1、注册环保工程师基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、单项选择题1 (2010 年) 设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则以下选项中成立的是( ) 。（A）B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行得 A（B） B 的第 1 列的-2 倍加到第 2 列得 A（C） B 的第 2 行的-2 倍加到第 1 行得 A（D）B 的第 2 列的-2 倍加到第 1 列得 A2 (2005 年) 设 其中 ai0，b i0(i=1，2，n)，则矩阵 A 的秩等于( ) 。（A）n（B） 0（C） 1（D）23 (2008 年) 已知矩阵 则
2、A 的秩 r(A)等于( ) 。（A）0（B） 1（C） 2（D）34 (2007 年) 设 则秩 r(ABA)等于( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）与 a 的取值有关5 (2006 年) 设 A，B 是 n 阶矩阵，且 B0，满足 AB=0，则以下选项中错误的是( )。（A）r(A)+r(B)n（B） A=0 或B=0（C） 0r(A)n（D）A=06 (2008 年) 设 ， ， 是 n 维向量，已知 ， 线性无关， 可以由 ， 线性表示， 不能由 ， 线性表示，则以下选项正确的是( )。（A）， 线性无关（B） ， 线性无关（C） ， 线性相关（D）， 线性无关7 (2009 年
3、) 设 A 为 mn 的非零矩阵， B 为 nl 的非零矩阵，满足 AB=0，以下选项中不一定成立的是( ) 。（A）A 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关（C） B 的行向量组线性相关（D）r(A)+r(B)n8 (2005 年) 设 A 为矩阵， 都是齐次线性方程组 Ax=0 的解，则矩阵A 为( )。9 (2006 年) 设 B 是 3 阶非零矩阵，已知 B 的每一列都是方程组 的解，则 t 等于( )。（A）0（B） 2（C） -1（D）110 (2010 年) 设齐次方程组 ，当方程组有非零解时，k 值为( )。（A）-2 或 3（B） 2 或 3（C） 2 或-3（D
4、）-2 或-311 (2007 年) 设 1、 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1、 2 是导出组 Ax=0的基础解系，k 1、k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是 ( )。12 (2010 年) 已知三维列向量 、 满足 T=3，设三阶矩阵 A=T，则( ) 。（A） 是 A 的属于特征值 0 的特征向量（B） 是 A 的属于特征值 0 的特征向量（C） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量（D） 是 A 的属于特征值 3 的特征向量13 (2006 年) 设 A 是三阶矩阵， 1=(1，0，1) T， 2=(1，1，0) T 是 A 的属于特征值 1的特征向量， 3=(
5、0，1，2) T 是 A 的属于特征值-1 的特征向量，则( )。（A） 1-2 是 A 的属于特征值 1 的特征向量（B） 1-2 是 A 的属于特征值 1 的特征向量（C） -2 是 A 的属于特征值 2 的特征向量（D） 1+2+3 是 A 的属于特征值 1 的特征向量14 (2008 年) 设 1、 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，、 是 A 的分别属于 1、 2的特征向量，则以下选项正确的是( )。（A）对任意的 k10 和 k20，k 1+k2 都是 A 的特征向量（B）存在常数 k10 和 k20，使得 k1+k2 是 A 的特征向量（C）对任意的 k10 和 k20，k 1
6、+k2 都不是 A 的特征向量（D）仅当 k1=k2=0 时，k 1+k2 是 A 的特征向量15 (2009 年) 设 A 是三阶实对称矩阵， P 是三阶可逆矩阵，B=P -1AP，已知 是 A的属于特征值 的特征向量，则 B 的属于特征值 的特征向量是( )。（A）P（B） P-1（C） PT（D）(P -1)T16 (2009 年) 设 与 A 合同的矩阵是( ) 。17 (2006 年)当( )成立时，事件爿与 B 为对立事件。（A）AB=（B） A+B=（C）（D）AB= 且 A+B=18 (2005 年)重复进行一项试验，事件 A 表示“ 第一次失败且第二次成功”，则事件非 A 表
7、示( ) 。（A）两次均失败（B）第一次成功且第二次失败（C）第一次成功或第二次失败（D）两次均失败19 (2006 年) 袋中有 5 个大小相同的球，其中 3 个是白球，2 个是红球，一次随机地取出 3 个球，其中恰有 2 个是白球的概率是( )。20 (2010 年) 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中，则杯中球的最大个数为 2 的概率是 ( )。21 (2007 年) 若 P(A)=08 ，（A）04（B） 06（C） 05（D）0322 (2009 年) 若 P(A)=05 ，P(B)=04， =03，则 P(AB)等于( )。（A）06（B） 07（C） 0.8（D）0.923 (
