1、1题型五 几何图形探究题类型一 几何图形静态探究1(2017成都)问题背景：如图，等腰ABC 中，ABAC，BAC120，作ADBC 于点 D，则 D 为 BC 的中点，BAD BAC60，于是 ；12 BCAB 2BDAB 3迁移应用：如图，ABC 和ADE 都是等腰三角形，BACDAE120，D，E，C 三点在同一条直线上，连接 BD.求证：ADBAEC；请直接写出线段 AD，BD，CD 之间的等量关系式；拓展延伸：如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，在ABC 内作射线 BM，作点 C 关于 BM 的对称点 E，连接 AE 并延长交 BM 于点 F，连接 CE，CF.证明CEF 是等
2、边三角形；若 AE5，CE2，求 BF 的长. 2(2017许昌模拟)在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，动点 P 在线段 BC上(不含点 B)，BPE ACB，PE 交 BO 于点 E，过点 B 作 BFPE，垂足为 F，交 AC 于点12G.(1)当点 P 与点 C 重合时(如图)，求证：BOGPOE；(2)通过观察、测量、猜想： _，并结合图证明你的猜想；BFPE2(3)把正方形 ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图)，若ACB，求 的值(用BFPE含 的式子表示) 3(2014河南)(1)问题发现如图，ACB 和DCE 均为等边三角形，点 A，D，E 在同一直线上
3、，连接 BE.填空：AEB 的度数为_；线段 AD，BE 之间的数量关系为_(2) 拓展探究如图，ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点 A，D，E 在同一直线上，CM 为DCE 中 DE 边上的高，连接 BE，请判断AEB 的度数及线段 CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由(3)解决问题如图，在正方形 ABCD 中，CD ，若点 P 满足 PD1，且BPD90，请直接写2出点 A 到 BP 的距离. 34(2017长春改编)【再现】如图，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，可以得到：DEBC，且 DE BC.(不需要证明)12【探究】如图，在四边形
4、 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，判断四边形 EFGH 的形状，并加以证明；【应用】(1)在【探究】的条件下，四边形 ABCD 中，满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？你添加的条件是：_.(只添加一个条件)(2)如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，对角线 AC，BD 相交于点 O.若 AOOC，四边形 ABCD 面积为 5，求阴影部分图形的面积. 45(2016新乡模拟)问题背景：已知在ABC 中，AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与A，B 不重合)，同时，点 E 由点 C 沿 BC
5、 的延长线方向运动(E 不与 C 重合)，连接 DE 交 AC于点 F，点 H 是线段 AF 上一点，求 的值ACHF(1)初步尝试如图，若ABC 是等边三角形，DHAC，且 D，E 的运动速度相等，小王同学发现可以过点 D 做 DGBC，交 AC 于点 G，先证 GHAH.再证 GFCF，从而求得 的值为ACHF_；(2)类比探究如图，若在ABC 中，ABC90，ADHBAC30，且点 D，E 的运动速度之比是 1，求 的值；3ACHF(3)延伸拓展如图，若在ABC 中，ABAC，ADHBAC36，记 m，且点 D，E 的运动BCAC速度相等，试用含 m 的代数式表示 的值(直接写出结果，不
