1、注册环保工程师基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、单项选择题1 (2009 年) 设 z=f(x2 一 y2)，则 dz 等于( )。（A）2x 一 2y（B） 2xdx 一 2ydy（C） f(x2 一 y2)dx（D）2f(x 2 一 y2)(xdxydy)2 (2008 年) 函数 y=x3-6x 上切线平行于 X 轴的点是( )。3 (2009 年) 设 y=(x)是(a，b)内的可导函数，x，x+x 是(a，b)内的任意两点，则 ( )。（A）y=f(x) x（B）在 x，x+ x 之间恰好有一点 ，使y=f() x（C）在 x，x+ x 之间至少有一点 ，使y
2、=f() x（D）在 x，x+x 之间住意一点 ，均有 y=f()x4 (2009 年) 函数 在(-，+)内( )。（A）单调减少（B）单调增加（C）有界（D）偶函数5 (2007 年) 函数 y=f(x)在点 x=x2 处取得极小值，则必有( )。（A）f(x 0)=0（B） f(x0)0（C） f(x0)=0 且 f(x0)0（D）f(x 0)=0 或导数不存在6 (2006 年) 设函数 f(x)在(- ，+)上是奇函数，且在(0，+)内有 f(x)0，f(x)0，则在(-，0)内必有( )。（A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）
3、f(x)0，f(x) 07 (2008 年) 设函数 f(x)在(- ，+)上是偶函数，且在(0，+)内有 f(x)0，f(x)0，则在(-，0)内必有( )。（A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x)08 (2007 年) 对于曲线 下列各性态不正确的是( )。（A）有 3 个极值点（B）有 3 个拐点（C）有 2 个极值点（D）对称原点9 (2010 年) 下列各点中为二元函数 z=x3 一 y3 一 3x2+3y 一 9x 的极值点的是( )。（A）(3 ，-1)（B） (3，1)（C） (1，1)（D）(-1,-1
4、)10 (2005 年) 曲面 z=x2 一 y2 在点 处的法线方程是( )。11 (2006 年) 曲面 Z=1 一 x2 一 y2 在点 处的切平面方程是( )。12 (2008 年)若在区间(a ，b)内，f(x)=g(x)，下列等式中错误的是( )。（A）f(x)=Cg(x)（B） f(x)=g(x)+C（C） df(x)=dg(x)（D）df(x)=dg(x)13 (2010 年) 若 f(x)的一个原函数是 e-2x，则f“(x)dx 等于( ) 。（A）e -2x+C（B） -2e-2x（C） -2e-2x+C（D）4e -2x+C14 （A）cotx tanx+C（B） co
5、tx+tanx+C（C）一 cot x 一 tanx+C（D）-cotx+tanx+C15 16 (2007 年) 若 f(x)dx=x3+C(C 为任意常数)，则f(cosx)sinxdx 等于( )。（A）-cos 3 x+C（B） sin2x+C（C） cos3 x+C（D） cos3 x+C17 (2009 年) 若 f(x)dx=F(x)+C(C 为任意常数)，则 等于( )。18 (2010 年)xe -2xdx 等于( )。(选项各式中 C 为任意常数)19 （A）sinx（B） sinx（C） -sin2x（D）-sinxsinx20 (2006 年) 若 0k(3x2+2x)
6、dx=0(k0)，则 k 等于( )。21 （A）0（B） 9（C） 3（D）22 (2005 年)下列结论中错误的是( ) 。（A） -aaf(x2)dx=20af(x2)dx（B） 02sin10 xdx=02cos10 xdx（C） -cos5xsin7xdx=0（D） 0110xdx=923 (2008 年) 设函数 f(x)在 0，+)上连续，且 f(x)=xe-x+ex01f(x)dx 满足，则 f(x)是( )。（A）xe -x（B） xe-x-ex-1（C） ex-1（D）(x-1)e -x24 (2008 年) 广义积分 则 c 等于( )。25 (2007 年) 0+xe-
7、2xdx 等于 ( )。26 (2009 年) 下列结论中正确的是( ) 。27 (2010 年) 下列广义积分中收敛的是( ) 。28 （A）I 1I 2 I3（B） I1I 3I 2（C） I3I 2I 1（D）I 3I 1 I229 (2007 年) 设 D 是曲线 y=x2 与 y=1 所围闭区域， 等于( )。（A）1（B）（C） 0（D）230 (2006 年) 设 f(x，y)是连续函数，则 01dx01 f(x， y)dy=( )。（A） 0xdy01f(x，y)dx（B） 01dy0xf(x，y)dx（C） 01dy01f(x，y)dx（D） 01dyy1f(x，y)dx31
