1、注册结构工程师（一级基础考试-上午-数学）模拟试卷 4 及答案与解析1 若 则常数 k 等于( )。2014 年真题（A）一 ln2（B） ln2（C） 1（D）22 若 则必有( )。2013 年真题（A）a=1 ，b=2（B） a=1，b=一 2（C） a=一 1，b=一 1（D）a=1 ，b=13 设 (x)=1 一 cosx，(x)-2x 2，则当 x0 时，下列结论中正确的是( )。2012 年真题（A）(x)与 (x)是等价无穷小（B） (x)是 (x)的高阶无穷小（C） (x)是 (x)低阶无穷小（D）(x)与 (x)是同阶无穷小但不是等价无穷小4 点 x=0 是函数 的( )
2、。2014 年真题（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点5 设 则 x=0 是 f(x)的下面哪一种情况 ?( )2012 年真题（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）第二类间断点（D）连续点6 函数 的可去间断点的个数为( )。2011 年真题（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）无穷多个7 下列说法中正确的是( )。2014 年真题（A）若 f(x0)=0，则 f(x0)必须是 f(x)的极值（B）若 f(x0)是 f(x)的极值，则 f(x)在点 x0 处可导，且 f(x0)=0（C）若 f(x0)在点 x0 处可导，则 f(x0)=0 是 f(x)在 x
3、0 取得极值的必要条件（D）若 f(x0)在点 x0 处可导，则 f(x0)=0 是 f(x)在 x0 取得极值的充分条件8 设 则 f(x)在点 x=1 处( )。2013 年真题（A）不连续（B）连续但左、右导数不存在（C）连续但不可导（D）可导9 下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理条件的是( )。2012 年真题（A）（B）（C）（D）10 如果 f(x)在 x0 可导，g(x)在 x0 不可导，则 f(x)g(x)在 x0( )。2011 年真题（A）可能可导也可能不可导（B）不可导（C）可导（D）连续11 等于( ) 。2014 年真题（A）（B）（C）（D）12 若 等于( )
4、。201 3 年真题（A）一 tant（B） tant（C）一 sint（D）cott13 设 f(x)有连续的导数，则下列关系式中正确的是( )。2013 年真题（A）f(x)dx=f(x)（B） (f(s)dx=f(x)（C） f(x)dx=f(x)dx（D）(f(x)dx)=f(x)+C14 设 y=ln(cosx)，则微分 dy 等于( )。2012 年真题（A）（B） cotxdx（C）一 tanxdx（D）15 f(x)的一个原函数为 e-x2，则 f(x)等于( )。2012 年真题（A）2( 一 1+2x2)e-x2（B）一 2xe-x2（C） 2(1+2x2)e-x2（D）(
5、1 2x2)e-x216 设方程 x2+y2+z2=4z 确定可微函数 z=z(x，y)，则全微分 dx 等于( ) 。2014 年真题（A）（B）（C）（D）17 设 等于( )。2014 年真题（A）（B）（C）（D）18 设 z=z(x，y)是由方程 xzxy+ln(xyz)=0 所确定的可微函数，则 等于( )。2013年真题（A）（B）（C）（D）19 若 z=f(x，y)和 y=(x)均可微，则 146 等于( )。2013 年真题（A）（B）（C）（D）20 已知 f(x)为连续的偶函数，则 f(x)的原函数中( )。2013 年真题（A）有奇函数（B）都是奇函数（C）都是偶函数
6、（D）没有奇函数也没有偶函数21 若 f(一 x)=-f(x)(一0，f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x)0 时，下列不等式中正确的是( ) 。201 1 年真题（A）e x（B） ln(1+x)x（C） ex（D）xsin x25 设 则( ) 。2010 年真题（A）f(x)为偶函数，值域为 (一 1，1)（B） f(x)为奇函数，值域为(一，0)（C） f(x)为奇函数，值域为(一 1，1)（D）f(x)为奇函数，值域为 (0，+)26 下列各点中为二元函数 z=x3 一 y3 一 3x2+3y 一 9x 的极值点的是( )。2010 年真题（A
7、）(3 ，一 1)（B） (3，1)（C） (1，1)（D）(一 1，一 1)27 求极限 时，下列各种解法中正确的是( )。（A）用洛必达法则后，求得极限为 0（B）因为 不存在，所以上述极限不存在（C）（D）因为不能用洛必达法则，故极限不存在28 设 f(x)满足 当 x0 时，lncosx 2 是比 xnf(x)高阶的无穷小，而 xnf(x)是比 esin2x 一 1 高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）429 下列命题正确的是( )。（A）分段函数必存在间断点（B）单调有界函数无第二类间断点（C）在开区间内连续，则在该区间必取得最大值和最小值（D）
