1、1第二部分 专题五 1在正方形 ABCD 中，动点 E， F 分别从 D， C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC， CB 上移动图 1 图 2 图 3(1)如图 1，当点 E 在边 DC 上自 D 向 C 移动，同时点 F 在边 CB 上自 C 向 B 移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，请你写出 AE 与 DF 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图 2，当 E， F 分别在边 CD， BC 的延长线上移动时，连接 AE， DF，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否” ，不需证明)；连接 AC，请你直接写出 ACE 为等腰三角形时 CE CD 的值；(3)如图
2、3，当 E， F 分别在直线 DC， CB 上移动时，连接 AE 和 DF 交于点 P，由于点E， F 的移动，使得点 P 也随之运动，请你画出点 P 运动路径的草图若 AD2，试求出线段 CP 的最大值解：(1) AE DF， AE DF.理由：四边形 ABCD 是正方形， AD DC， ADE DCF90.动点 E， F 分别从 D， C 两点同时出发，以相同的速度在直线 DC， CB 上移动， DE CF.在 ADE 和 DCF 中， Error! ADE DCF(SAS)， AE DF， DAE FDC ADE90， ADP CDF90， ADP DAE90， APD1809090，
3、AE DF.(2)是， CE CD 或 2.2【解法提示】有两种情况：如答图 1，当 AC CE 时，设正方形 ABCD 的边长为 a.由勾股定理得， AC CE a，a2 a2 2则 CE CD a a ；2 2如答图 2，当 AE AC 时，设正方形 ABCD 的边长为 a，2由勾股定理得， AC AE a.a2 a2 2四边形 ABCD 是正方形， ADC90，即 AD CE， DE CD a， CE CD2 a a2.即 CE CD 或 2.2图 1 图 2 图 3(3)点 P 在运动中保持 APD90，点 P 的路径是以 AD 为直径的圆上的一段弧如答图 3，设 AD 的中点为 Q，
4、连接 CQ 并延长交圆弧于点 P，此时 CP 的长度最大在 Rt QDC 中， QC ，CD2 QD2 22 12 5 CP QC QP 1，5即线段 CP 的最大值是 1.52问题探究(1)如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别是边 BC， CD 上两点，且BM CN，连接 AM 和 BN，交于点 P.猜想 AM 与 BN 的位置关系，并证明你的结论(2)如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 和 N 分别从点 B， C 同时出发，以相同的速度沿 BC， CD 方向向终点 C 和 D 运动连接 AM 和 BN，交于点 P，求 APB 周长的最大值；问
5、题解决(3)如图 3， AC 是边长为 2 的菱形 ABCD 的对角线， ABC60.点 M 和 N 分别从点3B， C 同时出发，以相同的速度沿 BC， CA 向终点 C 和 A 运动连接 AM 和 BN，交于点 P.求 APB 周长的最大值图 1 图 2 图 3解：(1) AM BN.证明：四边形 ABCD 是正方形， AB BC， ABM BCN90. BM CN， ABM BCN，3 BAM CBN. CBN ABN90， ABN BAM90， APB90， AM BN.(2)如答图 1，以 AB 为斜边向外作等腰直角三角形 AEB， AEB90，作 EF PA 于F，作 EG PB
6、交 PB 延长线于 G，连接 EP.答图 1 EFP FPG G90，四边形 EFPG 是矩形， FEG AEB90， AEF BEG. EA EB， EFA G90， AEF BEG， EF EG， AF BG，四边形 EFPG 是正方形， PA PB PF AF PG BG2 PF2 EF. EF AE， EF 的最大值为 AE2 ，2 APB 周长的最大值为 44 .2(3)如答图 2，延长 DA 到 K，使得 AK AB，则 ABK 是等边三角形，连接 PK，取PH PB，连接 BH.答图 2 AB BC， ABM BCN， BM CN， ABM BCN， BAM CBN， APN B
7、AM ABP CBN ABN60， APB120. AKB60，4 AKB APB180， A， K， B， P 四点共圆， BPH KAB60. PH PB， PBH 是等边三角形， KBA HBP， BH BP， KBH ABP. BK BA， KBH ABP， HK AP， PA PB KH PH PK，当 PK 的值最大时， APB 的周长最大，当 PK 是 ABK 外接圆的直径时， PK 的值最大，最大值为 4， PAB 的周长最大值为 2 4.33(2016贵阳)(1)阅读理解：如图 1，在 ABC 中，若 AB10， AC6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围解决此问题可以用
8、如下方法：延长 AD 到点 E 使 DE AD，再连接 BE(或将 ACD 绕着点D 逆时针旋转 180得到 EBD)，把 AB， AC,2AD 集中在 ABE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线 AD 的取值范围是_2EF.(3)问题拓展：如图 3，在四边形 ABCD 中， B D180， CB CD， BCD140，以 C 为顶点作一个 70角，角的两边分别交 AB， AD 于 E， F 两点，连接 EF，探索线段 BE， DF， EF 之间的数量关系，并加以证明图 1 图 2 图 3(1)解：2EM， BE CFEF.(3)解： BE DF EF.理由如下：如答图 2，延长 AB 至点
9、 N，答图 2使 BN DF，连接 CN. ABC D180， NBC ABC180， NBC D在 NBC 和 FDC 中，Error! NBC FDC(SAS)， CN CF， NCB FCD BCD140， ECF70， BCE FCD70， ECN70 ECF.在 NCE 和 FCE 中， Error! NCE FCE(SAS)， EN EF. BE BN EN， BE DF EF.4(2018湖北)问题：如图 1，在 Rt ABC 中， AB AC， D 为 BC 边上一点(不与点B， C 重合)，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到 AE，连接 EC，则线段 BC， DC，
