1、注册公用设备工程师暖通空调基础考试下午（数学）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、单项选择题1 2005 年第 11 题 计算由曲面 z= 及 z=x2+y2 所围成的立体体积的三次积分为( )。（A） 02d01rdr dz（B） 02d01rdrr1dz（C） 02d sind01r2dr（D） 02d sind01r2dr2 2005 年第 12 题 曲线 y= 上相应于 x 从 0 到 1 的一段弧长是( )。3 2007 年第 13 题 直线 y= x(x0)与 y=H 及 y 轴所围图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为( ) 。(H、R 为任意常数)（A） R2H（B） R2
2、H（C） R2H（D） R2H4 2008 年第 13 题 在区间0，2上，曲线 y=sin x 与 y=cosx 之间所围图形的面积是( )。（A） (sinxcosx)dx（B） (sinxcosx)dx（C） 02(sinxcosx)0x（D） (sinxcosx)dx5 2010 年第 11 题 圆周 =cos，=2cos 及射线 =0，= 所围图形的面积 S 为( )。6 2011 年第 12 题 曲线 y=e-x(x0)与直线 x=0，y=0 所围图形绕 Ox 轴旋转一周所得旋转体的体积为( ) 。7 2012 年第 15 题 曲线 y= (0x)与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴
3、旋转一周而成的旋转体体积等于( ) 。8 2014 年第 11 题 抛物线 y-x=4x 与直线 x=3 所围成的平面图形绕 Ox 轴旋转一周形成的旋转体体积是( ) 。（A） 034xdx（B） 03(4x)2dx（C） 034xdx（D） 03 dx9 2005 年第 13 题 级数 un 收敛的充要条件是( ) 。（A） un=0（B） =r=1（C） un（D） Sn 存在(其中 Sn=u1+u2+un)10 2005 年第 14 题 级数 的收敛性是( ) 。（A）绝对收敛（B）发散（C）条件收敛（D）无法判定11 2006 年第 14 题 已知级数 (u2n1 一 u2n)是收敛的
4、，则下列结果成立的是( )。（A） un 必收敛（B） un 未必收敛（C） un=0（D） un 发散12 2007 年第 14 题 下列各级数发散的是( ) 。13 2008 年第 14 题 级数 的收敛性是( ) 。（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）等比级数收敛（D）发散14 2009 年第 13 题 已知级数 (u2n 一 u2n1)是收敛的，则下列结果成立的是( )。（A） un 必收敛（B） un 未必收敛（C） un=0（D） un 发散15 2010 年第 13 题 下列各级数中发散的是( ) 。16 2011 年第 13 题 若级数 un 收敛，则下列级数中不收敛的是( )。
5、17 2012 年第 10 题 下列级数中，条件收敛的是( )。18 2013 年第 12 题 正项级数 an 的部分和数列S n(Sn=a1+a2+an)有上界是该级数收敛的( ) 。（A）充分必要条件（B）充分条件而非必要条件（C）必要条件而非充分条件（D）既非充分又非必要条件19 2014 年第 12 题 级数 ( )。（A）当 1p2 时条件收敛（B）当 p2 时条件收敛（C）当 p1 时条件收敛（D）当 p1 时条件收敛20 2016 年第 14 题 下列级数中，绝对收敛的级数是( )。21 2005 年第 15 题 级数 (1)n1xn 的和函数是( )。22 2006 年第 15
