1、考研数学一（数理统计的基本概念）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 服从 F(3，4)分布，对给定的 (0 1)，数 F(3，4)满足PXF (3，4)=，若 PXx=1 一 ，则 x=（A）（B）（C） F(4， 3)（D）F 1 (4，3)2 设 X1，X 2，X 3，X 4 是来自正态总体 N(0，2 2)的简单随机样本，记 Y=a(X1 一2X2)2+b(3X34X4)2，其中 a，b 为常数已知 Y 2(n)，则（A）n 必为 2（B） n 必为 4（C） n 为 1 或 2（D）n 为 2 或 43 设 X1，
2、X 2，X n 是来自标准正态总体的简单随机样本， 和 S2 为样本均值和样本方差，则（A） 服从标准正态分布（B） 服从自由度为 n 一 1 的 2 分布（C） 服从标准正态分布（D）(n 一 1)S2 服从自由度为 n 一 1 的 2 分布4 设随机变量 X 服从 n 个自由度的 t 分布，定义 t 满足 PXt=1 一(01)若已知 PXx=b(b0)，则 x 等于（A）t 1b （B） （C） tb（D） 5 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本， 与 S2 分别是样本均值与样本方差则（A） 2(1)（B） 2(n 一 1)（C） t(n 一 1)（D
3、） F(n 一 1，1)6 假设两个正态分布总体 XN( 1，1)，YN( 2， 1)，X 1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 分别是取自总体 X 和 Y 的相互独立的简单随机样本 分别是其样本均值， 分别是其样本方差，则（A） 一( 1 一 2)N(0，1)（B） 2(m+n 一 2)（C） F(m 一 1，n 一 1)（D） t(m+n 2) 二、填空题7 设总体 XE()，则来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n 的联合概率密度 f(x1，x 2， ，x n)=_8 设总体 XP()，则来自总体 X 的简单随机样本 X1，X 2，X n 的样本均值 的概率分布为_9
4、已知 2 2(n)，则 E(2)=_10 已知 X1，X 2，X 3 相互独立且服从 N(0， 2)，则 服从的分布及参数为_11 已知(X，Y)的联合概率密度为 则 服从参数为_的_分布12 设总体 X 的密度函数 f(x)= ，S 2 分别为取自总体 X 容量为 n的样本的均值和方差，则 =_；ES 2=_13 假设 X1，X 2，X 16 是来自正态总体 N(， 2)的简单随机样本， 为其均值，S 为其标准差，如果 P +aS=095，则参数 a=_(t 005 (15)=17531)14 设 X1，X 2，X 9 是来自总体 X 一 N(，4)的简单随机样本，而 是样本均值，则满足 p
5、 =095 的常数 =_(1 96)=0 975)15 设总体 X 服从参数为 P 的 0-1 分布，则来自总体 X 的简单随机样本X1，X 2，X n 的概率分布为_16 假设总体 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X n 是取自总体 X 的简单随机样本，则统计量 Y1= 都服从 _分布，其分布参数分别为_和_17 设总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，而 X1，X 2，X 15 是取自总体 X 的简单随机样本，则 服从_分布，分布参数为_18 设总体 X 与 Y 独立且都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X m 与Y1，Y n 是分别来自总体 X 与 Y 的简单随机样本，统
6、计量 T=服从 t(n)分布，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 设 X1，X 2，X n 是来自标准正态总体 N(0，1)的简单随机样本，其均值和方差分别为 和 S2，记 T=X+S2试求：E(T)与 E(T2)的值20 已知总体 X 的数学期望 EX=，方差 DX=2，X 1，X 2，X 2n 是来自总体 X容量为 2n 的简单随机样本，样本均值为 ，统计量 Y= ，求EY21 已知总体 X 与 Y 相互独立且都服从标准正态分布，X 1，X 8 和 Y1，Y 9是分别来自总体 X 与 Y 的两个简单随机样本，其均值分别为，求证：T= 服从参数为 15 的 t 分
7、布22 设 X 与 Y 相互独立，且 XN(5，15)，Y 2(5)，求概率 Px 一 535 ；23 设总体 XN(25，6 2)，X 1，X 2，X 3，X 4，X 5 是来自 X 的简单随机样本，求概率 P(13 35)(63S 296) 24 设 X1，X 2，X n 是取自正态总体 X 的简单随机样本，EX=，DX=4，试分别求出满足下列各式的最小样本容量 n：()P 一010090；()D 010；()E 01025 设 X1，X 2，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值和方差分别为 与S2，且 XB(1，p)，0P1()试求： 的概率分布；(II) 证明：B 2=26
