1、注册结构工程师（一级基础考试-上午-数学）模拟试卷 8 及答案与解析1 要使得二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2tx1x2+x22 一 2x1x3+2x2x3+2x32 为正定的，则 t 的取值条件是( ) 。2012 年真题（A）一 1t1（B）一 1t0（C） t0（D）t一 12 已知 的值为( )。（A）2（B）一 2（C） 0（D）43 是 x 的多项式，其可能的最高方次是( )。（A）1 次（B） 2 次（C） 3 次（D）4 次4 设 A 是 3 阶矩阵，矩阵 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行，得矩阵 B，则下列选项中成立的是( ) 。（A）B 的第 1 行的
2、-2 倍加到第 2 行得 A（B） B 的第 1 列的-2 倍加到第 2 列得 A（C） B 的第 2 行的一 2 倍加到第 1 行得 A（D）B 的第 2 列的一 2 倍加到第 1 列得 A5 设 A，B 为 n 阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵则 C 的伴随矩阵 C*=( )。（A）（B）（C）（D）6 设向量组 1,2,3 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是( )。（A） 1+2， 2+3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+4（D） 1+2+3，2 132+223，3 1+52537 设有向量组
3、1=(1，一 1，2，4)， 2=(0，3，1， 2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，一 2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是( )。（A） 1,2,3（B） 1,2,4（C） 1,2,5（D） 1,2,4， 58 设 n 维行向量 矩阵 A=E 一 T，B=E+2 T，其中 E 为 n阶单位矩阵，则 AB 等于( )。（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T9 设 1， 2 是线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1、 2 是导出组 Ax=0 的基础解系，k 1、k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是( )。（A）（B） 1+k1(1
4、一 2)+k2(1 一 2)（C）（D）10 设 A 是 mn 阶矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )。（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有惟一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解11 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 A。若存在三阶矩阵 B0使得 AB=0，则( )。（A）=一 2 且B=0（B） =一 2 且B 0（C） =1且B =0（D）=1 且B012 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不
5、同的特征值， ， 是 A 的分别属于 1， 2 的特征向量，则以下选项中正确的是( )。（A）对任意的 k10和 k20，k 1+k2都是 A 的特征向量（B）存在常数 k10和 k20，使得 k1+k2是 A 的特征向量（C）对任意的 k10和 k20，k 1+k2都不是 A 的特征向量（D）仅当 k1=k2=0 时，k 1+k2是 A 的特征向量13 下列矩阵中不能对角化的是( )。（A）（B）（C）（D）14 设 A 是 n 阶矩阵，且 Ak=0(k 为正整数)，则( )。（A）A 一定是零矩阵（B） A 有不为 0 的特征值（C） A 的特征值全为 0（D）A 有 n 个线性无关的特征
6、向量15 已知二阶实对称矩阵 A 的一个特征向量为(2，一 5)T，并且A0，则以下选项中为 A 的特征向量的是( )。（A）（B）（C）（D） k1，k 2 不同时为零16 二次型 Q(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32 的标准形为( )。（A）y 12 一 y22（B） y12+y22+y32（C） y12+y22 一 y32（D）y 12+y2217 n 元二次型 XTAX 是正定的充分必要条件是 ( )。（A）A0（B）存在 n 维非零向量 X，使得 XTAX0（C） f 的正惯性指数 p=n（D）f 的负惯性指数 q=018 已知 A 为奇数阶