6、 题 级数 (一 1)nxn 在x1 内收敛于函数( )。23 2007 年第 15 题 函数 展开成(x 一 2)的幂级数是( )。24 2008 年第 15 题 函数 ex 展开成 x 一 1 的幂级数是( )。25 2009 年第 14 题 函数 展开成(x 一 1)的幂级数是( )。26 2010 年第 14 题 幂级数 的收敛域是( )。（A）2，4)（B） (2，4)（C） (一 1，1)（D）27 2011 年第 14 题 设幂级数 anxn 的收敛半径为 2，则幂级数 nan(x 一 2)n+1 的收敛区间是( ) 。（A）(2，2)（B） (2，4)（C） (0，4)（D）(
7、4，0)28 2012 年第 11 题 当x 的麦克劳林展开式正确的是( )。（A） (一 1)n+1(2x)n（B） (一 2)nxn（C） (1)n2nxn（D） 2nxn29 2013 年第 17 题 下列幂级数中，收敛半径为 R=3 的幂级数是( )。30 2014 年第 17 题 级数 的收敛域是( ) 。（A）(一 1，1)（B） 1，1（C） 一 1，0)（D）(1，0)31 2016 年第 17 题 幂级数 xn 在x2 的和函数是( )。32 2005 年第 16 题 设 f(x)= 0f(x)sinnxdx，则 s(一 )=( )。33 2006 年第 17 题 微分方程
8、y+ y=2 满足初始条件 y x=1=0 的特解是( )。（A）x 一（B） x+（C） x+ ，C 为任意常数（D）x+注册公用设备工程师暖通空调基础考试下午（数学）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 记 为曲面 z= 可及 z=x2+y2 所围成的立体， 的图形如图1171 所示， 的体积 V= ，因 在 xoy 面的投影是圆域 x2+y21，所以 在柱坐标下可表为 02，0r1，r 2zr，化为柱坐标下的三重积分，则有 应选 A。【知识模块】 数学2 【正确答案】 C【试题解析】 利用弧长计算公式应选 C。【知识模块】 数学3 【正确答案】
9、A【试题解析】 画出直线 y= x(x0)与 y=H 及 y 轴所围图形的示意图，如图1172 所示，该图绕 Y 轴旋转一周所得旋转体是一个圆锥，利用旋转体体积公式，有 V=0H R2H，应选 A。【知识模块】 数学4 【正确答案】 B【试题解析】 画出曲线 y=sin x 与 y=cos x 的图形，由图 1173 可知，曲线y=sin x 与 Y=cos x 在 上围成封闭图形，该图形面积为 (sinxcosx)dx，应选 B。【知识模块】 数学5 【正确答案】 C【试题解析】 圆周 =cos，=2 cos 及射线 =0，= 所围图形如图 1174 所示，所以 应选C。【知识模块】 数学6
10、 【正确答案】 A【试题解析】 曲线 y=e-x(x0)与直线 x=0，y=0 所围图形如图 1175 所示，所求旋转体积为 V=0+e-2xdx= ，应选 A。【知识模块】 数学7 【正确答案】 B【试题解析】 V= 0 。应选 B。【知识模块】 数学8 【正确答案】 C【试题解析】 抛物线 y2=4x 与直线 x=3 所围成的平面图形如图 1176 所示，所求旋转体积为 V=03( )2dx=034xdx，应选 C。【知识模块】 数学9 【正确答案】 D【试题解析】 un=0 是级数收敛的必要条件，但不是充分条件； =r=1 既不是充分也不是必要条件；u n 是级数收敛的充分条件但不是必要
11、条件；由级数收敛的定义知，部分和数列的极限 Sn 存在，是级数收敛的充要条件，故应选D。【知识模块】 数学10 【正确答案】 A【试题解析】 U n= 收敛，故原级数绝对收敛，应选 A。【知识模块】 数学11 【正确答案】 B【试题解析】 由于级数 (u2n1 一 u2n)是由级数 (一 1)n1un 加括号而得，利用数项级数的性质，一个级数加括号后收敛，不能得出原级数 (一 1)n1un 收敛、发散的结论，更无法得出级数 un 收敛、发散的结论，从而也无法得到 un=0的结论，所以应选 B。该题也可举例说明，取级数发散，故 A 和 C 选项都不一定成立；再取级数也收敛，故 D 选项不成立，故
