1、注册公用设备工程师暖通空调基础考试下午（数学）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、单项选择题1 2005 年，第 19 题 设 A= ，其中ai0， bi0(i=1，2，n)，则矩阵 A 的秩等于( ) 。（A）n（B） 0（C） 1（D）22 2006 年，第 19 题 设 A，B 是 n 阶矩阵，且 B0，满足 AB=0，则以下选项中错误的是( ) 。（A）r（B） +r（C） n（D）A=0 或B=03 2007 年，第 23 题 设 A= ，则秩 r(AB-A)等于( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）与 a 的取值有关4 2008 年，第 22 题 已知矩阵 A= ，则 A 的
2、秩 r(A)等于( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）35 2010 年，第 18 题 设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则以下选项中成立的是( )。（A）B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行得 A（B） B 的第 1 列的一 2 倍加到第 2 列得 A（C） B 的第 2 行的-2 倍加到第 1 行得 A（D）B 的第 2 列的一 2 倍加到第 1 列得 A6 2011 年，第 17 题 设 A= ，则 A-1=( )。7 2011 年，第 18 题 设 3 阶矩阵 A= ，已知 A 的伴随矩阵的秩为 1，则a 等于( ) 。（A）-
3、2（B） -1（C） 1（D）28 2008 年，第 23 题 设 ， 是 n 维向量，已知 ， 线性无关， 可以由， 线性表示， 不能由 ， 线性表示，则以下选项正确的是( )。（A）， 线性无关（B） ， 线性无关（C） ， 线性相关（D）， 线性无关9 2009 年，第 18 题 设 A 为 mn 的非零矩阵，B 为 nl 的非零矩阵，满足AB=0，以下选项中不一定成立的是( ) 。（A）A 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关（C） B 的行向量组线性相关（D）r(A)+r(B)n10 2012 年，第 20 题 设 1， 2， 3， 是 n 维向量组，已知 1， 2， 线
4、性相关，2， 3， 线性无关，则下列结论中正确的是( )。（A） 必可用 1， 2 线性表示（B） 1 必可用 2， 3， 线性表示（C） 1， 2， 3 必线性无关（D） 1， 2， 3 必线性相关11 2013 年，第 19 题 已知向量组 1=(3，2，-5) T， 2=(3，-1，3)T， 3= ， 4=(6，-2，6) T，则该向量组的一个极大无关组是( )。（A） 2， 4（B） 3， 4（C） 1， 2（D） 2， 312 2005 年，第 20 题 设 A 为矩阵， 1= 都是齐次线性方程组 Ax=0的解，则矩阵 A 为( ) 。13 2006 年，第 20 题 设 B 是 3
5、 阶非零矩阵，已知 B 的每一列都是方程组的解，则 t 等于( )。（A）0（B） 2（C） -1（D）114 2007 年，第 24 题 设 1， 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是导出组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是( ) 。15 2010 年，第 19 题 设齐次方程组 当方程组有非零解时，k 值为( )。（A）-或 3（B） 2 或 3（C） 2 或-3（D）-2 或-316 2011 年，第 20 题 齐次线性方程组 的基础解系为( )。（A） 1=(1， 1，1，0) T， 2=(-1，-1，1，0) T（B） 1
6、=(2，1，0，1) T， 2=(-1，-1，1，0) T（C） 1=(1，1，1，0) T， 2=(-1，0，0，1) T（D） 1=(2， 1，0，1) T， 2=(-2，-1，0，1) T17 2013 年，第 20 题 若非齐次线性方程组 Ax=b 中方程个数少于未知量个数，则下列结论中正确的是( ) 。（A）Ax=0 仅有零解（B） Ax=0 必有非零解（C） Ax=0 一定无解（D）Ax=b 必有无穷多解18 2014 年，第 21 题 已知 n 元非齐次线性方程组 Ax=B，秩 r(A)=n-2， 1， 2， 3为其线性无关的解向量，k 1，k 2 为任意常数，则 Ax=B 通解