6、必写解答过程) .ACHF5类型二 几何图形动态探究1(2015河南)如图，在 RtABC 中，B90，BC2AB8，点 D、E 分别是边BC、AC 的中点，连接 DE，将EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 .(1)问题发现当 0时， _；当 180时， _；AEBD AEBD(2)拓展探究试判断：当 0360时， 的大小有无变化？请仅就图的情形给出证明AEBD(3)问题解决当EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长 2已知，点 O 是等边ABC 内的任一点，连接 OA，OB，OC.(1)如图，已知AOB150，BOC120，将BOC 绕点 C 按顺时针方向
7、旋转60得ADC.DAO 的度数是_；用等式表示线段 OA，OB，OC 之间的数量关系，并证明；(2)设AOB，BOC.当 ， 满足什么关系时，OAOBOC 有最小值？请在图中画出符合条件的图形，并说明理由；若等边ABC 的边长为 1，直接写出 OAOBOC 的最小值. 63(2013 河南)如图，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中C90，BE30.(1)操作发现如图，固定ABC，使DCE 绕点 C 旋转当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是_；设BDC 的面积为 S1，AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是_；(2) 猜想论证当DEC
8、 绕点 C 旋转到图所示的位置时，小明猜想(1)中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC、CE 边上的高，请你证明小明的猜想；(3) 拓展探究已知ABC60，点 D 是其角平分线上一点，BDCD4，DEAB 交 BC 于点E(如图)，若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF S BDC ，请直接写出相应的 BF 的长. 74(2017郑州模拟)【问题情境】数学课上，李老师提出了如下问题：在ABC 中，ABCACB，点 D 是 AB 边上任意一点，将射线 DC 绕点 D 逆时针旋转 与过点 A 且平行于 BC 边的直线交于点 E.请判断线段 BD 与 AE
9、 之间的数量关系小颖在小组合作交流中，发表自己的意见：“我们不妨从特殊情况下获得解决问题的思路，然后类比到一般情况 ”小颖的想法获得了其他成员一致的赞成【问题解决】(1)如图，当 60时，判断 BD 与 AE 之间的数量关系；解法如下：过 D 点作 AC 的平行线交 BC 于 F，构造全等三角形，通过推理使问题得到解决，请你直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系：_.【类比探究】(2)如图，当 45时，请判断线段 BD 与 AE 之间的数量关系，并进行证明；(3)如图，当 为任意锐角时，请直接写出线段 BD 与 AE 之间的数量关系：_.(用含 的式子表示，其中 090) 5(2017烟
10、台)【操作发现】(1)如图，ABC 为等边三角形，现将三角板中的 60角与ACB 重合，再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转(旋转角大于 0且小于 30)，旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板斜边上取一点 F，使 CFCD，线段 AB 上取点 E，使DCE30，连接AF，EF.求EAF 的度数；DE 与 EF 相等吗？请说明理由；【类比探究】(2)如图，ABC 为等腰直角三角形，ACB90，先将三角板的 90角与ACB重合，再将三角板绕点 C 按顺时针方向旋转(旋转角大于 0且小于 45)，旋转后三角板的一直角边与 AB 交于点 D，在三角板另一直角边上取一点 F，使 CFCD
11、，线段 AB 上取点E，使DCE45，连接 AF，EF，请直接写出探究结果：求EAF 的度数；线段 AE，ED，DB 之间的数量关系 8题型五 第 22 题几何图形探究题类型一 几何图形静态探究1迁移应用：证明：BACDAE120，DABCAE，在DAB 和EAC 中， ，DABEAC; DA EA DAB EACAB AC ),图)解：结论：CD ADBD.3理由：如解图，作 AHCD 于 H.DABEAC，BDCE，在 RtADH 中，DHAD cos30 AD，32ADAE，AHDE，DHHE，CDDEEC2DHBD ADBD；3拓展延伸：证明：如解图，作 BHAE 于 H，连接 BE.