7、实矩阵，设阶数为 n，且对于任一 n 维列向量 X，均有XTAX=0，则有( ) 。（A）A0（B） A=0（C） A0（D）以上三种都有可能19 二次型 f(x1，x 2，x 3)= 的秩为( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）320 已知矩阵 那么与 A 既相似又合同的矩阵是 ( )。（A）（B）（C）（D）21 设 A 与 B 是互不相容的事件，P(A)0，P(B)0，则下列式子一定成立的是( )。2014 年真题 （A）P(A)=1 一 P(B)（B） P(AB)=0（C）（D）22 若 A 与 B 为两个相互独立事件，且 P(A)=04 ，P(B)=0 5，则 P(AB)等于(
8、)。 2013 年真题 （A）09（B） 08（C） 07（D）0623 设事件 A、B 互不相容，且 P(A)=p，P(B)=q ，则 等于( )。2012 年真题（A）1 一 p（B） 1 一 q（C） 1 一(p+q)（D）1+p+q24 三个人独立地去破译一份密码，每人能独立译出这份密码的概率分别为15，13，14，则这份密码被译出的概率为( )。2011 年真题（A）（B）（C）（D）25 设随机变量 X 的概率密度为 用 Y 表示对 X 的 3 次独立重复观察中事件 出现的次数，则 PY=2=( )。2011 年真题（A）（B）（C）（D）26 设事件 A、B 相互独立，且 等于(
9、 )。2010 年真题（A）（B）（C）（D）27 设(X，Y)的联合概率密度为 则数学期望 E(XY)等于( )。2014 年真题（A）（B）（C）（D）28 设 X1，X 2，X n 与 Y1，Y 2，Y n 都是来自正态分布 XN(， 2)的样本，并且相互独立， 分别是其样本均值，则 服从的分布是( )。2014年真题（A）t(n 一 1)（B） F(n 一 1，n 一 1)（C） 2(n 一 1)（D）N(， 2)29 下列函数中，可以作为连续型随机变量的分布函数的是( )。2013 年真题（A）（B）（C）（D）30 若随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 在区间0， 2上服从均匀
10、分布，Y 服从参数为 3 的指数分布，则数学期望 E(XY)的等于( )。2012 年真题（A）（B） 1（C）（D）31 设随机变量 X 和 Y 都服从 N(0，1)分布，则下列叙述中正确的是( )。2011 年真题（A）X+Y正态分布（B） X2+Y2 2 分布（C） X2 和 Y2 都 2 分布（D）32 设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n 是来自总体的样本，则 2 的矩估计是( )。2013 年真题（A）（B）（C）（D）33 设 x1，x 2xn 是来自总体 N(， 2)的样本， ， 2 未知，则检验假设 H0：=0 时应选取的统计量是( )。2012 年真题（A）（B
11、）（C）（D）34 设 A，B 是两个事件，P(A)=0 3，P(B)=0 8，则当 P(AB)为最小值时，P(AB)=( )。2011 年真题 （A）01（B） 02（C） 03（D）0435 设事件 A 与 B 互不相容，且 P(A)0，P(B)0 ，则下列结论正确的是( )。（A）P(AB)=P(A)（B） P(AB)=0（C） P(AB)=P(A)P(B)（D）P(BA)036 将 3 个球随机地放入 4 个杯子中，则杯中球的最大个数为 2 的概率为( )。（A）（B）（C）（D）37 离散型随机变量 X 的分布为 P(X=k)=ck(k=0， 1，2，)，则不成立的是( )。（A）c
12、0（B） 0 1（C） c=1（D）38 已知随机变量 X 服从二项分布，且 EX=24，DX=144，则二项分布的参数n，P 的值为( )。（A）n=4；P=06（B） n=6；P=04（C） n=8；P=03（D）n=24；P=0139 设随机变量 X 的概率密度为 则 P(0X3)等于( )。（A）（B）（C）（D）40 设随机变量(X，Y) 服从二维正态分布，其概率密度为 则E(X2+Y2)等于( )。（A）2（B） 1（C）（D）41 设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(一 x)-f(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a 有 ( )。（A）（B）（C） F(
13、一 a)=F(a)（D）F(一 a)=2F(a)一 142 设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 4 和 2，则随机变量 3X 一 2Y的方差是( )。（A）8（B） 16（C） 28（D）4443 设随机变量 X 的二阶矩存在，则( )。（A）E(X 2)E(X)（B） E(X2)E(X)（C） E(X2) (EX)2（D）E(X 2)(Ex)244 总体 XN(， 2)，从 x 中抽得样本 X1，X 2， ，X n，X 为样本均值。记则服从自由度为 n 一 1 的 t 分布的随机变量是 T=( )。（A）（B）（C）（D）45 样本 X1，X n 来自正态分布总体 N(， 2