8、设正态总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n 为来自 X 的简单随机样本，求证：27 设 X1，X 2，X 10 是来自正态总体 XN(0，2 2)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使 Q=a +b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+d(X7+X8+X9+X10)2 服从 2 分布，并求自由度 m28 设总体 X 和 Y 相互独立，分别服从 N(， X 1，X 2，X m 和Y1，Y 2，Y n 是分别来自 X 和 Y 的简单随机样本，其样本均值分别为 样本方差分别为 ， 求 EZ29 已知 X1，X n 是来自总体 X 容量为 n 的简单随机样本，其均值和方差分别为与 S2
9、()如果 EX=，DX= 2，试证明：X i 一()如果总体 X 服从正态分布 N(0， 2)，试证明：协方差 Cov(X1，S 2)=030 设 XN(， 2)，从中抽取 16 个样本，S 2 为样本方差， 2 未知，求P 203931 设总体 XN(， 2)， X1，X 2，X n(n=16)是来自 X 的简单随机样本，求下列概率：32 设 都是来自正态总体 N(， 2)的容量为 n 的两个相互独立的样本均值，试确定 n，使得两个样本均值之差的绝对值超过 的概率大约为 001考研数学一（数理统计的基本概念）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
10、。1 【正确答案】 A【试题解析】 因 XF(3 ，4)，故 F(4 ，3)又 1 一 =PXx=PXx=P所以 因此选(A)【知识模块】 数理统计的基本概念2 【正确答案】 C【试题解析】 依题意 XiN(0 ，2 2)且相互独立，所以 X1 一 2X2N(0，20)，3X 34X4N(0 ，100)，故 N(0，1)且它们相互独立由 2分布的典型模式及性质知(1)当 a= 时，Y 2(2)；(2)当 a= ，b=0，或a=0，b= 时，Y 2(1)由上可知，n=1 或 2，即应选(C) 【知识模块】 数理统计的基本概念3 【正确答案】 D【试题解析】 显然，(n 一 1)S2 服从自由度为
11、 n 一 1 的 2 分布，故应选(D)其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，N(0，n)，由于 X1，X 2，X n 相互独立并且都服从标准正态分布，可见 服从自由度为 n 的 2 分布【知识模块】 数理统计的基本概念4 【正确答案】 D【试题解析】 根据 t 分布的对称性及 b0，可知 x0从而 PXx=1 一PXx=1 一 PX x=1 一 根据题设定义 PXt=1 一 ，可知x= 应选 (D)【知识模块】 数理统计的基本概念5 【正确答案】 D【试题解析】 根据正态总体抽样分布公式知应选(D)【知识模块】 数理统计的基本概念6 【正确答案】 C【试题解析】 因 相互独立，
12、所以 应选(C)【知识模块】 数理统计的基本概念二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率密度 f(x)= 由于 X1，X 2，X n 相互独立，且与总体 X 服从同一指数分布，因此 f(x1， x2，x n)=【知识模块】 数理统计的基本概念8 【正确答案】 【试题解析】 由泊松分布的可加性可知，当 X1， X2 独立时，X 1+X2P(2) ，继而有 X1，X 2，X n 独立同为 P()分布时， P(n)于是，对任意n2，n 的概率分布为【知识模块】 数理统计的基本概念9 【正确答案】 n【试题解析】 由 2 分布的典型模式 2=，而 XiN(0，1)，且 Xi 相互独立
13、，由于 E( )=D(Xi)+E(Xi)2=1+0=1，所以【知识模块】 数理统计的基本概念10 【正确答案】 t，【试题解析】 记 Y1=X2+X3，Y 2=X2 一 X3，则 Y1(0，2 2)，Y 2N(0 ，2 2)由于 Cov(Y1，Y 2)=E(Y1Y2)一 E(Y1)E(Y2)=E(X2+X3)(X2 一 X3)= =2一 2=0所以 Y1 与 Y2 相互独立，且与 X1 独立又由X1+X2+X3=X1+y1N(0， 32)，可知 2(1)，且 X1+X2+X3 与 X2X 3 相互独立，于是按 t 分布定义有【知识模块】 数理统计的基本概念11 【正确答案】 F【试题解析】 由
14、题设知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故 XN(0，2 2)，YN(1 ，3 2)，X 与 Y 相关系数 =0，所以 X 与 Y 独立， N(0，1)，根据 F 分布典型模式知【知识模块】 数理统计的基本概念12 【正确答案】 0 【试题解析】 由于 ，ES 2=DX，由题设有所以【知识模块】 数理统计的基本概念13 【正确答案】 04383【试题解析】 由于总体 XN(， 2)，故与 S2 独立，由 t 分布典型模式得：t=t(15)，所以由此知 4a 为t(15)分布上 095 分位数，即 4a=t095 (15)=t 1095 (15)=t 005 (15)=1 7531，a= 0