12、四边形 ABCD 是菱形，ABC120，ABD，BDC 是等边三角形，BABDBC，E、C 关于 BM 对称，BCBEBDBA，FEFC，A、D、E、C 四点共圆，ADCAEC120，FEC60，EFC 是等边三角形，解：AE5，ECEF2，AHHE2.5，FH4.5，在 RtBHF 中，BFH30， cos30，BF 3 . HFBF 4.532 32(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，P 与 C 重合，OBOP，BOCBOG90，PFBG，PFB90，GBO90BGO，EPO90BGO，GBOEPO，在BOG 和POE 中， ，BOGPOE( ASA)； GBO EPOOB OP BO
13、G POE)9(2)解：猜想 .BFPE 12证明：如解图，过 P 作 PMAC 交 BG 于 M，交 BO 于 N，PNEBOC90，BPNOCB.OBCOCB45，NBPNPB，NBNP.MBN90BMN，NPE90BMN，MBNNPE，在BMN 和PEN 中， ， MBN NPENB NP MNB PNE)BMNPEN( ASA)，BMPE.BPE ACB，BPNACB，BPFMPF.12PFBM，BFPMFP90.在BPF 和MPF 中，BPFMPF( ASA). BPF MPEPF PF PFB PFM)BFMF. 即 BF BM.BF PE.即 ；12 12 BFPE 12(3)解
14、：如解图，过 P 作 PMAC 交 BG 于点 M，交 BO 于点 N，BPNACB，PNEBOC90.由(2)同理可得 BF BM，MBNEPN，12BMNPEN， .BMPE BNPN在 RtBNP 中， tan ，BNPN tan，即 tan， . BMPE 2BFPE BFPE tan23解：(1)ACB 和DCE 均为等边三角形，CACB，CDCE，ACBDCE60，ACDBCE.在ACD 和BCE 中，AC BC ACD BCECD CE )ACDBCE( SAS)ADCBEC.DCE 为等边三角形，CDECED60.点 A，D，E 在同一直线上，ADC120，BEC120，10A
15、EBBECCED60；ADBE；(2)AEB90，AEBE2CM.理由：ACB 和DCE 均为等腰直角三角形，CACB，CDCE，ACBDCE90.ACDBCE.在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCECD CE )ACDBCE( SAS)ADBE，ADCBEC.DCE 为等腰直角三角形，CDECED45.点 A，D，E 在同一直线上，ADC135，BEC135，AEBBECCED90.CDCE，CMDE，DMME.DCE90，DMMECM，AEADDEBE2CM；(3)点 A 到 BP 的距离为 或 .3 12 3 12理由如下：PD1，点 P 在以点 D 为圆心，1 为半径的圆上
16、BPD90，点 P 在以 BD 为直径的圆上点 P 是这两圆的交点当点 P 在如解图所示位置时，连接 PD、PB、PA，作 AHBP，垂足为 H，过点 A 作 AEAP，交 BP 于点 E，四边形 ABCD 是正方形，ADB45.ABADDCBC ，BAD90.BD2.2DP1，BP .3BPDBAD90，A、P、D、B 在以 BD 为直径的圆上，APBADB45.PAE 是等腰直角三角形又BAD 是等腰直角三角形，点 B、E、P 共线，AHBP，由(2)中的结论可得：BP2AHPD. 2AH1.AH ；33 12当点 P 在如解图所示位置时，连接 PD、PB、PA，作 AHBP，垂足为 H，
17、过点 A 作 AEAP，交 PB 的延长线于点 E，同理可得：BP2AHPD. 2AH1.AH .33 1211综上所述：点 A 到 BP 的距离为 或 . 3 12 3 124解：【探究】平行四边形理由：如解图，连接 AC，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，EFAC，EF AC，12同理 HGAC，HG AC，12综上可得：EFHG，EFHG，故四边形 EFGH 是平行四边形【应用】(1)添加 ACBD，理由：连接 AC，BD，同(1)知，EF AC，12同【探究】的方法得，FG BD，12ACBD，EFFG，四边形 EFGH 是平行四边形，EFGH 是菱形；(2)如解图，由【探究