14、)，X 与 S2 分别为样本均值和样本方差，则下面结论不成立的有( )。（A） 与 S2 相互独立（B） 与(n 一 1)S2 相互独立（C） 相互独立（D） 相互独立46 设总体 X 的概率分布为：其中 是未知参数，利用样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，所得 的矩估计值是( ) 。（A）（B）（C） 2（D）047 设总体 X 的概率密度为 其中 一 1 是未知参数，X1，X 2，X n 是来自总体 X 的样本，则 的矩估计量是( )。（A）（B）（C）（D）48 设总体 x 的数学期望 与方差 2 存在，X 1，X 2，X n 是 X 的样本，则( )可以作为 2 的无偏估计。（A）
15、当 已知时，统计量（B）当 已知时，统计量（C）当 未知时，统计量（D）当 未知时，统计量49 设总体 X 服从正态 N(， 2)分布，X 1，X 2，X 3，X n 是来自正态总体 X 的样本，要使 是 的无偏估计量，则 A 的值为( )。（A）（B）（C）（D）50 设总体 XN(， 2)， 2 已知，若样本容量 n 和置信度 1 一 均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值 的置信区间的长度( )。（A）变长（B）变短（C）保持不变（D）不能确定51 设总体 XN(， 1)， YN( ， 22)，检验假设H0： 12=22；H 1： 1222；=010，从 x 中抽取容量为 n1=12
16、的样本，从 Y 中抽取容量为 n2=10 的样本，算得 s12=1184，s 22=3193，正确的检验方法与结论是( )。（A）用 t 检验法，临界值 F(17)=211，拒绝 H0（B）用 F 检验法，临界值 F0.05(1 1，9)=310，F 0.95(1 1，9)=0 35，拒绝 H0（C）用 F 检验法，临界值 F0.95(1 1，9)=035，F 0.05(11，9)=3 10，接受 H0（D）用 F 检验法，临界值 F0.01(1 1，9)=5 18，F 0.99(1 1，9)=021，接受 H052 考虑正态总体 XN(a， x2)和 YN(b， y2)。设(X 1，X 2，
17、X m)和(Y1，Y 2，Y n)是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本， Sx2 和 Sy2 相应为样本方差，则检验假设 H0：ab 使用 t 检验的前提条件是( )。（A） x2=y2（B） Sx2=Sy2（C） x2y2（D）S x2Sy253 一元回归方程不一定经过的点是( )。（A）(0 ，a)（B）（C）（D）(0 ，0)54 在一元线性回归分析中，已知 Lyy=5，L xx=5，L xy=一 4，如果x=1，则 y 的预测值为 ( )。（A）01（B） 03（C） 05（D）06注册结构工程师（一级基础考试-上午-数学）模拟试卷 8 答案与解析1 【正确答案】 B【试题解析】 该
18、方程对应的二次型的矩阵为： 若二次型为正定，其各阶顺序主子式均大于零，由二阶主子式大于零，有 1 一 t20，求得一1t 1。三阶主子式也大于零，得一 1t0。【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 令 观察矩阵 B，容易发现 B正是 A 的伴随矩阵，即 B=A*，故由 AA*=AE，得：A *=A n-1=23-1=4。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 第二行、第三行都减去第一行后，再按第一行展开，知 f(x)的可能的最高方次是一次。【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 设矩阵则：【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 D【试题解析】
19、若 A、B 可逆，则 C 可逆，且 C*=C .C -1，可求得 C*。若 A、B不全可逆，则对四个选项验证：C.C *=CE。若 A、B 均可逆，则 A*=AA -1，B *=BB -1，对比四个选项知，只有 D 项成立。当 A 或 B 不可逆时，利用定义可证 D 项仍成立。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 A 项，( 1+2)一( 2+3)+(3 一 1)=0；B 项， ( 1+2)+(2+3)一(1+22+3)=0；可见 AB 两项中向量组线性相关。CD 两项不能直接观察出，C 项，令 k1(1+22)+k2(22+33)+k3(33+1)=0，即(k 1+k3)1