8、2008 年)若 P(A)0，P(B)0，P(AB)=P(A)，则下列各式不成立的是( )。（A）P(BA)=P(B)（B） （C） P(AB)=P(A)P(B)（D）A，B 互斥24 (2010 年) 设事件 A 与 B 相互独立，且 则 等于( )。25 (2008 年)10 张奖券中含有 2 张中奖的奖券，每人购买一张，则前 4 个购买者中恰有 1 人中奖的概率是( )。（A）08 4（B） 01（C） C1040 208 3（D）08 30226 (2007 年) 离散型随机变量 X 的分布为 P(X=k)=ck(k=0，1，2，)，则不成立的是 ( )。（A）C0（B） 0 1（C）
9、 C=1-（D）27 (2005 年) 设 (x)为连续性随机变量的密度函数，则下列结论中一定正确的是 ( )。（A）0(x)1（B） (x)在定义域内单调不减（C）（D）28 (2009 年) 设随机变量 XN(0， 2)，则对任何实数 都有( )。（A）P(X)=P(X)（B） P(X)=P(X-)（C） XN(0， 2)（D）X-N(， 2-2)29 (2010 年) 设随机变量 X 的概率密度为 则 P(0X3)等于( )。30 (2006 年)X 的分布函数 F(x)，而 则 E(X)等于( ) 。（A）07（B） 075（C） 06（D）0831 (2009 年) 设随机变量 x
10、的概率密度为 的数学期望是( )。32 (2010 年) 设随机变量(X ，Y) 服从二维标准正态分布，其概率密度为则 E(X2+Y2)等于( )。（A）2（B） 1（C）（D）33 (2005 年) 设 (X1，X 2，X 10)是抽自正态总体 N(， 2)的一个容量为 10 的样本，其中-+， 20，记 所服从的分布是( )。34 (2008 年) 设总体 X 的概率分布为其中是未知参数，利用样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，所得 的矩估计值是( )。35 (2007 年) 设总体 X 的概率密度为 其中 -1 是未知参数，X1，X 2，X N 是来自总体 X 的样本，则 的矩估计量
11、是( )。36 (2009 年) 设总体 X 的概率密度 ，X 1，X 2，X n 是来自总体X 的样本，则参数 的最大似然估计量是( )。（A）（B） min(X1，X 2，X n)（C） max(X1，X 2，X n)（D）注册环保工程师基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由于矩阵 B 是将矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行而得到，即矩阵 B 是由矩阵 A 经过一次初等行变换而得到，要由矩阵 B 得到矩阵 A，只要对矩阵 B 作上述变换的逆变换则可，即将 B 的第 1 行的-2 倍加到第 2 行可得 A。【知识模块
12、】 数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由于矩阵 A 的所有行都与第一行成比例，将第一行的(i=2，3，n)倍加到第 i(i=2，3，n)行，可将第 i(i=2，3，n)行化为零，故秩等于 1。【知识模块】 数学3 【正确答案】 C【试题解析】 由于矩阵 A 的第二行和第三行成比例，故 A=0，又 A 中左上角的二阶子式不为零，由矩阵秩的定义，r(A)=2 。【知识模块】 数学4 【正确答案】 B【试题解析】 ABA=A(BE)，B-E= 是可逆矩阵，又矩阵的第一行和第三行成比例且左上角二阶子式不为零，所以 r(A)=2，故 r(ABA)=2。应选(B) 。【知识模块】 数学5 【正确答案】
13、 D【试题解析】 由 AB=0，有 r(A)+r(B)n；再由AB=AB=0 得A=0或B =0 ；因 B0，r(B)0，故 0r(A)n：(A)、(B)、(C)选项都是正确的，故应选(D)。也可举例说明 (D)选项错误，例如取【知识模块】 数学6 【正确答案】 D【试题解析】 可以由 ， 线性表示， ， 和 ， 都是线性相关，由于 ， 线性无关，若 ， ， 线性相关，则 一定能由 ， 线性表示，矛盾，故 ， ， 线性无关。【知识模块】 数学7 【正确答案】 A【试题解析】 由 AB=0，有 r(A)+r(B)n；再由 AB=0，知方程组 Ax=0 有非零解，故 r(A)n，即 A 的列向量组
14、线性相关：同理由(AB) T=BTAT=0，知矩阵 B 的行向量组线性相关；故 A 的行向量组线性相关不一定成立。【知识模块】 数学8 【正确答案】 D【试题解析】 由于 是三元齐次线性方程组 Ax=0 的解，且线性无关，由齐次线性方程组解的存在定理知 R(A)=1，显然选项(A)中矩阵秩为 3，选项(B) 和(C) 中矩阵秩都为 2。【知识模块】 数学9 【正确答案】 D【试题解析】 由条件知，所给齐次方程组有非零解，而齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，故 解得 t=1。【知识模块】 数学10 【正确答案】 A【试题解析】 由条件知，所给齐次方程组有非零解，故系数行列式等于
15、零，=k2-k-6=0，求解该一元二次方程，得 k=3 和-2 。【知识模块】 数学11 【正确答案】 C【试题解析】 首先 Ax=b 的通解是其导出组 Ax=0 的通解加上 Ax=b 的一个特解，由 1、 2 是导出组 Ax=0 的基础解系，知 Ax=0 的基础解系含两个解向量，又可证明 1 和( 1 一 2)是 Ax=0 的两个线性无关的解，故 k1+k2(1-2)构成 Ax=0 的通解；再由 1、 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，利用非齐次方程组解的性质知仍是 Ax=b 的特解，从而 +k11+k2(1-2)是 Ax=b 的通解。【知识模块】 数学12 【正确答案】 C【试题
