1、Rec. UIT-R TF.538-3 1Caracterizacin de las fuentes y formacin de escalas de tiempoRECOMENDACIN UIT-R TF.538-3MEDICIONES DE LA INESTABILIDAD DE FRECUENCIA Y EN EL TIEMPO (FASE)(Cuestin UIT-R 104/7)(1978-1990-1992-1994)Rec. UIT-R TF.538-3La Asamblea de Radiocomunicaciones de la UIT,considerandoa) que
2、conviene utilizar un lenguaje apropiado para expresar las caractersticas de inestabilidad de losgeneradores de frecuencias patrn y seales horarias y los sistemas de medida;b) que la medida de la varianza clsica no converge en algunos tipos de inestabilidades aleatorias de las sealeshorarias y la fre
3、cuencia;c) que los principales laboratorios, observatorios, industrias y usuarios han adoptado ya determinadasRecomendaciones del Subcomit sobre estabilidad de frecuencias del Comit Tcnico sobre frecuencia y sealeshorarias del IEEE respecto a instrumentacin y medicin, y la existencia de la Norma N.
4、1139-1988 del IEEE sobreDefiniciones fundamentales normalizadas por el IEEE de cantidades fsicas para la metrologa de la frecuencia y deltiempo;d) que las mediciones de inestabilidad de frecuencia deben basarse en principios tericos slidos, fciles deaplicar y de interpretar;e) que es conveniente dis
5、poner de medidas de estabilidad que puedan obtenerse con equipos sencillos;f) que no hay una medida aceptada y adecuada para la inestabilidad en el dominio del tiempo en relojes y en lossistemas de medicin, comparacin y difusin;g) que se ha encontrado una medida de la inestabilidad temporal para var
6、iaciones aleatorias que resuelve losinconvenientes encontrados tanto en la industria de las telecomunicaciones como en los sistemas de medicin,comparacin y difusin de frecuencias patrn y seales horarias, as como en relojes,recomienda1. que las inestabilidades aleatorias de las frecuencias patrn y se
7、ales horarias se caractericen por las medidasestadsticas Sy( f ), S( f ) o Sx( f ), en el dominio de la frecuencia, y por y(), Mod. y() y x() en el dominio deltiempo, que se definen a continuacin:1.1 la medida de las inestabilidades de frecuencia normalizadas y(t) en el dominio de la frecuencia es S
8、y( f ),esdecir, la densidad espectral unilateral (0 fh(6)donde los hson constantes, los son enteros, y fhes la frecuencia de corte de un filtro de paso bajo. Las ecuaciones(3), (4) y (5) son correctas y consecuentes en caso de ruidos estacionarios, incluido el ruido de fase. La divergencia enalta fr
9、ecuencia se suprime por los lmites introducidos en la ecuacin (6). Los cinco procesos de ruido estncaracterizados en el cuadro 1 y se representan en la fig. 1. En la prctica, solamente dos o tres procesos de ruido suelenser suficientes para describir las fluctuaciones aleatorias de frecuencia de un
10、oscilador determinado, los otros puedendespreciarse.3. Dominio del tiempoLa inestabilidad aleatoria de frecuencia en el dominio del tiempo puede definirse a travs de la varianza de lasmuestras. La medida recomendada es la desviacin tpica de dos muestras que es la raz cuadrada de la varianza de dosmu
11、estras cuando el tiempo entre mediciones sucesivas es cero 2y(). La varianza de dos muestras se define por:2y() = 1/2 (7)donde:yk= 1tktk + y(t) dt = xk + 1 xky tk + 1= tk+ (muestras adyacentes)denota un promedio tomado en un intervalo infinito. La medicin escrita en la ecuacin (7) se denomina a menu
12、do lavarianza de Allan. xky xk + 1son los valores de las mediciones residuales de tiempo realizadas en los tiempos tky tk + 1= tk+ , con k = 1, 2, ., y siendo 1/ la frecuencia de muestreo fijada que asegura un tiempo muerto nulo entre lasmediciones de frecuencia. Por mediciones residuales se entiend
13、e que se han eliminado los efectos sistemticosconocidos.4 Rec. UIT-R TF.538-3Si la frecuencia de muestreo inicial se especifica como 1/0, entonces se ha demostrado que en general sepuede obtener una estimacin ms eficaz de y() utilizando lo que se denomina estimaciones con solape. Estaestimacin se ob
14、tiene utilizando la ecuacin (8).2y() = 12(N 2n) 2i = 1N 2n(xi + 2n 2xi + n+ xi)2(8)donde N es el nmero de mediciones de los comienzos de las seales de tiempo espaciadas 0 (N = M + 1, donde M esel nmero de mediciones de frecuencia correspondientes al tiempo de muestreo 0) y = n 0.Si existe un tiempo