7、为( )。（A）x=k 1(1 一 2)+k2(1+3)+1（B） x=k1(1 一 3)+k2(2+3)+1（C） x=k1(2 一 1)+k2(2 一 3)+1（D）x=k 1(2 一 3)+k2(1+2)+119 2006 年，第 21 题 设 A 是 3 阶矩阵， 1=(1，0 ，1) T， 2=(1，1，0) T 是 A 的属于特征值 1 的特征向量， 3=(0，1，2) T 是 A 的属于特征值-1 的特征向量，则( )。（A） 1-2 是 A 的属于特征值 l 的特征向量（B） 1-3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量（C） 1-3 是 A 的属于特征值 2 的特征向量（D）
8、 1+2+3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量20 2008 年，第 24 题 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的分别属于 1， 2 的特征向量，则以下选项正确的是( )。（A）对任意的 k10 和 k20，k 1+k2 都是 A 的特征向量（B）存在常数 k10 和 k20，使得 k1+k2 是 A 的特征向量（C）对任意的 k10 和 k20，k 1+k2 都不是 A 的特征向量（D）仅当 k1=k2=0 时，k 1+k2 是 A 的特征向量21 2009 年，第 19 题 设 A 是 3 阶实对称矩阵，P 是 3 阶可逆矩阵，B=P -1AP，已知 是 A 的
9、属于特征值 的特征向量，则 B 的属于特征值 的特征向量是( )。（A）P（B） P1（C） PT（D）(P -1)T22 2010 年，第 20 题 已知 3 维列向量 ， 满足 T=3，设 3 阶矩阵 A=T，则( ) 。（A） 是 A 的属于特征值 0 的特征向量（B） 是 A 的属于特征值 0 的特征向量（C） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量（D） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量23 2011 年，第 19 题 设 A 是 3 阶矩阵，P=( 1， 2， 3)是 3 阶可逆矩阵，且 P-1AP= ，若矩阵 Q=(1， 2， 3)，则 Q-1AQ 等于( )。24 2012
10、年，第 19 题 已知 n 阶可逆矩阵 A 的特征值为 0，则矩阵(2A) -1 的特征值是( )。25 2013 年，第 21 题 已知矩阵 A= 相似，则 等于( )。（A）6（B） 5（C） 4（D）1426 2009 年，第 20 题 设 A= ，与 A 合同的矩阵是 ( )。27 2012 年，第 21 题 要使得二次型 f(x1，x 2，x 3)=为正定的，则 t 的取值条件是 ( )。（A）-1 t1（B） -1t0（C） t0（D）t-128 2014 年，第 20下列结论中正确的是( ) 。（A）如果矩阵 A 中所有顺序主子式都小于零，则 A 一定为负定矩阵（B）设 A=(a
11、ij)mn，若 aij=aij，且 aij0(i ，j=1，2，n)，则 A 一定为正定矩阵（C）如果二次型 f(x1，x 2，x n)中缺少平方项，则它一定不是正定二次型（D）二次型 f(x1，x 2，x 3)= 所对应的矩阵是29 2005 年，第 21 题 重复进行一项试验，事件 A 表示“ 第一次失败且第二次成功”，则事件 A 表示( ) 。（A）两次均失败（B）第一次成功且第二次失败（C）第一次成功或第二次失败（D）两次均失败30 2006 年，第 22 题 当下列哪项成立时，事件 A 与 B 为对立事件( )。（A）AB=?（B） A+B=（C）（D）AB=?且 A+B=注册公用设