16、解析】 因 A=T=3，由特征值、特征向量的定义， 是 A 的属于特征值3 的特征向量。【知识模块】 数学13 【正确答案】 A【试题解析】 该题有两种解法。 方法一：利用特征值、特征向量的性质，属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量，故 1-2 仍是 A 的属于特征值 1 的特征向量，应选(A)。 方法二：A( 1-2)=A1-A2=1-2，由特征值、特征向量的定义， 1-2 仍是 A 的属于特征值 1 的特征向量，应选(A)。【知识模块】 数学14 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1、 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，故 、 线性无关。若k1+k2 是 A 的
17、特征向量，则应存在数 ，使 A(k1+k2)=(k1+k2)，即k11+k22=k1+k2，k 1(1-)+k2(2-)=0，由 、 线性无关，有 1=2=，矛盾。【知识模块】 数学15 【正确答案】 B【试题解析】 由 是 A 的属于特征值 的特征向量，有 A=：再由 B=P-1AP，BP -1=P-1APP-1=P-1A=P-1，由特征值、特征向量的定义，知向量 P-1 是矩阵 B 的属于特征值 的特征向量。【知识模块】 数学16 【正确答案】 A【试题解析】 ，由合同矩阵定义知应选A。【知识模块】 数学17 【正确答案】 D【试题解析】 由对立事件定义，知 AB= 且 A+B= 时，A
18、与 B 为对立事件。【知识模块】 数学18 【正确答案】 C【试题解析】 用 Bi(i=1， 2)表示第 i 次成功，则 ，利用德摩根定律，【知识模块】 数学19 【正确答案】 D【试题解析】 从袋中随机地取出 3 个球的不同取法共有 C53 种，恰有 2 个是白球的取法有 C32C21 种，由古典概型概率计算公式，恰有 2 个是白球的概率为【知识模块】 数学20 【正确答案】 C【试题解析】 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中，各种不同的放法有 43 种，杯中球的最大个数为 2 的不同放法有 C32.4.3=36 种，则杯中球的最大个数为 2 的概率是【知识模块】 数学21 【正确答案】
19、A【试题解析】 因为 =P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)(AB A)所以 P(AB)=P(A)一 =0802=0 6【知识模块】 数学22 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 数学23 【正确答案】 D【试题解析】 由 P(A)0，P(B) 0，P(AB)=P(A)，知 A 与 B 相互独立，因而A 与 独立，故(A) 、(B)、(C) 都成立。【知识模块】 数学24 【正确答案】 D【试题解析】 由条件概率定义， 又由 A 与B 相互独立，知 A 与 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)= ，【知识模块】 数学25 【正确答案】 A【试题解析】 中奖的概率 P=
20、02，该问题是 4 重贝努利试验，前 4 个购买者中恰有 1 人中奖的概率为 C410208 3=402.08 3=08 4。【知识模块】 数学26 【正确答案】 D【试题解析】 得 c=1-，又(A) 和(B)显然应成立，所以选项(D)不成立。【知识模块】 数学27 【正确答案】 C【试题解析】 由密度函数的性质知应选 C。【知识模块】 数学28 【正确答案】 B【试题解析】 当 XN(， 2)，有 aX+bN(a+b,(a) 2)，故由 XN(0 ， 2)，有XN(0， 22)，X-N(- ， 2)，所以选项(C)和选项(D)不正确；再因标准正态分布密度函数关于 y 轴对称，显然选项(A)
21、不成立。【知识模块】 数学29 【正确答案】 B【试题解析】 P(0x3)= 03f(x)dx=【知识模块】 数学30 【正确答案】 B【试题解析】 因为分布函数的导数是密度函数，对 F(x)求导，X 的密度函数【知识模块】 数学31 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 数学32 【正确答案】 A【试题解析】 由于随机变量(X，Y)服从二维标准正态分布，故有即随机变量 X 和 Y 服从标准正态分布，EX=EY=0，DX=DY=1，又 E(X2+Y2)=EX2+EY2，EX 2=DX 一(EX) 2=10=1，同理EY2=1，从而 F(X2+Y2)=2。【知识模块】 数学33 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 数学34 【正确答案】 A【试题解析】 =0 2+12(10)+22+3(12)=34， 利用样本值故【知识模块】 数学35 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 数学36 【正确答案】 B【试题解析】 似然函数为 由于似然方程无解，而 LnL= 关于 单调递增，要使 LnL 达到最大， 应最大，x i(i=1，2，n)，故 的最大值为 min(X1，X 2，X n)。【知识模块】 数学