15、muerto entre las mediciones de comienzo de las diferentes frecuencias y ste se ignora alcalcular la ecuacin (7) se ha demostrado que los valores de estabilidad resultante (que ya no sern las varianzas deAllan), presentarn una desviacin sistemtica (excepto para el ruido blanco de frecuencia) puesto q
16、ue las mediciones dela frecuencia se reagrupan para calcular la estabilidad para n 0(n 1). Esta desviacin se ha estudiado y se hanpublicado algunas tablas para su correccin.Si no existe un tiempo muerto, entonces los yi originales pueden combinarse para crear un conjunto de yk:yk= 1ni = kk + n 1yiCU
17、ADRO 1Caractersticas funcionales de cinco procesos de ruido independientespara inestabilidad de frecuencia de los osciladoresCaractersticas de pendiente de la curva log logDescripcin del proceso de ruidoEn el dominio de la frecuencia En el dominio del tiempoSy( f ) S( f ) Sx( f ) 2y() Mod. 2y() 2x()
18、 2 Ruido de frecuencia de marchaaleatoria2 4113Ruido de centelleo de frecuencia 1 3 0 0 2Ruido blanco de frecuencia 0 2 1 1 1Ruido de centelleo de fase 1 1 2 2 0Ruido blanco de fase 2 0 2 3 1Sy( f ) = hf = 1, 2 (12)siendo (dx/dt) = y, y = n 0. Por tanto, x es la desviacin temporal; los corchetes ind
19、ican un promedio temporalinfinito. La barra sobre la x indica un promedio a lo largo de un intervalo . As pues, x es una estimacin ptima dela desviacin temporal en el intervalo , si las desviaciones tienen un espectro blanco. Los tres promedios utilizados en laecuacin de la segunda diferencia son ad
20、yacentes. Por tanto, para un valor determinado de k en la segunda diferencia,estos promedios ocupan un espacio de 3.Las relaciones de la densidad espectral y el dominio del tiempo son las siguientes:Sx( f ) f 2x() (13) = 1Como los tipos habituales de ruido medido se centran alrededor de = 0, se obti
21、ene una dependencia casinula de (un hecho deseable para una buena medida). Otras caractersticas tiles de esta medida son: es igual a la clsica desviacin tpica de las mediciones de diferencia de tiempo para = 0, para ruidoblanco PM; es igual a la desviacin tpica de la media de las mediciones de difer
22、encia de tiempo para = N 0(lalongitud de los datos), para ruido blanco PM;Rec. UIT-R TF.538-3 7 es convergente y muestra un buen comportamiento para los procesos aleatorios que se producengeneralmente en la metrologa horaria y de frecuencias patrn; la dependencia de indica que el modelo de densidad
23、de potencia espectral exponencial es adecuado paralos datos; la amplitud de x() a un valor particular de , con la hiptesis de uno de los modelos de densidadespectral en quinta potencia ( = 4, 3, 2, 1, 0), ofrece informacin suficiente para estimar el nivelcorrespondiente en el dominio de frecuencias
24、para cualquiera de las mediciones de densidad espectralnormales recomendadas por el IEEE.Se ha estudiado el problema constituido por la estimacin de la estabilidad de distintos relojes, basndose en lacomparacin de mediciones, y se ha propuesto un modelo general y coherente para trabajar con medicion
25、es de diferenciade seales, sin necesidad de suponer a priori una ausencia de correlacin entre los relojes.4. Conversin entre los dominios de la frecuencia y del tiempoEn general, si se conoce la densidad espectral de la fluctuacin de la frecuencia normalizada Sy( f ) puedecalcularse la varianza de d
26、os muestras como sigue:2y() = 2 0fhSy( f ) sen4 (pi f )(pi f )2df (14)Mod. 2y() = 2 0fhSy( f ) sen6 (pi f )(n pi f )2sen2(pi f 0)df (15)y:2x() = 830fhSx( f ) sen6 (pi f )n2sen2(pi f 0)df (16)Concretamente, para el modelo de ley exponencial dado para la ecuacin (6), la medida en el dominio deltiempo
27、sigue tambin esta ley exponencial derivada de las ecuaciones (6) y (11).2y() = h2(2pi)26 + h12 loge2 + h012+ h11,038 + 3 loge(2pi fh)(2pi)22+ h23fh(2pi)22(17)Los valores de hson caractersticos de la inestabilidad de frecuencia del oscilador. Se puede sealar que, paravalores enteros (lo que, segn par
28、ece, es el caso ms frecuente), = 1 para 3 1 2 para 3 1donde:2y() Esas conversiones han sido verificadas experimentalmente as como por clculo. En el cuadro 2 figuran loscoeficientes de la conversin entre mediciones de estabilidad de frecuencia en el dominio del tiempo a mediciones en eldominio de la