18、】得，四边形 EFGH 是平行四边形，F，G 是 BC，CD 的中点，FGBD，FG BD，CFGCBD， ，S BCD 4S CFG ，12 S CFGS BCD 14同理：S ABD 4S AEH ，四边形 ABCD 面积为 5，S BCD S ABD 5，S CFG S AEH ，同理：S DHG S 54BEF ，54S 四边形 EFGHS 四边形 ABCD(S CFG S AEH S DHG S BEF )5 ，52 52设 AC 与 FG，EH 相交于 M，N，EF 与 BD 相交于 P，FGBD，FG BD，CMOM OC，同理：ANON OA，12 12 12OAOC，OMON
19、，易知，四边形 ENOP，FMOP 是平行四边形，S EPONS FMOP，S 阴影 S 四边形 EFGH . 12 545解：(1)ABC 是等边三角形，AGD 是等边三角形，ADGD，由题意知：CEAD，CEGD，DGBC，GDFCEF，12在GDF 与CEF 中， GDF CEF GFD EFC，GD CE )GDFCEF( AAS)，CFGF，DHAG，AHGH，ACAGCG2GH2GF2(GHGF)2HF， 2；ACHF(2)如解图，过点 D 作 DGBC 交 AC 于点 G，则ADGABC90.BACADH30，AHDH，GHDBACADH60，HDGADGADH60，DGH 为等
20、边三角形GDGHDHAH，ADGD tan60 GD.3由题意可知，AD CE.GDCE.3DGBC，GDFCEF.在GDF 与CEF 中， ， GDF CEF GFD EFCCE GD )GDFCEF( AAS)，GFCF.GHGFAHCF，即 HFAHCF，HF AC，即 2；12 ACHF(3) .理由如下：ACHF m 1m如解图，过点 D 作 DGBC 交 AC 于点 G，易得 ADAG，ADEC，AGDACB.在ABC 中，BACADH36，ABAC，AHDH，ACBB72，GHDHADADH72.AGDGHD72，GHDBHGDACB，ABCDGH. m，GHmDHmAH.GHD
21、H BCAC由ADGABC 可得 m.DGAD BCAB BCACDGBC， m.FGmFC.FGFC GDECGHFGm(AHFC)m(ACHF)，即 HFm(ACHF) . ACHF m 1m类型二 几何图形动态探究1解：(1)当 0时，13 RtABC 中，B90，AC 4 ，AB2 BC2 （ 82） 2 82 5点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，AE4 22 ，BD824， .5 5AEBD 254 52如解图，当 180时，可得 ABDE， ， ；ACAE BCBD AEBD ACBC 458 52(2)当 0360时， 的大小没有变化，AEBDECDACB，ECADCB，
22、又 ，ECDC ACBC 52ECADCB， ；AEBD ECDC 52(3)当 D 在 AE 上时，如解图，AC4 ，CD4，CDAD，5AD 8，AC2 CD2 （ 45） 2 42 80 16ADBC，ABDC，B90，四边形 ABCD 是矩形，BDAC4 ；5当 D 在 AE 延长线上时，如解图，连接 BD，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 Q，过点B 作 AC 的垂线交 AC 于点 P，AC4 ，CD4，CDAD，5AD 8，AC2 CD2 （ 45） 2 42 80 16原图中点 D、E 分别是边 BC、AC 的中点，DE AB (82) 42，AEADDE826，由(2)
23、可得12 12 12 ， BD .AEBD 52 652 1255综上所述，BD 的长为 4 或 . 512552解：(1)AOB150，BOC120，AOC90，由旋转的性质可知，OCD60，ADCBOC120，DAO360609012090；线段 OA，OB，OC 之间的数量关系是 OA2OB 2OC 2.14如解图，连接 OD.BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得ADC，ADCBOC，OCD60.CDOC，OCD 是等边三角形，OCODCD，CODCDO60，AOB150，BOC120，AOC90，AOD30，ADO60.DAO90.在 RtADO 中，DAO90，OA 2AD 2