12、应选 B。【知识模块】 数学12 【正确答案】 A【试题解析】 因为是交错级数，当 n+时，u n= 单调减小且趋于零，符合莱布尼茨定理条件，故收敛；用比值审敛法，可判断级数 的等比级数，收敛。【知识模块】 数学13 【正确答案】 B【试题解析】 是交错级数，当 n时，u n= 单调减小且趋于 0，由莱布尼茨定理，该级数收敛，但 发散，故是条件收敛，应选 B。【知识模块】 数学14 【正确答案】 B【试题解析】 由于级数 (u2n 一 u2n1)是由级数 (一 1)nun 加括号而得，利用数项级数的性质，一个级数加括号后收敛，不能得出原级数 (一 1)nun 收敛、发散的结论，更无法得出级数
13、un 收敛、发散的结论，从而也无法得到 un=0 的结论，故应选 B。【知识模块】 数学15 【正确答案】 A【试题解析】 因为 少一项，它们有相同的敛散， 发散，应选 A。其他三个选项都是收敛的。【知识模块】 数学16 【正确答案】 D【试题解析】 级数 的一般项不趋近于零，故发散，其他三个级数都是收敛的，故应选 D。【知识模块】 数学17 【正确答案】 A【试题解析】 级数的一般项不趋近于零，发散，应选 A。【知识模块】 数学18 【正确答案】 A【试题解析】 由定义，级数收敛的充分必要条件是其部分和数列收敛，而正项级数的部分和数列是单调增数列，单调增数列收敛的充分必要条件是有上界，所以正
14、项级数 an 的部分和数列S n有上界是该级数收敛的充分必要条件，应选 A。【知识模块】 数学19 【正确答案】 A【试题解析】 当 p10 ，即 p1 时，级数 收敛；但当 p 一 11，即 p2 时绝对收敛，故当 1p2 时条件收敛，应选 A。【知识模块】 数学20 【正确答案】 D【试题解析】 对级数绝对收敛。级数 的一般项不趋近于零，是发散的，应选 D。【知识模块】 数学21 【正确答案】 B【试题解析】 由于 (一 1)n1xn=xx2+x3 一 x4+，知这是公比为一 x 首项为 x的等比级数，当(一 1x1)时级数收敛，且和为 ，应选 B。【知识模块】 数学22 【正确答案】 B
15、【试题解析】 由于 (一 1)nxn=1x+x2x3+x4+，知这是公比为一 x 首项为 1 的等比级数，当x1 时级数收敛，且和为 ，应选 B。【知识模块】 数学23 【正确答案】 A【试题解析】 利用，应选 A。【知识模块】 数学24 【正确答案】 B【试题解析】 利用 ex= ，应选 B。【知识模块】 数学25 【正确答案】 B【试题解析】 利用，应选 B。【知识模块】 数学26 【正确答案】 A【试题解析】 令 t=x 一 1，得级数发散；当 t=一 3 时，级数收敛，收敛域为一 3t3，原级数的收敛域为一 3x 一 13，即一2x4，应选 A。【知识模块】 数学27 【正确答案】 C
16、【试题解析】 由条件知 =2，所以一 2x 一 22，即 0x4，应选 C。【知识模块】 数学28 【正确答案】 B【试题解析】 利用 (一 1)n(2x)n，应选 B。【知识模块】 数学29 【正确答案】 D【试题解析】 对于幂级数 =3，其他三个选项中幂级数收敛半径都不是 3，应选 D。【知识模块】 数学30 【正确答案】 C【试题解析】 令 t=2x+1，则收敛；在端点t=1， 发散，所以一 12x+11，即一 1x0，应选 C。【知识模块】 数学31 【正确答案】 A【试题解析】 利用，应选A。【知识模块】 数学32 【正确答案】 C【试题解析】 由 s(x)= bnsinnx 知，s(x) 是 f(x)的正弦级数的和函数，故对 f(x)做奇周期延拓得 F(x)，则 F(x)在 x=一 间断，再由迪利克来定理，应选 C。【知识模块】 数学33 【正确答案】 A【试题解析】 因为要求特解，首先可排除选项 C。将 y=x 一 代入微分方程，有y+ ，满足方程，故 x 一 是方程的特解，应选 A。【知识模块】 数学