12、备工程师暖通空调基础考试下午（数学）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 由于矩阵 A 的所有行都与第一行成比例，将第一行的(i=2，3，n)倍加到第 i(i=2，3，n)行，可将第 i(i=2，3，n)行化为零，故秩等于 1，应选 C。【知识模块】 数学2 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB=0，有 r(A)+r(B)n；再由AB=AB=0 A=0或B =0 ；因 B0，r(B)0，故 0r(A)n；A、B、C 选项都是正确的，应选D。也可举例说明 D 选项错误，例如取 A=【知识模块】 数学3 【正确答案】 B【试题解析】 ABA=A(B-E)
13、，B-E= 是可逆矩阵，又矩阵 A=的第一行和第三行成比例且左上角二阶子式不为零，所以 r(A)=2，故 r(ABA)=2，应选 B。【知识模块】 数学4 【正确答案】 C【试题解析】 由于矩阵 A 的第二行和第三行成比例，故 A=0，又 A 中左上角的二阶子式不为零，由矩阵秩的定义，r(A)=2 ，应选 C。【知识模块】 数学5 【正确答案】 A【试题解析】 由于矩阵 B 是将矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行而得到，即矩阵 B 是由矩阵 A 经过一次初等行变换而得到，要由矩阵 B 得到矩阵 A，只要对矩阵 B 作上述变换的逆变换则可，即将 B 的第 1 行的-2 倍加到第 2
14、行可得 A，故应选 A。【知识模块】 数学6 【正确答案】 B【试题解析】 ，应选 B。【知识模块】 数学7 【正确答案】 A【试题解析】 因A *=A 3-1=A 2，由 R(A*)=1，知A *=0，故A=0，即解得 a=1，a=-2，当 a=1 时；A 二阶子式全为零，其伴随矩阵的秩不可能为 1，故a=-2。应选 A。【知识模块】 数学8 【正确答案】 D【试题解析】 可以由 ， 线性表示， ， 和 ， 都是线性相关，由于 ， 线性无关，若 ， ， 线性相关，则 一定能由 ， 线性表示，矛盾，故 ， ， 线性无关，应选 D。【知识模块】 数学9 【正确答案】 A【试题解析】 由 AB=0
15、，有 r(A)+r(B)n；再由 AB=0，知方程组 Ax=0 有非零解，故 r(A)n，即 A 的列向量组线性相关；同理由(AB) T=BTAT=0，知矩阵 B 的行向量组线性相关；故 A 的行向量组线性相关不一定成立，应选 A。【知识模块】 数学10 【正确答案】 B【试题解析】 由 1， 2， 线性相关知， 1， 2， 3， 线性相关，再由2， 3， 线性无关， 1 必可用 2， 3， 线性表示。应选 B。【知识模块】 数学11 【正确答案】 C【试题解析】 显然 2， 3， 4 这三个向量对应坐标成比例，故两两都是线性相关的。而 1， 2 对应坐标不成比例，线性无关，所以 1， 2 是
16、一个极大无关组。应选 C。【知识模块】 数学12 【正确答案】 D【试题解析】 由于 1= 是三元齐次线性方程组 Ax=0 的解，且 1=线性无关，由齐次线性方程组解的存在定理知 R(A)=1，显然选项A 中矩阵秩为 3，选项 B 和 C 中矩阵秩都为 2，应选 D。【知识模块】 数学13 【正确答案】 D【试题解析】 由条件知，所给齐次方程组有非零解，而齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，故 =0，解得 t=1，应选 D。【知识模块】 数学14 【正确答案】 C【试题解析】 首先 Ax=b 的通解是其导出组 Ax=0 的通解加上 Ax=b 的一个特解，由 1， 2 是导出组
17、Ax=0 的基础解系，知 Ax=0 的基础解系含两个解向量，又可证明 1 和( 1 一 2)是 Ax=0 的两个线性无关的解，故 k11+k(1 一 2)构成 Ax=0 的通解；再由 1， 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，利用非齐次方程组解的性质知 仍是 Ax=b 的特解，从而 +k11+k2(1 一 2)是 Ax=b 的通解，应选C。【知识模块】 数学15 【正确答案】 A【试题解析】 由条件知，所给齐次方程组有非零解，故系数行列式等于零，=k2-k-6=0，求解该一元二次方程，得 k=3 和 k=-2，应选 A。【知识模块】 数学16 【正确答案】 C【试题解析】 因所给方程组
