe2x+C（B） xe3x+C（C） 2x（D）2xe 3x10 微分方程 y+2y=0 的通解是 ( )。11 已知 e3x 和 e-3x 是方程
3、 y+py+q=0(p 和 q 是常数) 的两个特解，则该微分方程是( )。（A）y+9y=0（B） y-9y=0（C） y+9y=0（D）y-9y=012 行列式 =( )。（A）12（B） -6（C） -12（D）013 设 a1，a 2，a 3 是三维列向量，A=a 1，a 2，a 3则与A 相等的是( )。（A）a 2， a1，a 3（B） -a2， -a3，-a 2（C） a1+a2，a 2+a3，a 3+a1（D）a 1， a1+a2，a 1+a2+a314 设 D= ，求 A41+A42+A43+A44=( )，其中 A4j 为元素 a4j(j=1，2，3，4)的代数余子式。（A
4、）2（B） -5（C） 0（D）515 设 A 为 n 阶可逆方阵，则( )不成立。（A）A T 可逆（B） A2 可逆（C） -2A 可逆（D）A+E 可逆16 设 A 是 n 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 列的 2 倍加到第 2 列，得矩阵 B，则以下选项中成立的是( ) 。（A）B 的第 1 列的-2 倍加到第 2 列得 A（B） B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行得 A（C） B 的第 2 行的-2 倍加到第 1 行得 A（D）B 的第 2 列的-2 倍加到第 1 列得 A17 设 A 为三阶可逆方阵，则( )与 A 等价。18 设 A，B 均为 n 阶非零矩阵，且 AB=0，则
5、R(A)，R(B)满足( )。（A）必有一个等于 0（B）都小于 n（C）一个小于 n，一个等于 n（D）都等于 n19 设 A 是 56 矩阵，则 ( )正确。（A）若 A 中所有 5 阶子式均为 0，则秩 R(A)=4（B）若秩 R(A)=4，则 A 中 5 阶子式均为 0（C）若秩 R(A)=4，则 A 中 4 阶子式均非 0（D）若 A 中存在不为 0 的 4 阶子式，则秩 R(A)=420 若向量组 ， ， 线性无关 ， ， 线性相关，则( )。（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， 线性表示21 设 A 为 m
6、n 的非零矩阵，B 为 nl 的非零矩阵，满足 AB=0，以下选项中不一定成立的是( ) 。（A）A 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关（C） B 的行向量组线性相关（D）r(A)+r(B)n22 设 B 是 3 阶非零矩阵，已知 B 的每一列都是方程组 的解，则t=( )。（A）0（B） 2（C） -1（D）123 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，C 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x 为( )。24 设 =2 是非奇异矩阵 A 的特征值，则矩阵 有
7、一特征值等于( )。25 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是( )。（A） -1A （B） -1A（C） A（D）A n26 若 AB，则有( )。（A）E-A=E-B（B） A= B（C）对于相同的特征值 ，矩阵 A 与 B 有相同的特征向量（D）A 与 B 均与同一个对角矩阵相似注册公用设备工程师（给水排水基础考试-下午-数学）模拟试卷 12 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【知识模块】 数学2 【正确答案】 C【试题解析】 分离变量得， ，两边积分得，(1+x 2)(3+2y)=C，可知应选 C。【知识模块】 数学3 【
8、正确答案】 B【试题解析】 这是可分离变量方程，分离变量得 两边积得通解cosx=ccosy，再代人初始条件，C= 。【知识模块】 数学4 【正确答案】 C【试题解析】 对 =f(x)-x 两边关于菇求导，得 (x)=f(x)-1 这是一阶线性微分方程。求解得 f(x)=Cex-1，再由 f(0)=0 得 C=1。【知识模块】 数学5 【正确答案】 A【试题解析】 原方程可化为 ，这是一阶齐次方程，令 u= ，得u+ =ulnu，分离变量得， ，两边积分得，lnu-1=Cx，将u= 代入，整理可得 =Cx+1。【知识模块】 数学6 【正确答案】 A【试题解析】 这是一阶线性非齐次微分方程，求得
