1、注册结构工程师（一级基础考试-上午-数学）模拟试卷 7 及答案与解析1 微分方程 xy一 y=x2e2x 的通解 y=( )。2014 年真题（A）（B） x(e2x+C)（C）（D）x 2e2x+C2 微分方程 的通解是( )。2012 年真题（A）x 2+y2=C(CR)（B） x2 一 y2=C(CR)（C） x2+y2=C2(CR)（D）x 2 一 y2=C2(CR)3 微分方程 的通解是( )。201 1 年真题（A）（B）（C）（D）4 微分方程 的通解是( )。201 1 年真题（A）（B）（C）（D）5 微分方程 ydx+(xy)dy=0 的通解是( )。2010 年真题（A）
2、（B）（C） xy=C（D）6 函数 (C1，C 2 为任意数)是微分方程 y一 y一 2y=0 的( )。2014 年真题（A）通解（B）特解（C）不是解（D）解，既不是通解又不是特解7 微分方程 xy一 ylny=0 满足 y(1)=e 的特解是( )。2013 年真题（A）y=ex（B） y=ex（C） y=e2x（D）y=lnx8 已知微分方程 y+p(x)y=q(x)(q(x)0)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该微分方程的通解是( )。2012 年真题（A）y=C(y 1 一 y2)（B） y=C(y1+y2)（C） y=y1+C(y1+y2)（D） y
3、=y 1+C(y1 一 y2)9 微分方程 y一 3y+2y=xex 的待定特解的形式是( )。2013 年真题（A） y=(Ax+Bx)e x（B） y=(Ax+B)ex（C） y=Ax2ex（D） y=Axe x10 以 y1=ex，y 2=e-3x 为特解的二阶线性常系数齐次微分方程是( )。2012 年真题（A）y一 2y一 3y=0（B） y+2y一 3y=0（C） y一 3y+2y=0（D）y一 2y一 3y=011 微分方程 y+2y=0 的通解是 ( )。2010 年真题（A）y=Asin2x（B） y=Acosx（C）（D）12 微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2)dy
4、=0 的通解为( )。（A）1+x 2=Cy（B） (1+x2)(3+2y)=C（C）（D）(1+x 2)2(3+2y)=013 微分方程 cosydx+(1+e-x)sinydy=0 满足初始条件 的特解是( )。（A）（B） cosy=1+e2（C） cosy=4(1+ex)（D）cos 2y=1+e214 微分方程 y=y2 的通解是( )。（A）lnx+C（B） ln(x+C)（C） C2+lnx+C 1（D）C 2 一 lnx+C 115 微分方程 y=x+sinx 的通解是( )。(C 1，C 2 为任意常数)（A）（B）（C）（D）16 函数 y=C1ex+C2e-2x+xex
5、满足的一个微分方程是( )。（A）y一 y一 2y=3xex（B） y一 y一 2y=3ex（C） y+y一 2y=3xex（D）y+y一 2y=3ex17 具有特解 y1=e-x，y 2=2xe-x，y 3=3ex 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是( )。（A）y一 y一 y+y=0（B） y+yy一 y=0（C） y一 6y+11y一 6y=0（D）y一 2y一 y+2y=018 设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y+py+qy=e3x 满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 的极限( )。（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 319 设 A
6、 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，行列式 等于( )。2010 年真题（A）一AB（B） AB （C） (一 1)m+nAB （D）(一 1)mnAB 20 设 A、B 为三阶方阵，且行列式 A*为 A 的伴随矩阵，则行列式2A *B-1等于( )。2014 年真题（A）1（B）一 1（C） 2（D）一 221 设 则 A-1=( )。201 1 年真题（A）（B）（C）（D）22 设 3 阶矩阵 已知 A 的伴随矩阵的秩为 2，则 a=( )。201 1 年真题（A） 一 2（B） 一 1（C） 1（D）223 设 1,2,3， 是 n 维向量组，已知 1， 2， 线性相关， 2， 3，
7、 线性无关，则下列结论中正确的是( )。2012 年真题（A） 必可用 1， 2 线性表示（B） 1 必可用 2， 3， 线性表示（C） 1,2,3 必线性无关（D） 1,2,3 必线性相关24 已知向量组 1=(3，2，一 5)T， 2=(3，一 1，3) T， 4=(6，一2，6) T，则该向量组的一个极大线性无关组是( )。2013 年真题（A） 2， 4（B） 3， 4（C） 1， 2 （D） 2， 325 已知 n 元非齐次线性方程组 Ax=B，秩 r(A)=n 一 2， 1,2,3 为其线性无关的解向量，k 1，k 2 为任意常数，则 Ax=B 的通解为( ) 。2014 年真题（