20、+(2k1+2k2)2+(3k2+3k3)3=0。由于 1， 2， 3 线性无关，故 因上述齐次线性方程组的系数行列式 故方程组有惟一零解，即 k1=k2=k30，故 C 项中向量组线性无关。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 对以 1,2,3,4,5 为列向量的矩阵施以初等行变换：由于不同阶梯上对应向量组均线性无关，而含有同一个阶梯上的两个以上的向量必线性相关，对比四个选项知，B项成立。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 C【试题解析】 注意利用 T 为一个数来简化计算。 AB=(E 一 T)(E+2T)=E+2T 一 T 一 2TT【知识模块】 高等数学9 【正确答
21、案】 C【试题解析】 非齐次线性方程组 Ax=b 的通解由导出组 Ax=0 的基础解系与某一特解构成。A 项， 1 一 2 都是导出组 Ax=0 的一个解，该选项中不包含特解；B 项， 1 一 2 是导出组 Ax=0 的一个解，该选项也不包含特解； C 项， 是Ax=b 的特解， 1 一 2 与 1 线性无关，可作为导出组 Ax=0 的基础解系；D 项，包含特解，但 1 一 2 与 1 未必线性无关，不能作为导出组 Ax=0 的基础解系。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 由解的判定定理知，对 Ax=b，若有 r(A)=r(A)=r，则 Ax=b 一定有解。进一步，若 r
22、=n，则 Ax=b 有惟一解；若 r n，则 Ax=b 有无穷多解。而对Ax=0 一定有解，且设 r(A)=r，则若 r=n，Ax=0 仅有零解；若 rn ，Ax=0 有非零解。因此，若 Ax=b 有无穷多解，则必有 r(A)=r(A)=rn，Ax=0 有非零解，所以D 项成立。但反过来，若 r(A)=r=n(或n)，并不能推导出 r(A)=r(A)，所以 Ax=b可能无解，更谈不上有惟一解或无穷多解。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AB=0，所以 r(A)+r(B)3，又 A0，B0，所以 1r(A)即此时 r(A)=3。事实上，当 =1 时，【知识模块】 高
23、等数学12 【正确答案】 C【试题解析】 ， 是 A 的分别属于 1， 2 的特征向量，则：A=1，A= 2，A(k 1+k2)=k1A+k2A=k11+k22，当 12 时，k 1+k 就不是矩阵 A 的特征向量。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 C【试题解析】 A 项，故 A 有三个不同的特征值，显然 A 可对角化。B 项，即特征值为 1=1(二重)， 2=一 2。当 =1 时，r(EA)=1，故 =1 对应两个线性无关的特征向量，故 A 可对角化。C 项， 故 =一 1 是三重特征值，而 r(一 EA)=2，故 A 不可对角化。D 项为实对称矩阵，它必可对角化。【知识模块】 高等
24、数学14 【正确答案】 C【试题解析】 设 是 A 的特征值，对应的特征向量为 ，则有 A= Ak=k=0由 0，有 k=0，即 =0，故 A 的特征值全为 0。令 则 A2=0。若 A 有n 个线性无关的特征向量，则 A 可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=0，则必有 A=0，与题意矛盾。【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 的特征值为 1， 2，因为A0，所以 1.20，即 A 有两个不同的特征值。又 且在 D 项中，k 1 与 k2 不同时为零。C 项，k 1 与 k2 都可以等于 0，如当 k1=0，k 20 时，k 2(5，2) T 也是 A
25、的特征向量，所以排除。【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 D【试题解析】 用配方法，有：Q(x 1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x22+4x2x3+4x32=(x1+x2)2+(x2+2x3)2 x=py，y=y 12+y22。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 C【试题解析】 A0 是 A 正定的必要条件，不是充分条件，必须保证 A 的所有顺序主子式全大于 0，才能推出 XTAX 是正定的，排除 A。二次型 XTAX 正定的充分必要条件是对任意的 n 维非零向量 X，均有 XTAX0，而并非仅仅是存在，排除 B。在 D 中，f 的负惯性指数等于 0，可保证 XTAX