18、系数矩阵的秩为 2，未知量个数是 4，故有非零解，且基础解系含有 4-2=2 个解向量。经验证 1=(1，1，1，0) T， 2=(一 1，0，0，1) T 都是方程组的解，且线性无关，故构成基础解系。其他三个选项中都有一个向量不是解。应选 C。【知识模块】 数学17 【正确答案】 B【试题解析】 因非齐次线性方程组 Ax=b 中方程个数少于未知量个数，则齐次方程组 Ax=0 系数矩阵的秩一定小于未知量的个数，所以齐次方程组 Ax=0 必有非零解。应选 B。【知识模块】 数学18 【正确答案】 C【试题解析】 因 Ax=B 的通解由其对应齐次 Ax=0 的通解加上 Ax=B 的一个特解来构成，
19、所以关键是找出 Ax=0 的通解。利用秩 r(A)=22，知方程组 Ax=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，再由非齐次方程组 Ax=B 的两个解之差是对应齐次 Ax=0 的解，并且可证 2-1 和 2-3 是线性无关的，故知 k1(2-1)+k2(2-3)是齐次方程组 Ax=0 的通解。应选 C。【知识模块】 数学19 【正确答案】 A【试题解析】 方法一：利用特征值、特征向量的性质，属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量，故 1-2 仍是 A 的属于特征值 1 的特征向量，应选 A。 方法二：A( 1-2)=A1-A2=1-2，由特征值、特征向量的定义，1-2 仍
20、是 A 的属于特征值 1 的特征向量。【知识模块】 数学20 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，故 ， 线性无关。若k1+k2是 A 的特征向量，则应存在数 ，使 A(k1+k2)=(k1+k2)，即k11+k22=k1+k2，k 1(1-)+k2(2-)=0，由 ， 线性无关，有 1=2=，矛盾，应选 C。【知识模块】 数学21 【正确答案】 B【试题解析】 由 是 A 的属于特征值 的特征向量，有 A=；再由 B=P-1AP，BP -1=P-1APP-1=P-1A=P-1，由特征值、特征向量的定义，知向量 P-1是矩阵 B 的属于特征值 的特征向
21、量，应选 B。【知识模块】 数学22 【正确答案】 C【试题解析】 因 A=T=3，由特征值、特征向量的定义， 是 A 的属于特征值3 的特征向量，应选 C。【知识模块】 数学23 【正确答案】 B【试题解析】 因矩阵 A 与对角阵相似，故对角线上的数 1=1， 2=2， 3=0 是矩阵A 的特征值，且 1， 2， 3 是对应的特征向量，所以A2=22，A 1=1.1，A 3=0.3，写成矩阵形式有 A(2， 1， 3)=(22， 11， 33)=(2， 1， 3) 。应选 B。【知识模块】 数学24 【正确答案】 C【试题解析】 由矩阵特征值的性质，2A 的特征值为 20，(2A) -1 的
22、特征值为 。应选 C。【知识模块】 数学25 【正确答案】 A【试题解析】 矩阵 A 和 B 相似，则有相同行列式， A=B=4，应选 A。【知识模块】 数学26 【正确答案】 A【试题解析】 取 C= ，由合同矩阵定义知，应选 A。【知识模块】 数学27 【正确答案】 B【试题解析】 二次型的矩阵为 A= ，若二次型正定，则 A 的各阶顺序主子式大于零。由 有 1-t20，即-1t 1。综上所述，应有-1t0。应选 B。【知识模块】 数学28 【正确答案】 C【试题解析】 如果二次型 f(x1，x 2，x n)中缺少平方项，例如缺少 ，而取x1=1， x2=xn=0，则有 f(x1，x 2，
23、x n)=0，故不是正定二次型。A 选项不成立，因为若取 f(x1，x 2)= ，其矩阵 的所有顺序主子式都小于零，但将 x1=0，x 2=1 代入，有 f(x1，x 2)=10 所以不是负定的；B 选项也不成立，例如取 ，将对应二次型为 f(x1，x 2)= ，将 x1=-1，x 2=1 代入，有f(x1，x 2)=-20 所以不是正定的； D 选项中二次型的矩阵为 。应选 C。【知识模块】 数学29 【正确答案】 C【试题解析】 用 Bi=(i=1，2)表示第 i 次成功，则 A= ，利用德摩根定律，应选 C。【知识模块】 数学30 【正确答案】 D【试题解析】 由对立事件定义，知 AB=?且 A+B=时，A 与 B 为对立事件，应选 D。【知识模块】 数学