8、A）x=k 1(1 一 2)+k2(1+3)+1（B） x=k1(1 一 3)+k2(2+3)+1（C） x=k1(2 一 1)+k2(2 一 2)+1（D）x=k 1(2 一 3)+k2(1+2)+126 若非齐次线性方程组 Ax=b 中，方程的个数少于未知量的个数 ,则下列结论中正确的是 ( ) 。 2013 年真题（A）Ax=0 仅有零解（B） Ax=0 必有非零解（C） Ax=0 一定无解（D）Ax=b 必有无穷多解27 齐次线性方程组 、的基础解系为( )。2011 年真题（A） 1=(1， 1，1，0) T， 2=(一 1，一 1，1，0) T（B） 1=(2，1，0，1) T，
9、2=(一 1，一 1，1，0) T（C） 1=(1，1，1，0) T， 2=(一 1，0，0，1) T（D） 1=(2， 1，0，1) T， 2=(一 2，一 1，0，1) T28 已知矩阵 相似，则 等于( )。2013 年真题（A）6（B） 5（C） 4（D）1429 已知 n 阶可逆矩阵 A 的特征值为 0，则矩阵(2A) -1 的特征值是( )。2012 年真题（A）（B）（C）（D）2 030 设 A 是 3 阶矩阵，P=( 1,2,3)是 3 阶可逆矩阵，且 若矩阵Q=(2,1,3)，则 Q 一 1AQ=( )。2011 年真题（A）（B）（C）（D）注册结构工程师（一级基础考试-
10、上午-数学）模拟试卷 7 答案与解析1 【正确答案】 A【试题解析】 当 x0 时，原微分方程可化为： 则【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 故两边积分得： y2=一x2+2C，整理得，x 2+y2=C1，这里常数 C1 必须满足 C10。故方程的通解为x2+y2=C2(CR)。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 分离变量法，原式等价于 两边积分得：整理得，【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 令 两边分别积分得：ln(sinu)=ln x+ln C，则微分方程【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 微分方程 ydx
11、+(x 一 y)dy=0 可写成 ydx+xdy=ydy，右端仅含 y，求积分得 y2。左端既含 x 又含 y，它不能逐项积分，但却可以化成 d(xy)，因此，直接求积分得到 xy，从而便得到微分方程的隐式解【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 微分方程 y一 y-2y=0 的特征方程为：r 2 一 r 一 2=0，解特征方程得：r1=2，r 2=一 1。故其通解为：y=C 1e2x 一+C 2e-x。即题中函数是方程的解，但不是通解或特解。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 将各选项答案代入已知条件判断如下：A 项，代入可得，ex 一exln(ex)0，
12、不满足；B 项，代入可得，xe x 一 xex=0，当 x=1 时，有 y(1)=e，满足；C 项，代入可得，2xe 2x 一 2xe2x=0，y(1)=e 2，不满足；D 项，代入可得，1 一 lnx ln(lnx)0，不满足。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 所给方程的通解等于其导出组的通解加上该方程对应齐次方程的一个特解，(y 1 一 y2)是导出组的一个解，C(y 1 一 y2)是导出组的通解。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 形如 y+py+qy=P(x)eax 的非齐次方程的特解为：y *=xkQ(x)eax，其中 k 的取值视 在特征方
13、程中的根的情况而定。在此，特征方程 r2-3r+2=0 的特征根为 r=2，r=1 为单根形式，故 k=1。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 B【试题解析】 因 y1=ex，y 2=e-3x 是特解，故 r1=1，r 2=一 3 是特征方程的根，因而特征方程为 r2+2r 一 3=0。故二阶线性常系数齐次微分方程是：y+2y一 3y=0。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 二阶常系数线性齐次方程，写出特征方程 r2+2=0，特征根为：，则方程的通解【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 B【试题解析】 分离变量可以得到：可以得到：进而可以得到(1+x 2)(3+
