1、1专题 33 电磁感应中的“双杆”模型一、电磁感应中的“ 双杆”模型1模型分类双杆类题目可分为两种情况：一类是“一动一静” ，即“假双杆” ，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题，不过要注意问题包含着一个条件：甲杆静止，受力平衡。另一种情况是两杆都在运动，对于这种情况，要注意两杆切割磁感线产生的感应电动势是相加还是相减。2分析方法通过 受力分析，确定运动状态，一般会有收尾状态。对于收尾状态则有恒定的速度或者加速度等，再结合运动学规律、牛顿运动定律和能量观点分析求解。题型一、一杆静止，一杆运动【题 1】如图所示，电阻不计的平行金属导轨固定在一绝缘斜面上，两相同的金属导体棒 a、 b 垂直于导
2、轨静止放置，且与导轨接触良好，匀强磁场垂直穿过导轨平面。现用一平行于导轨的恒力 F 作用在 a 的中点，使其向上运动。若 b 始终保持静止，则它所受摩擦力可能A变为 0 B先减小后不变C等于 F D先增大再减小【答案】AB【题 2】如图所示，两条平行的金属导轨相距 L1 m，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为 37，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中。金属棒 MN 和 PQ 的质量均为 m0.2 kg，电阻分别为 RMN1 和RPQ2 。 MN 置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩 擦因数 0.5， PQ 置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好。从 t0 时刻起， MN 棒在水平
3、外力 F1的作用下由静止开始以 a1 m/s22的加速度向右做匀加速直线运动， PQ 则在平行于斜面方向的力 F2作用下保持静止状态。 t3 s 时， PQ 棒消耗的电功率为 8 W，不计导轨的电阻，水平导轨足够长， MN 始终在水平导轨上运动。求：: （1）磁感应强度 B 的大小；（2） t03 s 时间内通过 MN 棒的电荷量； （3）求 t6 s 时 F2的大小和方向；（4）若改变 F1的作用规律，使 MN 棒的运动速度 v 与位移 x 满足关系： v0.4 x， PQ 棒仍然静止在倾斜轨道上。求 MN 棒从静止开始到 x5 m 的过程中，系统产生的热量。【答案】 （1）2 T （2）3
4、 C （3）5.2 N 方向沿斜面向下 （4） J203（2） q tE t ERMN RPQ RMN RPQ代入数据可得： q3 C（3）当 t6 s 时，设 MN 的速度为 v2，则 v2 at6 m/sE2 BLv212 V I2 4 A F 安 BI2L8 NE2RMN RPQ规定沿斜面向上为正方向，对 PQ 进行受力分析可得： F2 F 安 cos 37 mgsin 37代入数据得： F25.2 N（负号说明力的方向沿斜面向下）（4） MN 棒做变加速直线运动，当 x5 m 时， v0.4 x0.45 m/s2 m/s因 为速度 v 与位移 x 成正比，所以电流 I、安培力也与位移
5、x 成正比，安培力做功 W 安 BL x J12 BLvRMN RPQ 203Q W 安 J。 203【题 6】如图所示，光滑平行的金属导轨宽度为 L，与水平方向成 角倾斜固定，导轨之间充满了垂直于导轨平面的足够大的匀强磁场，磁感应强度为 B，在导轨上垂直导轨放置着质量均为 m、电阻均为 R的金属棒 a、 b，二者都被垂直于导轨的挡板挡住保持静止，金属导轨电阻不计，现对 b 棒施加一垂直于棒3且平行于导轨平面向上的牵引力 F，并在极短的时间内将牵引力的功率从 零调为恒定的 P。为了使 a 棒沿导轨向上运动， P 的取值可能为（重力加速度为 g）A B C D 【答案】CD 题型三、不在同一直线
6、上【题 7】如图所示，两根质量同为 m、电阻同为 R、长度同为 l 的导体棒，用两条等长的、质量和电阻均可忽略的长直导线连接后，放在距地面足够高的光滑绝缘水平桌面上，两根导体棒均与桌边缘平行，一根在桌面上。另一根移动到靠在桌子的光滑绝缘侧面上。整个空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度为 B。开始时两棒静止，自由释放后开始运动。已知两条导线除桌边缘拐弯处外其余部位均处于伸直状态，导线与桌子侧棱间无摩擦。求：（1）刚释放时，导体棒的加速度大小；（2）导体棒运动稳定时的速度大小；（3）若从开始下滑到刚稳定时通过横截面的电荷量为 q。求该过程中系统 产生的焦耳热。【答案】 （1） g （2） （3）