8、在闭区间上有间断点的函数一定有界30 设函数 f(x)在 x=x0 的某邻域内连续，在 x=x0 处可导，则函数 f(x)f(x)在x=x0 处 ( )。（A）可导，且导数为 2f(x0)f(x0)（B）可导，且导数为 2f(x0)f(x 0)（C）可导，且导数为 2f(x 0)f(x 0)（D）不可导31 设函数 f(t)连续，t 一 a，a ，f(t)0，且 则在一 a，a内必有( ) 。（A）g(x)=C(常数)（B） g(x)是单调增加的（C） g(x)是单调减少的（D）g(x)是函数，但不单调32 设函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则( )。（A）（B）（C）（D）33
9、已知 f(x)是二阶可导的函数，y=e 2f(s)，则 为( ) 。（A）e 2f(x)（B） e2f(x)f(x)（C） e2f(x)(Zf(x)（D）2e 2f(x)2(f(x)2+f(x)34 设 是实数， f(x)在 x=1 处可导，则 的取值为( )。（A）一 1（B）一 l0 时，则 f(x)在 x0 处不能取得极值。因此，若 f(x0)在点 x0 处可导，则 f(x0)=0 是 f(x)在 x0 取得极值的必要条件。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 x=1 处的左极限为 3，右极限为 3，f(1)=3，故 f(x)在 x=1 处连续；x=1 处的左导数为 f
10、-(1)=6，右导数 f+(1)=4，故 f(x)在 x=1 处左右导数不相等，故不可导。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 在(一 1，1)不可导(因为 f(x)在 x=0 处导数不存在) ，所以不满足拉格朗日定理的条件。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 举例说明，令 此时 f(x)g(x)在 x0=0 处可导。另 f(x)=1；此时 f(x)g(x)在 x0=0 处不可导。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 B【试题解析】 f
11、(x)dx=F(x)+C，f(x)dx=f(x)+C ，(f(x)dx)=f(x)。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 C【试题解析】 等式两边同时微分，得：【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 A【试题解析】 由条件 f(x)的一个原函数为 e-x2，得 f(x)=一 2xe-x2。再由 f(x)两边求导得：f(x)=一 2e-x2+(一 2x)e-x2(一 2x)=2(一 1+2x2)e-x2。【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 B【试题解析】 对等式两边分别同时求导，得：2xdx+2ydy+2zdz=4dz。所以，【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 A【试题解析】
12、由【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 D【试题解析】 将 xz 一 xy+In(xyz)=0 两边对 y 求偏导，得整理得：【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)的原函数与 f(x)的奇偶性相反，但并不是所有 f(x)的原函数都是奇函数。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(一 x)=-f(x)(一0，f(x)0。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 C【试题解析】 极值可疑点为导数不存在或者导数为零的点。函数求导可见函数在 x=0 处导数不存在，在 x=2 处导数为零，
13、所以有两个极值可疑点。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)0 且 f(x)2。B 项，当 x+时，显然xln(1+x)。C 项，当 x+时，显然 exex。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意可得： 所以 f(x)为奇函数；由于 则 f(x)在( 一 ，+) 上为单调递增函数，且当 x一时，f(x)=一 1，当 x+时，f(x)=1，所以 f(x)的值域为(一 1，1) 。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 A【试题解析】 由方程组 得 f 的稳定点为：P 0(一 1，一 1)、P1(一 1，1)、P 2(3，一 1)、P
14、3(3，1)。而由 A=fxx=6x 一 6，B=f xy=0，C=f yy=-6y可得：在 P0(一 1，一 1)处， A=一 120，B=0，C=6，AC 一 B2=一 720，f 不能取得极值；在 P1(一 1，1) 处，A=一 120，B=0，C=-6，AC-B 2=720，f 取得极大值；在 P2(3，一 1)处， A=120，B=0，C=6，AC 一 B2=720，f 取得极小值；在 P3(3，1)处，A=120， B=0，C=-6，ACB 2=一 720，f 不能取得极值。【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 C【试题解析】 不存在，但极限存在，且不能用洛比达法。【知识模块】