8、 (2008 年)D 域由 x 轴， x2+y2-2x=0(y0)及 x+y=2 所围成，f(x，y) 是连续函数，化 为二次积分是( )。32 (2010 年) 圆周 =cos，=2cos 及射线 =0， 所围图形的面积 S 为( )。33 (2010 年) 计算 其中 为 z2=x2+y2，z=1 所围成的立体，则正确的解法是( )。（A）I= 02d01rdr01zdz（B） I=02d01rdrr1zdz（C） I=02d01zdzr1rdr（D）I= 01dz0d0zzrdr34 (2005 年) 计算由曲面 及 z=x2+y2 所围成的立体体积的三次积分为( )。35 (2009
9、年) 曲面 x2+y2+z2=2z 之内以及曲面 z=x2+y2 之外所围成的立体的体积 V 为( )。注册环保工程师基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 2 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 这是二元函数求全微分， -2yf(x2 一 y2)，所以 dz=2f(x2 一 y2)(xdxydy)。【知识模块】 数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于导数 f(x0)表示曲线 y=f(x)在点(x 2，f(x 0)处切线的斜率，故要求切线平行于 x 轴的点即是求导数为零的点，由 y=3x2-6=0 得 代入 y=x3 一6x，得【知识模块】 数学3 【正确答案】 C【试
10、题解析】 因 y=f(x)在 (a，b)内可导，x，x+x 是(a，b) 内的任意两点，故 f(x)在x， x+x上连续，在(x，x+ x)内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点(x， x+x)，使 f(x+x)一 f(x)=f()x，即 y=f()x。【知识模块】 数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f(0 一 0)=f(0+0)=f(0)=1，f(x)在 (-，+) 内处处连续；又在(-，0)内， f(x)=-2x0，在(0，+) 内，f(x)=10，故 f(x)在(-，+)内单调增加。【知识模块】 数学5 【正确答案】 D【试题解析】 f(x 0)=0 的点 x=x0 是驻点，
11、并不一定是极值点：f(x 0)=0 且 f(x0)0是 y=f(x)在点 x=x0 处取得极小值的充分条件，但不是必要的，故选项(A)、(B)、(C)都不正确；极值点必从驻点或导数不存在点取得。【知识模块】 数学6 【正确答案】 B【试题解析】 该题有两种解法。利用奇函数图形关于原点对称，偶函数图形关于y 轴对称。 方法一：当 f(x)在(-，+) 上一阶和二阶导数存在时，若 f(x)在(-，+)上是奇函数， 则 f(x)在(-，+)上是偶函数， 且 f“(x)在(-，+)上是奇函数；再由在(0，+00)内有 f(x)0，f(x)0，利用上述对称性，故在 (-，0)内必有 f(x)0，f(x)
12、0。 方法二：函数 f(x)在(-，+)上是奇函数，其图形关于原点对称，由于在(0，+) 内有 f(x)0，f(x)0，f(x)单调减少，其图形为凹的；故在(-，0)内，f(x)应单调减少，且图形为凸的，所以有 f(x)0，f(x)0。【知识模块】 数学7 【正确答案】 B【试题解析】 该题有两种解法。 方法一：当 f(x)在(-，+)上一阶和二阶导数存在时，若 f(x)在(-，+) 上是偶函数， 则 f(x)在 (-，+)上是奇函数， 且f(x)在(-，+)上是偶函数；再由在 (0，+) 内有 f(x)0，f(x) 0，利用上述对称性，故在(-，0)内必有 f(x)0，f(x)0。 方法二：
13、函数 f(x)在(-，+)上是偶函数，其图形关于 y 对称，由于在(0，+) 内有 f(x)0，f(x)0，f(x)单调增加，其图形为凹的；故在(-，0)内，f(x)应单调减少，且图形仍为凹的，所以有 f(x)0，f“(x)0。【知识模块】 数学8 【正确答案】 A【试题解析】 函数 在(-，+)内处处可导，由 y=x2(x2 一 1)=0，求得三个驻点 x=1，x=0。在 x=1 的两侧邻近一阶导数符号发生变化，故 x=1 是极值点，而在 x=0 两侧邻近一阶导数符号没发生变化，故 x=0 不是极值点，因而曲线有两个极值点，(A)选项是错的，应选(A)。再由 y“=2x(2x2-1)=0，解
14、得x=0， 经判别这三个点都是是拐点的横坐标，故有 3 个拐点，(B)选项正确；函数 是奇函数，曲线关于原点对称，(D)选项也正确。【知识模块】 数学9 【正确答案】 A【试题解析】 利用多元函数极值存在必要条件， 解得四个驻点(3，1)、(3，-1) 、(-1，1)、(-1，-1) 。再利用多元函数极值存在充分条件，求二阶偏导数 在点(3，-1)处，ACB 2=1260，是极值点。在点(3，1) 处，ACB 2=12(一 6)0，不是极值点。类似可知(-1，-1)也不是极值点，点(1，1) 不满足所给函数，也不是极值点。【知识模块】 数学10 【正确答案】 C【试题解析】 曲面的切向量为 法