7、 12 2mgRB2l2 2mgqRBl 4m3g2R2B4l4【解析】 （1）刚释放时，设细线中拉力为 FT对 a 棒： mg FT ma对 b 棒： FT ma4解得： a g12（2）导体棒运动稳定时，设细线中拉力为 FT对 b 棒： FT0对 a 棒： mg F 安又 F 安 BIlB2l2v2R解得： v2mgRB2l2（3）从开始下滑到刚稳定，设 a 棒下降的高度为 h则通过横截面的电荷量 q I t 2R Blh2R由能量守恒定律得：系统产生的焦耳热 Q mgh 2mv212解得： Q 。 2mgqRBl 4m3g2R2B4l4【题 8】 （多选）如图所示，水平传送带带动两金属杆
8、匀速向右运动，传送带右 侧与两光滑平行金属导轨平滑连接，导轨与水平面间夹角为 30，两虚线 EF、 GH 之间有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为 B，磁场宽度为 L，两金属杆的长度和两导轨的间距均为 d，两金属杆 a、 b 的质量均为 m，两杆与导轨接触良好。当金属杆 a 进入磁场后恰好做匀速直线运动，当金属杆 a 离开磁场时，金属杆 b 恰好进入磁场，则A金属杆 b 进入磁场后做加速运动B金属杆 b 进入磁场后做匀速运动C两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgL2D两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为 mgL【答案】BDB 项正确；两杆穿过磁场的过程中都做匀速运动，
9、根据能量守恒定律得，回路中产生的总热量为5Q2 mgsin 30L mgL，故 C 项错误，D 项正确。二、电磁感 应中“闭合线框”模型闭合线框从不同高度穿越磁场时，可能做匀速直线运动、加速运动、减速运动，或先后多种运动形式交替出现。线框进入磁场和离开磁场的过程和单杆的运动情况相同，在磁场中运动的过程与双杆的运动情况相同。解决此类问题的三种思路：1运动分析：分析线圈进磁场时安培力与重力的大小关系，判断其运动性质。2过程分析：分阶段（进磁场前、进入过程、在磁场内、出磁场过程）分析。3功能关系分析：必要时利用功能关系列方程求解。题型一、竖直面内的“闭合线框”【题 9】如图甲所示，在竖直方向上有四条
10、间距相等的水平虚线 L1、 L2、 L3、 L4，在 L1L2之间、 L3L4之间存在匀强磁场，大小均为 1 T，方向垂直于虚线所在平面。现有一矩形线圈 abcd，宽度 cd L0.5 m，质量为 0.1 kg，电阻为 2 ，将其从图示位置静止释放（ cd 边与 L1重合） ，速度随时间的变化关系如图乙所示， t1时刻 cd 边与 L2重合， t2时刻 ab 边与 L3重合， t3时刻 ab 边与 L4重合，已知 t1 t2的时间间隔为 0.6 s，整个运动过程中线圈平面始终处于竖直方向。 （重力加速度 g 取 10 m/s2）则A在 0 t1时间内，通过线圈的电荷量为 0.25 C B线圈匀
11、速运动的速度大小为 8 m/sC线圈的长度为 1 mD0 t3时间内，线圈产生的热量为 4.2 J【答案】AB6得： Q mg5d mv 1.8 J，选项 D 错误.0 t1时间内，通过线圈的电荷量为 q 0.25 C，12 2 R BdLR选项 A 正确。【题 10】 （多选）如图所示，边长为 L、电阻不计的 n 匝正方形金属线框位于竖直平面内，连 接的小灯泡的额定功率、额定电压分别为 P、 U，线框及小灯泡的总质量为 m，在线框的下方有一匀强磁场区域，区域宽度为 l，磁感应强度方向与线框平面垂直，其上、下边界与线框底边均水平。线框从图示位置开始静止下落，穿越磁场的过程中，小灯泡始终正常发光
12、。则A有界磁场宽度 lL B磁场的磁感应强度应为 mgUnPLC线框匀速穿越磁场，速度恒为PmgD线框穿越磁场的过程中，灯泡产生的焦耳热为 mgL【答案】BC 【题 11】如图所示，水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个闭合线圈、分别用同种导线绕制而成，其中为边长为 L 的正方形， 是长 2L、宽为 L 的矩形，将两个线圈同时从图示位置由静止释放。线圈下边进入磁场时，立即做了一段时间的匀速运动，已知两线圈在整个下落过程中，下边始终平行于磁场上边界，不计空气阻力，则7A下边进入磁场时，也立即做匀速运动B从下边进入磁场开始的一段时间内，线圈做加速度不断减小的加速运动C从下边进入磁场
13、开始的一段时间内，线圈做加速度不断减小的减速运动D线圈先到达地面【答案】C 题型二、水平面内的“闭合线框”【题 12】如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框 abcd， ab 边长大于 bc 边长，置于垂直纸面向里、边界为 MN 的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于 MN.第一次ab 边平行 MN 进入磁场，线框上产生的热量为 Q1，通过线框导体横截面的电荷量为 q1；第二次 bc 边平行MN 进入磁场，线框上产生的热量为 Q2，通过线框导体横截面的电荷量为 q2，则A Q1 Q2， q1 q2 B Q1 Q2， q1 q2C Q1 Q2， q1 q2 D Q