15、 高等数学28 【正确答案】 A【试题解析】 由 知，当 x0 时，f(x)一 x2，于是 xnf(x)一 xn+2。又当 x0 时，再根据题设有2n+24，可见 n=1。【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 B【试题解析】 A 项，例如分段函数 在定义域内没有间断点；C 项，函数 f(x)=x，0x1，在开区间(0，1)内单调连续，没有最大值和最小值；D 项，若函数在闭区间内有第二类间断点，则函数在该区间内不一定有界； B项，若函数单调有界，则一定没有第二类间断点。【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 C【试题解析】 令 g(x)=f(x)f(x)。当 f(x0)=0 时，当 f(x
16、0)0时，因为 f(x)在 x=x0 的某邻域内连续，所以，存在 x0 的一个邻域，当 x 在该邻域内时， 同理可得，当 f(x0)所以，函数 f(x)f(x)在 x=x0 处可导，且导数为 2f(x 0)f(x 0)。【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 B【试题解析】 当一 ac a 时，有又 g(x)=f(x)+f(x)=2f(x)0，故 g(x)在 (一 a，a)内是单调增加的。【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 B【试题解析】 设 所以 f(x)在(0，+) 内有界，由于 可见 f(x)在(0，+) 内可导。【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 D【试题解析】 将 y
17、看作一个复合函数，利用复合函数的求导法则可得：【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 A【试题解析】 由导数定义显然 f-(1)=0，因此 +1【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 B【试题解析】 将方程整理为 F(x，y，z)=0 的形式，即 xykz=0，则有【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 C【试题解析】 偏导数可按定义计算，而是否连续，要求先确定其极限，若极限不存在，则必定不连续。由偏导数的定义知，同理，f y(0，0)=0 。可见在点(0，0)处f(x，y)的偏导数存在。而当 y=kx 时，有： 当 k不同时， 不同，故 不存在，因而 f(x，y)在点(0，0)处不连续
18、。【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 D【试题解析】 P(x ，y)dx+Q(x，y)dy 为某函数 u(x，y)的全微分 du(x，y)，即：du(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy 的充要条件是： 由题设为某函数的全微分的充要条件是： 即(a2)x 一 ay=一 2y，(a 2)(x 一 y)=0。当且仅当 a=2 时上式恒成立。【知识模块】 高等数学38 【正确答案】 C【试题解析】 将 f(x0)=0 代入方程得 f(x0)的符号，从而由极值的充分条件得正确选项。f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 e=0，所以有 f(x0)=esinx0 一 f(x0)=exinx
19、00。即f(x0)=0，f(x 0)0。故 f(x0)在 x0 处取得极小值。【知识模块】 高等数学39 【正确答案】 C【试题解析】 将方程根的讨论先转化为函数零点的讨论，零点的存在性用介值定理，个数或惟一性利用单调性或极值加以说明。令 由于 f(x 一 x)=f(x)，故 f(x)为偶函数，因此只需考虑 f(x)=0 在(0，+)内的实根情况。当 x0 时， 可见，当内单调增加，且 f(0)=一 1，因此 f(x)=0 在 上有惟一实根；当 时，f(x)0，故在(0，+) 上 f(x)仅存在惟一实根。根据 f(x)关于 y 轴对称的性质，f(x)=0 在(一，+)上有且仅有两个实根。【知识模块】 高等数学40 【正确答案】 A【试题解析】 由题设，容易推知 f(0，0)=0，因此点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点，关键看在点(0，0) 的充分小的邻域内 f(x，y)是恒大于零、恒小于零还是变号。由知，分子的极限必为零，从而有 f(0，0)=0，且 f(x，y)一xy(x2+y2)2(x，y充分小时)，于是 f(x，y)一 f(0，0)xy+(x 2+y2)2。可见当y=x 且 x充分小时，f(x，y)一 f(0，0)x 2+4x40；而当 y=一 x 且x充分小时，f(x，y)一 f(0，0) 一 x2+4x4【知识模块】 高等数学
