1、注册公用设备工程师（给水排水基础考试-下午-数学）模拟试卷 6 及答案与解析一、单项选择题1 设 ，其中 ai0，b i0(i=1，2，n)，则矩阵 A 的秩等于( )。（A）n（B） 0（C） 1（D）22 设 ， 均为三维列向量，以这三个向量为列构成的 3 阶方阵记为 A，即A=()。若 ， 所组成的向量组线性相关，则A的值是( )。（A）大于 0（B）等于 0（C）大于 0（D）无法确定3 设 ， 是维向量，已知 ， 线性无关， 可以由 ， 线性表示， 不能由 ， 线性表示，则以下选项正确的是( )。（A）， 线性无关（B） ， 线性无关（C） ， 线性相关（D）， 线性无关4 设 1，
2、 2， 3， 是 n 维向量组，已知 1， 2， 线性相关， 2， 3， 线性无关，则下列结论中正确的是( )。（A） 必可用 1， 2 线性表示（B） 1 必可用 2， 3， 线性表示（C） 1， 2， 3 必线性无关（D） 1， 2， 3 必线性相关5 已知向量组 1=(3，2，一 5)T， 2=(3，一 1，3) T， 3= ， 4=(6，一2，6) T，则该向量组的一个极大无关组是( )。（A） 2， 4（B） 3， 4（C） 1， 2（D） 2， 36 设齐次方程组 ，当方程组有非零解时，k 值为( )。（A）一 2 或 3（B） 2 或 3（C） 2 或一 3（D）一 2 或一 3
3、7 设 B 是 3 阶非零矩阵，已知 B 的每一列都是方程组 的解，则 t等于( )。（A）0（B） 2（C） 1（D）18 若非齐次线性方程组 Ax=b 中方程个数少于未知量个数，则下列结论中正确的是( )。（A）Ax=0 仅有零解（B） Ax=0 必有非零解（C） Ax=0 一定无解（D）Ax=6 必有无穷多解9 设 A 为矩阵， 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则矩阵 A 为( )。10 齐次线性方程组 的基础解系为( )。（A） 1=(1， 1，1，0) T， 2=(一 1，一 1，1，0) T（B） 1=(2，1，0，1) T， 2=(一 1，一 1，1，0) T（C） 1=(1
4、，1，1，0) T， 2=(一 1，0，0，1) T（D） 1=(2， 1，0，1) T， 2=(一 2,1，0，1) T11 设 1， 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是导出组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是( )。（A） +k11+k2(1 一 2)（B） 1+k1(1 一 2)+k2(1 一 2)（C） +k11+k2(1 一 2)（D） +k11+k2(1 一 2)12 已知 3 维列向量 ， 满足 T=3，设 3 阶矩阵 A=T，则( )。（A） 是 A 的属于特征值 0 的特征向量（B） 是 A 的属于特征值 0 的
5、特征向量（C） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量（D） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量13 设 n 阶矩阵 A 可逆， 是 A 的属于特征值 的特征向量，则下列结论中不正确的是( )。（A） 是矩阵一 2A 的属于特征值一 2 的特征向量（B） 是矩阵 的特征向量（C） 是矩阵 A*的属于特征值 的特征向量（D） 是矩阵 AT 的属于特征值 的特征向量14 已知 =2 是三阶矩阵 A 的一个特征值， 1， 2 是 A 的属于 =2 的特征向量。若1=(1， 2，0) T， 2=(1，0，1) T，向量 =(一 1，2，一 2)T，则 A 等于( )。（A）(2 ，2，1) T（B）
6、(一 1，2，2) T（C） (一 2，4，一 4)T（D）(2，4，4)15 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 、 是 A 的分别属于 1、 2 的特征向量，则以下选项正确的是( )。（A）对任意的 k10 和 k20，k 1+k2 部是 A 的特征向量（B）存在常数 k10 和 k20，使得 k1+k2 是 A 的特征向量（C）对任意的 k10 和 k20，k 1+k2 都不是 A 的特征向量（D）仅当 k1=k2=0 时，k 1+k2 是 A 的特征向量16 已知矩阵 相似，则 等于( )。（A）6（B） 5（C） 4（D）1417 设 A 是 3 阶矩阵，P=( 1， 2
7、， 3)是 3 阶可逆矩阵，且 P1 AP= 若矩阵 Q=(1， 2， 3)，则 Q1 AO=( )。18 要使得二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2tx1x2+x222x 1x3+2x2x3+2x32 为正定的，则 t 的取值条件是( ) 。（A） 10（D）t1（B） 0（C） 1（D）120 设 ，与 A 合同的矩阵是( )。21 重复进行一项试验，事件 A 表示“第一次失败且第二次成功”，则事件 表示( )。（A）两次均失败（B）第一次成功且第二次失败（C）第一次成功或第二次失败（D）两次均失败22 设 A，B 是两个事件，若 P(A)=03，P(B)=0 8，则当 P(AB