26、为非负定二次型，但不能确保是正定二次型。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 B【试题解析】 由于对任一 n 维列向量均有 XTAX=0，两边转置，有 XTAX=0，从而 XT(A+AT)X=0。显然有(A+A T)T=A+AT，即 A+AT 为对称矩阵。从而对任一 n 维列向量均有：X T(A+AT)X=0，且 A+AT 为实对称矩阵，从而有 A+AT=0。即 AT=一A，从而 A 为实反对称矩阵，且 A 为奇数阶，故A=0。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 B【试题解析】 令 则二次型矩阵 故二次型的秩为 1。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 D【试题解析】 两个实对称
27、矩阵如果相似必然合同，因为两个实对称矩阵相似，则它们有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，因此它们必然合同。但合同不能推出相似，故本题只要找出与 A 相似的矩阵即可，也就是求 A 的特征值。故 A 的特征值为 1=0， 2=2(二重)。从而矩阵 A 与 合同。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 B【试题解析】 A 与 B 是互不相容的事件，则 P(AB)=0，所以【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 C【试题解析】 P(A B)=P(A)+P(B)一 P(AB)，因 A 与 B 相互独立，故 P(AB)=P(A)P(B)=02，故 P(AB)=07。【知识模块】 高等数学23
28、【正确答案】 C【试题解析】 由德摩根定律有， 再由事件A、B 互不相容得：P(AB)=P(A)+P(B)=p+q。因此【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 D【试题解析】 设这三个人独立译出密码的概率分别为：P(A)=15，P(B)=1 3， P(C)=14，三个事件独立，则：【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 D【试题解析】 由条件概率公式得 又A、B 相互独立，从而得【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 A【试题解析】 由于 将原式代入，解得：k=2。【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 B【试题解析】 设 X、
29、Y 相互独立，且 X 2(n1)、Y 2(n2)，则称 服从 F 分布，记作 FF(n 1，n 2)。本题中，且相互独立，所以 服从F(n 一 1，n 1)分布。【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 B【试题解析】 根据分布函数 F(x)的性质，有 可知 AC两项错误；又因为是连续型随机变量的分布函数，故 H(x)必须单调不减，D 项错误。【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 D【试题解析】 X 与 Y 独立，E(XY)=E(X)E(Y) 。又 X 在a，b 上服从均匀分布，E(X)= 即有 E(X)=1。当 Y 服从参数为 的指数分布时， 即有故【知识模块】 高等数学31 【正确答案
30、】 C【试题解析】 当 XN(0，1)时，有 X 2，故 X2 项正确；ABD 三项， 2 分布与F 分布都要求 X 与 Y 独立。【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 D【试题解析】 样本 k 阶矩： 本题中，k=2，故 D 项正确。【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 A【试题解析】 当 2 未知时检验假设 H0：= 0，应选取统计量【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 C【试题解析】 由于 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)，当 P(AB)为最小值时，P(AB)为最大值，此时 ，则 P(AB)=03。【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 B【试题解析】 因为事件 A 与 B 互不相容，所以 P(AB)=0，又因为 P(A)0，P(B)0，所以 P(AB)=P(B)P(AB)，由 P(AB)=0，P(B)0 易得 P(AB)=0。【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 C【试题解析】 把 3 个球放到 4 个杯子，每个球都有 4 种方法，共 43 种放法。杯中球的最大个数为 2 的放法为：从 3 个球中取 2 球放入其中的一个杯子，剩下的一个球放入到另外的一个杯子中，共有 2C32C42=36 种放法。由古典型概率可得：杯中球的最大个数为 2 的概率=【知识模块】 高等数学