15、线的方向向量为 利用空间直线的对称式方程知应选(C)。【知识模块】 数学11 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 数学12 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)=g(x)，显然有 df(x)=dg(x)和df(x)=dg(x) 成立，再对 f(x)=g(x)两边积分，可得 f(x)=g(x)+C，选项(B)、(C)、(D)都正确。【知识模块】 数学13 【正确答案】 D【试题解析】 因 e-2x 是 f(x)的一个原函数，故有 f(x)=(e-2x)=一 2e-2x，f(x)=(-2e -2x)=4e-2x f“(x)dx=df(x)=f(x)+C=4e-2x+C。【知识模块】
16、数学14 【正确答案】 C【试题解析】 由 cos 2x=cos2 xsin2 x，有【知识模块】 数学15 【正确答案】 B【试题解析】 用第一类换元及幂函数积分公式，有【知识模块】 数学16 【正确答案】 A【试题解析】 用第一类换元f(cosx)sinxdx=-f(cosx)dcosx=-cos 3 x+C。【知识模块】 数学17 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 数学18 【正确答案】 A【试题解析】 用分部积分法，有【知识模块】 数学19 【正确答案】 D【试题解析】 利用积分上限函数导数等于被积函数，以及 有【知识模块】 数学20 【正确答案】 B【试题解析】 由 0k(
17、3x2+2x)dx=k3+k2=0，得 k=-1(k0)。【知识模块】 数学21 【正确答案】 A【试题解析】 积分区间关于原点对称，被积函数是奇函数，故积分为 0。该题也可用第一类换元法求解。【知识模块】 数学22 【正确答案】 D【试题解析】 选项(D)是错的，故应选 (D)。函数 f(x2)在一a，a上是偶函数，所以 -aaf(x2)dx=20af(x2)dx；利用结论 02sinnxdx=02cosnXdx，知选项(B) 正确：再利用 cos5xsin7x 在一 ，上是奇函数，知 -cos5xsin7xdx=0.【知识模块】 数学23 【正确答案】 B【试题解析】 记 a=01f(x)
18、dx，有 f(x)=xe-x+aex，对 f(x)=xe-x+aex 在0，1上积分，有 01f(x)dx=01xe-xdx+a01exdx，积分得 所以【知识模块】 数学24 【正确答案】 C【试题解析】 用第一类换元法，有【知识模块】 数学25 【正确答案】 C【试题解析】 用分部积分法，有【知识模块】 数学26 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 数学27 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 数学28 【正确答案】 B【试题解析】 由图 1-1 知，在积分区域 D 内，有 ，于是有 ln(x+y)sin(x+y) x+y， 即ln(x+y) 3sin(x+y) 3(x+y
19、) 3，故 I1I 3I 2，应选 B。【知识模块】 数学29 【正确答案】 C【试题解析】 由图 1-2 知，积分区域 D 关于 y 轴对称，又被积函数 f(x，y)关于 X为奇函数，积分为零。或将二重积分化为二次积分，有【知识模块】 数学30 【正确答案】 D【试题解析】 积分区域 D 如图 13 所示，将积分区域 D 看成 X-型区域，则D：yx1 ，0y1 ，故有 01dx0xf(x，y)dy= 01dyy1f(x，y)dx。【知识模块】 数学31 【正确答案】 B【试题解析】 画出积分区域图形(见图 1-4)，由图可知，积分【知识模块】 数学32 【正确答案】 C【试题解析】 圆周
20、=cos，=2cos 及射线 =0， 所围图形如图 1-5 所示，所以【知识模块】 数学33 【正确答案】 B【试题解析】 积分区域 是由锥面 和平面 z=1 所围成的，积分区域 的图形见图 1-6， 在 xoy 面的投影是圆域 x2+y21，故 在柱坐标下可表示为：02，0r1 ，rz1，所以 =02d01rdrr1zdz。【知识模块】 数学34 【正确答案】 A【试题解析】 记 为曲面 及 z=x2+y2 所围成的立体， 的图形见图 1-7， 的体积 ，因 在 xoy 面的投影是圆域 x2+y21，所以 在柱坐标下可表示为：02 ，0r1，r 2zr，化为柱坐标下的三重积分，则有【知识模块】 数学35 【正确答案】 D【试题解析】 记 为曲面 x2+y2+z2=2z 之内以及曲面 z=x2+y2 之外所围成的立体， 的图形见图 1-8， 的体积 因 在 xoy 面的投影是圆域 x2+y21，所以有 02， 0r1，z 是从球面 x2+y2+z2=2z 的下半部到抛物面 z=x2+y2，化为柱坐标有 故原积分化为柱坐标下的三重积分有【知识模块】 数学