15、4383【知识模块】 数理统计的基本概念14 【正确答案】 13067【试题解析】 由条件知， 一 )N(0，1)，从而【知识模块】 数理统计的基本概念15 【正确答案】 【试题解析】 总体 X 的概率分布为 ，此概率分布也可以表示为于是样本 X1，X 2，X n 的概率分布为如果记 ，则样本 X1，X 2，X n 的概率分布为【知识模块】 数理统计的基本概念16 【正确答案】 t 2 n 一 1【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n 相互独立同服从分布N(0，1)，所以 X1X 2 与 也相互独立，且有即 Y1与 Y2 都服从 t 分布，分布参数分别为 2 和 n 一
16、1【知识模块】 数理统计的基本概念17 【正确答案】 F (10，5)【试题解析】 根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X 15 相互独立且都服从分布N(0， 2)，所以 + N(0 ，1)，因此【知识模块】 数理统计的基本概念18 【正确答案】 【试题解析】 依题意 XiN(0 ， 2)，Y iN(0， 2)且相互独立，所以U 与 V 相互独立，由 t 分布典型模式知 根据题设【知识模块】 数理统计的基本概念三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由正态总体的性质知， 与 S2 相互独立；由样本数字特征的性质知，E =E(X)=0， E(S2)=D(X)=1
17、；由正态总体的样本方差的分布知，(n 一 1)S2 2(n1)；由 2 分布的性质知，D 2(n 一 1)=2(n 一 1)，从而D(n 一 1)S2=(n 一 1)2D(S2)=2(n 一 1)，即 D(S2)= 于是【知识模块】 数理统计的基本概念20 【正确答案】 由于总体分布未知，我们只好将 y 化简，应用数字特征性质计算EY由于=2n2+2n2+2n2224n2=2(n 一 1)2【知识模块】 数理统计的基本概念21 【正确答案】 应用 t 分布的典型模式证明已知 XiN(0 ，1)，Y iN(0 ，1)且相互独立，因此样本均值2(7)，8 2(8)，由于 Xi 与 Yi 相互独立，
18、独立，根据 2 分布性质(可加性)知 Q=Q 相互独立，根据 t 分布典型模式有【知识模块】 数理统计的基本概念22 【正确答案】 PX 一 535=Pt(5)202=0 05(因N(0 ，1) ，Y 2(5)且两者独立)【知识模块】 数理统计的基本概念23 【正确答案】 因 与 S2 相互独立，故有=P2(4)07一 P24)1067=0 95090=005于是所求概率为P=03179005=00159 【知识模块】 数理统计的基本概念24 【正确答案】 依题意，XN(，4)， N(0 ，1) ()P 一 1090，即 (0 05)095查标准正态分布函数表可得 005 165， n1089
19、()解不等式01， n40()令 U= 易见 UN(0，1)，于是【知识模块】 数理统计的基本概念25 【正确答案】 () 由于 XB(1，p)，故 X 的概率分布为B(n，p)于是其中，因为Xi 取值 0 或 1，故 =X【知识模块】 数理统计的基本概念26 【正确答案】 根据简单随机样本的性质，X 1， X2，X n 相互独立与 X 同分布且 与 S2 相互独立，于是又因 X 2(n一 1)，且 W 与 S2 相互独立，所以【知识模块】 数理统计的基本概念27 【正确答案】 由于 Xi 独立同分布，则有 X1N(0 ，4)，X 2+X3N(0 ，8)，X4+X5+X6N(0，12)，X 7
20、+X8+X9+X10N(0，16) 于是(X7+X8+X9+X10)相互独立都服从标准正态分布 N(0，1)由 2 分布的典型模式可知所以，当 a= 时，Q 服从自由度为 4 的 2 分布【知识模块】 数理统计的基本概念28 【正确答案】 由于与 也相互独立因此 E( =于是=(E+E)=E(+)=【知识模块】 数理统计的基本概念29 【正确答案】 () 由于总体分布未知，因此只能应用定义与性质证明因为X1，X n 相互独立且与总体 X 同分布，故 EXi=，DX i=2，所以()由于总体 XN(0 ， 2)，故EXi=0，DX i=2又 S 2= ，所以故 Cov(X 1，S 2)=0【知识模块】 数理统计的基本概念30 【正确答案】 由于 2(15)，所以查 2 分布的上分位数表，得知 P2(15)3058=0 01，因此 P 30585)=0 99，即 P 2039)=099 【知识模块】 数理统计的基本概念31 【正确答案】 【知识模块】 数理统计的基本概念32 【正确答案】 由于 相互独立，则依题意查标准正态分布表，得=258， n=133因此 n 至少应为 14【知识模块】 数理统计的基本概念