14、1 Q2， q1 q2【答案】A【解析】由法拉第电磁感应定律得： E tI q I tER8由得： q R所以 q1 q2由 Q| W 安 | BIlx 得 Q1 lbc， Q2 labB2l2abvR B2l2bcvR又因 lab lbc所以 Q1 Q2，所以选项 A 正确。【题 13】如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合金属线框 abcd，其边长为 l、质量为 m，金属线框与水平面的动摩擦因数为 ，虚线框 a b c d内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的 ab 边与磁场的 d c边重合。现使金属线框以初速度 v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的
15、 dc 边与磁场区域的 d c边距离为 l。在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为A mv mgl B mv mgl12 20 12 20C mv 2 mgl D mv 2 mgl12 20 12 20【答案】D【题 14】如右图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框 abcd，其边长为 l，质量为 m，金属线框与水平面的动摩擦因数为 。虚线框 a b c d内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的 ab 边与磁场的 d c边重合。现使金属线框以初速度 v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的 dc 边与磁场区域的 d c边距离为 l。在这个过程中，金属线框产生
16、的焦耳热为9A mv mgl B mv mgl12 20 12 20C mv 2 mgl D mv 2 mgl12 20 12 20【答案】D题型三、斜面内的“闭合线框”【题 15】 （多选）在倾角为 足够长的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等的匀强磁场，磁场方向一个垂直斜面向上，另一个垂直斜面向下，宽度均为 L，如图所示。一个质量为 m、电阻为 R、边长也为 L 的正方形线框，在 t0 时刻以速度 v0进入磁场，恰好做匀速直线运动，若经过时间 t0，线框 ab 边到达 gg与 ff中间位置时，线框又恰好做匀速运动，则下列说法正确的是A当 ab 边刚越过 ff时，线框加速度的大小为 gs
17、in B t0时刻线框匀速运动的速度为v04C t0时间内线框中产生的焦耳热为 mgLsin mv32 1532 20D离开磁场的过程中线框将做匀速直线运动【答案】BC 【解析】当 ab 边进入磁场时，有 E BLv0， I ， mgsin BIL，有 mgsin .当 ab 边刚ER B2L2v0R越过 ff时，线框的感应电动势和电流均加倍，则线框做减速运动，有 4 mgsin ，加速度向4B2L2 v0R上大小为 3gsin ，A 错误； t0时刻线框匀速运动的速度为 v，则有 mgsin ，解得 v ，B 正4B2L2vR v04确；线框从进入磁场到再 次做匀速运动的过程，沿斜面向下运动
18、距离为 L，则由功能关系得线框中产生的32焦耳热为 Q （ ） ，C 正确；线框离开磁场时做加速运动，D3mgLsin 2 mv202 mv22 3mgLsin 2 15mv2032错误。【题 16】如图所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成 37角，在斜面上虚线 aa和 bb与斜10面底边平行，在 aa、 b b 围成的区域有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为 B1 T；现有一质量为 m10 g、总电阻为 R1 、边长为 d0.1 m 的正方形金属线圈 MNPQ，让 PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端静止释放，线圈刚好匀速穿过磁场。已知线圈与斜面间的动摩擦因数为 0.5， （取 g10 m/s2，sin370.6，cos370.8）求：（1）线圈进入磁场区域时，受到的安培力大小 ；（2）线圈释放时， PQ 边到 bb的距离；（3）整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。【答案】 （1）210 2 N （2）1 m （3）410 3 J