10、 EC 之间6满足的等量关系式为_ BC DC EC_；探索：如图 2，在 Rt ABC 与 Rt ADE 中， AB AC， AD AE，将 ADE 绕点 A 旋转，使点 D 落在 BC 边上，试探索线段 AD， BD， CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图 3，在四边形 ABCD 中， ABC ACB ADC45.若 BD9， CD3，求AD 的长图 1 图 2 图 3解：(1) BC DC EC【解法提示】 BAC DAE90， BAC DAC DAE DAC，即 BAD CAE.在 BAD 和 CAE 中，Error! BAD CAE(SAS)， BD CE， BC B
11、D CD EC CD，即 BC DC EC(2)BD2 CD22 AD2.证明：如答图 1，连接 CE.由(1)得 BAD CAE， BD CE， ACE B， DCE90， CE2 CD2 ED2.在 Rt ADE 中， AD AE， DAE90， DE22 AD2. BD2 CD22 AD2.答图 1 答图 2(3)如答图 2，作 AE AD，使 AE AD，连接 CE， DE. BAC CAD DAE CAD，7 BAD CAE，在 BAD 和 CAE 中， Error! BAD CAE(SAS)， CE BD9. ADC45， EDA45， EDC90， DE 6 .CE2 CD2 2
12、 DAE90， AD AE DE6.225(1)问题发现：如图 1，点 E， F 分别在正方形 ABCD 的边 BC， CD 上， EAF45，连接 EF，则EF BE DF，试说明理由；(2)类比引申：如图 2，在四边形 ABCD 中， AB AD， BAD90，点 E， F 分别在边 BC， CD 上， EAF45，若 B， D 都不是直角，则当 B 与 D 满足等量关系_ B D180_时，仍有 EF BE DF；(3)联想拓展：如图 3，在 ABC 中， BAC90， AB AC，点 D， E 均在边 BC 上，且 DAE45，猜想 BD， DE， EC 满足的等量关系，并写出推理过程
13、图 1 图 2 图 3解：(1)如答图 1. AB AD，把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG，使 AB 与 AD 重合 ADC B90， FDG180，即点 F， D， G 共线，则 DAG BAE， AE AG， FAG FAD GAD FAD BAE904545 EAF，即 EAF FAG.在 EAF 和 GAF 中，Error! EAF GAF(SAS)， EF FG BE DF.8图 1 图 2(2) B D180.【解法提示】 AB AD，如答图 2，把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG，使 AB 与 AD 重合， BAE DAG. BAD90， EAF45
14、， BAE DAF45， DAG DAF45， EAF FAG. ADC B180， FDG180，即点 F， D， G 共线在 AFE 和 AFG 中，Error! AFE AFG(SAS)， EF FG，即 EF BE DF.故 B ADC180.答图 3(3)BD2 CE2 DE2.推理过程：如答图，把 ACE 绕点 A 顺时针旋转 90到 ABF 的位置，连接 DF，则 FAB CAE. BAC90， DAE45， BAD CAE45. FAB CAE， FAD DAE45.在 ADF 和 ADE 中，Error! ADF ADE(SAS)， DF DE. C ABF45，9 DBF9
15、0， BDF 是直角三角形， BD2 BF2 DF2， BD2 CE2 DE2.6(2018衡阳)如图，在 Rt ABC 中， C90， AC BC4 cm，动点 P 从点 C 出发以 1 cm/s 的速度沿 CA 匀速运动，同时动点 Q 从点 A 出发以 cm/s 的速度沿 AB 匀速2运动，当点 P 到达点 A 时，点 P， Q 同时停止运动，设运动时间为 t(s)(1)当 t 为何值时，点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻 t，使 APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；(3)以 PC 为边，往 CB 方向作正方形 CP
16、MN，设四边形 QNCP 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式解：(1)如答图 1，连接 BP.答图 1在 Rt ACB 中， AC BC4， C90， AB4 .2点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上， BP BQ. AQ t， CP t，2 BQ4 t， PB24 2 t2 ，2 2(4 t)216 t2，2 2解得 t84 或 84 (舍去)，3 3当 t(84 )s 时，点 B 在线段 PQ 的垂直平分线上3(2)存在如答图 2，当 PQ QA 时，易知 APQ 是等腰直角三角形， AQP90，则有 PA AQ，24 t t，解得 t ；2 243存在如答图 3，当 AP PQ
17、 时，易知 APQ 是等腰直角三角形， APQ90，则有AQ AP，210 t (4 t)，解得 t2.2 2综上所述，当 t s 或 2 s 时， APQ 是以 PQ 为腰的等腰三角形43图 2 图 3(3)如答图 4，连接 QC，作 QE AC 于 E，作 QF BC 于 F.则 QE AE， QF EC，可得QE QF AE EC AC4，答图 4 S S QNC S PCQ CNQF PCQE t(QE QF)2 t(0t4). 12 12 127(2018娄底)如图，已知四边形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，且OA OC， OB OD，过 O 点作 EF BD，分别交 AD， BC 于点 E， F.(1)求证： AOE COF；(2)判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由(1)证明： OA OC， OB OD，四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， EAO FCO.在 AOE 和 COF 中，Error! AOE COF(ASA)(2)解：四边形 BEDF 是菱形理由如下： AOE COF， AE CF. AD BC， DE BF. DE BF，四边形 BEDF 是平行四边形 OB OD， EF BD， EB ED，四边形 BEDF 是菱形