8、)为最小值时，P(AB)=( )。（A）01（B） 02（C） 03（D）0423 设 A，B 是两个相互独立的事件，若 P(A)=0 4，P(B)=0 5，则 P(AB)等于( )。（A）09（B） 08（C） 07（D）0624 袋中共有 5 个球，其中 3 个新球，2 个旧球，每次取 1 个，无放回的取 2 次，则第二次取到新球的概率是( )。25 10 把钥匙中有 3 把能打开门，今任取两把，那么能打开门的概率是( )。注册公用设备工程师（给水排水基础考试-下午-数学）模拟试卷 6 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 显然，矩阵 A 的所有行都与第一行成比例，故秩
9、等于 1。【知识模块】 数学2 【正确答案】 B【试题解析】 由已知可知 R(A)3，故A=0。【知识模块】 数学3 【正确答案】 D【试题解析】 可以由 ， 线性表示， ， 和 ， 都是线性相关，由于 ， 线性无关，若 ， ， 线性相关，则 一定能由 ， 线性表示，矛盾，故应选 D。【知识模块】 数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 1， 2， 线性相关知， 1， 2， 3， 线性相关，再由2， 3， 线性无关， 1 必可用 2， 3， 线性表示。【知识模块】 数学5 【正确答案】 C【试题解析】 显然 1， 2 对应坐标不成比例，故线性无关。又 ，4=01+22，所以 1， 2 是一个
10、极大无关组，应选 C。【知识模块】 数学6 【正确答案】 A【试题解析】 由条件知，齐次方程组有非零解，故系数行列式等于零，=k2 一 k 一 6=0，求解得 k=3 和2。【知识模块】 数学7 【正确答案】 D【试题解析】 由条件知齐次方程组有非零解，故系数行列式等于零，得 t=1，故选 D。【知识模块】 数学8 【正确答案】 B【试题解析】 因非齐次线性方程组 Ax=b 中方程个数少于未知量个数，则齐次方程组 Ax=0 系数矩阵的秩一定小于未知量的个数，所以齐次方程组 Ax=0 必有非零解，应选 B。【知识模块】 数学9 【正确答案】 D【试题解析】 由于 线性无关，故 R(A)=1，显然
11、选项 A 中矩阵秩为 3，选项 B 和 C 中矩阵秩都为 2。【知识模块】 数学10 【正确答案】 C【试题解析】 求解所给方程组，得基础解系 1=(1，1，1，0) T， 2=(一l，0，0，1) T，故选 C。也可将选项代入方程验证。【知识模块】 数学11 【正确答案】 C【试题解析】 Ax=b 的通解是其导出组 Ax=0 的通解加上 Ax=b 的一个特解而得到，1 和 (12)是 Ax=0 的两个线性无关的特解，构成它的基础解系， 仍是Ax=b 的特解，故 +k11+k2(1 一 2)是 Ax=b 的通解，应选 C。【知识模块】 数学12 【正确答案】 C【试题解析】 A= T=(T)=
12、3。【知识模块】 数学13 【正确答案】 D【试题解析】 显然 A、B、C 都是正确的。【知识模块】 数学14 【正确答案】 C【试题解析】 = 1 一 21，A=A 12A1=21 一 42=(2，4，一 4)T。【知识模块】 数学15 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，故 ， 线性无关。若k1+k2 是 A 的特征向量，则应存在数 ，使 A(k1+k1)=(k1+k2)，即k11+k22=k1+k2，k 1(1 一 )+k2(2 一 )=0，由 ， 线性无关，有1=2=，矛盾，应选 C。【知识模块】 数学16 【正确答案】 A【试题解析】 矩阵
13、A 和 B 相似，则有相同的特征值，由 解得矩阵 A 的特征值为1=2=2， 3=6，故有 =6，应选 A。【知识模块】 数学17 【正确答案】 B【试题解析】 由条件知， 1=1， 2=2， 3=0 是矩阵 A 的特征值，而 1， 2， 3 是对应的特征向量，故有 Q1 AQ= 。【知识模块】 数学18 【正确答案】 B【试题解析】 二次型的矩阵为 ，若要使所给二次型为正定的，则矩阵 A 的各阶主子式大于零，由行列式A0，得一 1t0，再由二阶主子式大于零，得 1 一 t20，一 1t1。【知识模块】 数学19 【正确答案】 C【试题解析】 二次型 f(x1，x 2，x 3)正定的充分必要条
14、件是它的标准形的系数全为正，故 一 10 且 0 且 +10，所以 1，应选 C。【知识模块】 数学20 【正确答案】 A【试题解析】 取 ，故选 A。【知识模块】 数学21 【正确答案】 C【试题解析】 用 B(i=1，2)表示第 i 次成功，则 ，利用德摩根定律，故应选 C。【知识模块】 数学22 【正确答案】 C【试题解析】 当 A B 时，P(AB)达到最小值，这时有 P(AB)=P(A)=03。【知识模块】 数学23 【正确答案】 C【试题解析】 P(A U B)=P(A)+P(B)一 P(A n B)时，又 4 和 B 相互独立，P(AB)=P(A)+P(B)，所以 P(AB)=04+05=0405=07，故应选 C。【知识模块】 数学24 【正确答案】 A【试题解析】 设第一、二次取得新球分别为 A，B，则。【知识模块】 数学25 【正确答案】 B【试题解析】 A 表示两把钥匙都能打开门，B 表示其中有一把能打开门， C 表示可以打开门， 则 ， P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)。【知识模块】 数学