14、2y)=C。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 A【试题解析】 原方程可整理为： 两边取不定积分得：其中 C 为任意常数。将初始条件代入，可知 C=14。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 D【试题解析】 令 y=z，则原方程可化为 z=z2，即 两边同时积分得，又 两边同时积分有，y=C 2 一lnx+C 1。【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 B【试题解析】 两边积分可得 再次积分得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 D【试题解析】 y=C 1ex+C2e-2x+xex 是某二阶线性常系数非齐次方程的通解，相应的齐次方程的特征根 1=1， 2=一 2，特征方程应是(
15、 一 1)(+2)=0，于是相应的齐次方程是 y+y一 2y=0。CD 两项中，方程 y+y一 2y=3ex，有形如 y*=Axex 的特解(此处 eax 中 a=1 是单特征根)。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 B【试题解析】 由特解知，对应特征方程的根为： 1=2=一 1， 3=1。于是特征方程为：(+1) 2( 一 1)=3+2 一 一 1=0。故所求线性微分方程为：y+y一yy=0 。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 C【试题解析】 由 y+py+qy=e3x 及 y(0)=y(0)=0，知 y(0)=1，则：【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 D【试题解析】
16、行列式 经过 mn 次列变换得到行列式 即：【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 A【试题解析】 因为 而且A、B 为三阶方阵，所以行列式【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 B【试题解析】 由 A.A*=A.E，得 其中，A = 一 1；【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 A【试题解析】 由矩阵与伴随矩阵秩的关系式 可知，r(A)=2。故A=0，得： a=-2 或 a=1。当 a=1 时，r(A)=1。故 a=一 2。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 B【试题解析】 由 1， 2， 线性相关知， 1,2,3， 线性相关。再由 2， 3， 线性无关， 1 必可用 2， 3
17、， 线性表示。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 C【试题解析】 可见 1， 2是该向量组的一个极大线性无关组。【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 C【试题解析】 n 元非齐次线性方程组 Ax=B 的通解为 Ax=0 的通解加上 Ax=B 的一个特解。因为 r(A)=n 一 2，Ax=0 的解由两个线性无关的向量组成。所以 Ax=B 的通解为：x=k 1(1 一 2)+k2(2 一 33)+1。【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 B【试题解析】 因非齐次线性方程组未知量个数大于方程个数，可知系数矩阵各列向量必线性相关，则对应的齐次线性方程组必有非零解。【知识模块】 高等数学2
18、7 【正确答案】 C【试题解析】 简化齐次线性方程组为 则 1=(1，1，1，0)T。令 则 2=(一 1，0，0，1) T。故基础解系为： 1=(1，1，1，0) T， 2=(一1，0，0，1) T。【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 A【试题解析】 A 与 B 相似，故 A 与 B 有相同的特征值，又因为特征值之和等于矩阵的迹，故 1+4+5=+2+2，故 =6。【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 C【试题解析】 由矩阵特征值的性质，2A 的特征值为 20，因此(2A) 一 1 的特征值为。【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 B【试题解析】 设可逆矩阵 计算可得：PB=Q，Q 一 1=B 一 1P 一 1，其中，B 一 1=【知识模块】 高等数学