9、通解为 x+ ，将初始条件y x=1=0 代入，C=-1，故应选 A。【知识模块】 数学7 【正确答案】 D【试题解析】 这是不显含 x 可降阶微分方程，令 y=p(y)，则 y= ，原方程化为 ，用分离变量法求解得，y=C 1y2，再用分离变量法求解可得 ，故应选 D，也可采用检验的方式。【知识模块】 数学8 【正确答案】 C【试题解析】 这是不显含 y 可降阶微分方程，令 y=p(x)，则 y= ，原方程化为=(1+2x2)p，用分离变量法求解得， y=C1xex2，两边积分，可得 y=C1ex2+C2，也可采用检验的方式。【知识模块】 数学9 【正确答案】 D【试题解析】 显然 A 和
10、B 不是特解，C 不满足方程。【知识模块】 数学10 【正确答案】 D【试题解析】 这是二阶常系数线性齐次方程，特征方程为 r2+2=0，r= ，故应选 D。【知识模块】 数学11 【正确答案】 D【试题解析】 因 e3x 和 e-3x 是方程 y+py+q=0 的两个特解， r=3 是方程的特征根，特征方程为 r2-9=0。【知识模块】 数学12 【正确答案】 A【试题解析】 利用行列式性质或行列式展开定理计算。【知识模块】 数学13 【正确答案】 D【试题解析】 将a 1，a 1+a2，a 1+a2+a3第一列的-1 倍加到第二列、第三列，再将第二列的-1 倍加到第三列，a 1，a 1+a
11、2，a 1+a2+a3= a 1，a 2，a 3，故选 D。【知识模块】 数学14 【正确答案】 C【试题解析】 根据行列式或按一行(一列)展开公式，有A41+A42+A43+A44=1.A41+1.A42+1.A43+1.A44= =0。【知识模块】 数学15 【正确答案】 D【试题解析】 因 A 可逆，则A0，而A T=A0 ，A 2=A 20 ，-2A =(-2) nA0，故选 D。【知识模块】 数学16 【正确答案】 A【试题解析】 B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行得 A，故应选 A。【知识模块】 数学17 【正确答案】 B【试题解析】 利用可逆阵与单位阵等价。【知识模块】 数
12、学18 【正确答案】 B【试题解析】 AB=O R(A)+R(B)=n，又 A，B 均为 n 阶非零矩阵。【知识模块】 数学19 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵的秩是该矩阵最高阶非零子式的阶数。【知识模块】 数学20 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 线性无关，所以 ， 线性无关，又已知 ， ， 线性相关，于是 可由 ， 线性表示，=k 1+k2，从而有 =k1+k2+0，即 可由， ， 线性表示。【知识模块】 数学21 【正确答案】 A【试题解析】 由 AB=0，有 r(A)+r(B)n；再由 AB=0，知方程组 Ax=0 有非零解，故 r(A)n，即 A 的列向量组线性相关；同理
13、由(AB) T=BTAT=0，知矩阵 B 的行向量组线性相关；故 A 的行向量组线性相关不一定成立，应选 A。【知识模块】 数学22 【正确答案】 D【试题解析】 由条件知，齐次方程组有非零解，故系数行列式等于零，=0，得 t=1，故应选 D。【知识模块】 数学23 【正确答案】 C【试题解析】 由于秩(A)=3，故线性方程组 Ax=0 解空间的维数为 4-(A)=1。又由A1=b，A 2=b，A 3=b 知，(2，3，4，5) T 是 Ax=0 的解，根据Ax=b 的解的结构知，Ax=b 的通解为 C 选项。【知识模块】 数学24 【正确答案】 B【试题解析】 A 2 有一个特征值 22=4， A2 有一特征值 有一特征值【知识模块】 数学25 【正确答案】 B【试题解析】 由 AA*=A层知，A *=AA -1，故 A*有一特征值 =-1A。【知识模块】 数学26 【正确答案】 B【试题解析】 AB，则存在可逆矩阵 P，使 B=P-1AP，从而B=P -1AP=A，故 B 为正确答案。A，C 一般不成立，A 或 B 不一定可以与对角矩阵相似，故 D 也是错误的。【知识模块】 数学