24、OD 2，OA 2OB 2OC 2；(2)当 120时，OAOBOC 有最小值作图如解图，将AOC 绕点 C 按顺时针方向旋转 60得AOC，连接 OO.AOCAOC，OCOACA60.OCOC，OAOA，ACAC，AOCAOC.OCO是等边三角形OCOCOO，COOCOO60.AOBBOC120，AOCAOC120.BOOOOA180.B，O，O，A四点共线OAOBOCOAOBOOBA时值最小；当等边ABC 的边长为 1 时，OAOBOC 的最小值为 AB . 33解：(1)DEC 绕点 C 旋转使点 D 恰好落在 AB 边上，ACCD，BAC90B903060，ACD 是等边三角形，ACD
25、60，又CDEBAC60，ACDCDE，DEAC；B30，C90，CDAC AB，12BDADAC，根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC、AD 上的高相等，BDC 的面积和AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即 S1S 2；(2)DEC 是由ABC 绕点 C 旋转得到，BCCE，ACCD，ACNBCN90，DCMBCN1809090，15ACNDCM，在ACN 和DCM 中， ， ACN DCM CMD N 90AC DC )ACNDCM( AAS)，ANDM，BDC 的面积和AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即 S1S 2；(3)如解图，过点 D 作 DF1
26、BE，易求四边形 BEDF1是菱形，BEDF 1，且 BE、DF 1上的高相等，此时 SDCF 1S BDE ；过点 D 作 DF2BD，ABC60，F 1DBE，F 2F1DABC60，BF 1DF 1，F 1BD ABC30，F 2DB90，F 1DF2ABC60，12DF 1F2是等边三角形，DF 1DF 2，BDCD，ABC60，点 D 是角平分线上一点，DBCDCB 6030，12CDF 1180BCD18030150，CDF 236015060150，CDF 1CDF 2，在CDF 1和CDF 2中， ，DF1 DF2 CDF1 CDF2CD CD )CDF 1CDF 2(SAS)
27、，点 F2也是所求的点，ABC60，点 D 是角平分线上一点，DEAB，DBCBDEABD 6030，12又BD4，BEED 4cos302 ，12 32 433BF 1 ，BF 2BF 1F 1F2 ，433 433 433 833故 BF 的长为 或 . 433 8334解：(1)当 60时，ABC、DCE 是等边三角形，ECDC，ACBC，ACBDCE60，ACBACDDCEACD，即BCDACE，在BDC 和AEC 中， ，EC DC BCD ACEAC BC )BDCAEC( SAS)，BDAE；(2)BD AE；2理由如下：如解图，过点 D 作 DFAC，交 BC 于 F.DFAC
28、，ACBDFB.ABCACB，45，ABCACBDFB45.16DFB 是等腰直角三角形BDDF BF.22AEBC，ABCBAE180.DFBDFC180，BAEDFC.ABCBCDADC，ABCCDE，ADEBCD.ADEFCD. .AEFD ADFCDFAC， . .BD AE.BDBF ADCF AEBD BDBF 22 2(3)补全图形如解图，AEBC，EACACB，EACEDC，A、D、C、E 四点共圆，ADEACE，ADEEDCADCABCBCD，ABCEDC，ADEBCD，ACEBCD，ABCEAC，BDCAEC， ，BDAE BCAC又 2 cos，BD2 cosAE. BC
29、AC5解：(1)ABC 是等边三角形，ACBC，BACB60，DCF60，ACFBCD，在ACF 和BCD 中， ，ACFBCD( SAS)，AC BC ACF BCDCF CD )CAFB60，EAFBACCAF120；相等；理由如下：DCF60，DCE30，FCE603030，DCEFCE，在DCE 和FCE 中， ，CD CF DCE FCECE CE )DCEFCE( SAS)，DEEF；(2)ABC 是等腰直角三角形，ACB90，ACBC，BACB45，DCF90，ACFBCD，在ACF 和BCD 中， ，AC BC ACF BCDCF CD )ACFBCD( SAS)，CAFB45，AFBD，EAFBACCAF90；AE 2DB 2DE 2；理由如下：17DCF90，DCE45，FCE904545，DCEFCE，在DCE 和FCE 中， ，CD CF DCE FCECE CE )DCEFCE( SAS)，DEEF，在 RtAEF 中，AE 2AF 2EF 2，又AFDB，AE 2DB 2DE 2.