29、frecuencia e inversamente.8 Rec. UIT-R TF.538-3CUADRO 2Conversin de medidas de estabilidad de frecuencia expresadas en densidades espectralesen el dominio de la frecuencia a su varianza en el dominio del tiempo y viceversa (para 2pi fh 1)Descripcin del proceso de ruido2y() =Sy( f ) = S( f ) = Sx( f
30、) =Ruido de frecuencia de marchaaleatoriaA f 2Sy( f ) 1 1A 12y() f 2 v20A 12y() f 43,636A 32x() f 4Ruido de centelleo de frecuenciaB f Sy( f ) 0 1B22y() f 1 v20B02y() f 30,741AB 22x() f 3Ruido blanco de frecuenciaC f 0Sy( f ) 1 1C22y() f 0 v20C12y() f 21AC12x() f 2Ruido de centelleo de faseD f 1Sy(
31、f ) 2 1D22y() f 1 v20D22y() f 10,89 0 2x() f 1Ruido blanco de faseE f 2Sy( f ) 2 1E22y() f 2 v20E22y() f 010fh 2x() f 0A = 4pi26D = 1,038 + 3 loge(2pi fh)4pi2B = 2 loge2E = 3 fh4pi2C = 1/2En la fig. 1 (escalas logartmicas para ambas coordenadas) se indican las caractersticas de pendiente de loscinco
32、 procesos de ruido independientes.5. Lmites de confianza de mediciones en el dominio del tiempoPara un ruido de tipo gaussiano, el intervalo de confianza (o lmite de error) de un valor determinado de y()obtenido a partir de un nmero finito de muestras, puede estimarse mediante la ecuacin siguiente:I
33、ntervalo de confianza I y() M1/2para M 10 (18)donde:M : nmero total de mediciones utilizadas en el clculo : definida en el punto anterior2=1= 0,990= 0,871= 0,772= 0,75.Rec. UIT-R TF.538-3 9Como ejemplo, para un modelo gaussiano con M = 100, = 1 (ruido de frecuencia de centelleo) yy( = 1 s) = 1012, p
34、uede expresarse:I y() M1/2= y() (0,77) (100)1/2= y() (0,077) (19)que da:y( = 1 s) = (1 0,08) 1012(20)Se ha definido tambin otro procedimiento de estimacin que incluye el establecimiento de un lmite entrepares de mediciones y que muestra la influencia de la autocorrelacin de las fluctuaciones de frec
35、uencias.Los intervalos de confianza mencionados se aplican a las estimaciones sin solape. En el caso de lasestimaciones con solape el intervalo de confianza es menor y puede calcularse.El desvo que resulta de la aplicacin de la varianza a dos muestras en intervalos de tiempo obtenidos porconcatenaci
36、n de varias mediciones sucesivas con tiempo muerto, se ha determinado en funcin del tipo de ruido. Estedesvo puede ser significativo.Se ha determinado el efecto de la naturaleza del filtrado analgico que limita la potencia de ruido de la sealestudiada en torno a su frecuencia nominal, en particular
37、en relacin con el empleo de un filtro paso bajo en lugar de unfiltro paso banda centrado en la frecuencia nominal.Se han calculado los grados de libertad (d.f.) para estimaciones con solape, derivados tericamente yrepresentados en espectros de ley exponencial para la estimacin del intervalo de confi
38、anza de la desviacin tpica dedos muestras. El intervalo de confianza para la desviacin tpica de dos muestras y() es:(d.f.) 2y()P1 y() (d.f.) 2y()P2(21)donde:P1y P2:valores de percentilos para la distribucin de 2el signo : varianza de dos muestras estimada o medida de un conjunto finito.Para = +2, la
39、 mejora de d.f. es aproximadamente n veces superior que la obtenida en la estimacin sinsolape. Tambin se obtiene una mejora significativa para = +1. Para = 0, la relacin de los grados de libertad es 2;para = 1 es 1,3 y para = 2 es 1,04.6. ConclusionesLos mtodos estadsticos para describir la inestabi
40、lidad de frecuencia y de fase y el correspondiente modelo dedensidad espectral de ley exponencial son suficientes para describir la inestabilidad a corto plazo de los osciladores. Lasecuaciones (14) a (16) muestran que la densidad espectral puede transformarse unvocamente en una medicin en eldominio
41、 del tiempo. La formulacin inversa no es cierta en todos los casos, aunque s lo es para los espectros de leyexponencial que se utilizan a menudo para establecer modelos de los osciladores de precisin.Las variaciones no aleatorias no estn cubiertas por el modelo descrito. Estas pueden ser peridicas omontonas. Las variaciones peridicas debern analizarse mediante mtodos conocidos de anlisis armnico. Lasvariaciones montonas se describen en trminos de derivas lineales o de orden superior._
