1、1专题 14 概率问题易错点一【学习目标】1了解互斥事件，相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式2理解独立重复试验的模型，会计算事件在 n 次独立重复试验中发生 k 次的概率二 【知识要点】1互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若 AB 为不可能事件(AB)，则称事件 A 与事件 B 互斥，其含义是：事件 A 与事件 B在任何一次试验中不会同时发生(2)对立事件：若 AB 为不可能事件，而 AB 为必然事件，那么事件 A 与事件 B 互为对立事件，其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生 练习 2下列说法正确的有( )概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；一次试验中不
2、同的基本事件不可能同时发生；任意事件 A 发生的概率 P(A)总满足 0P(A)1；若事件 A 的概率趋近于 0，即 P(A)0，则事件 A 是不可能事件.A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】C【解析】根据概率与频率的关系判断正确，根据基本事件的特点判断正确，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断错误，根据小概率事件的概念判断错误【详解】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率随机事件 A 的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值正确基
3、本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生2正确必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，随机事件的概率大于 0，小于 1，任意事件 A 发生的概率 P（A）满足 0P（A）1，错误若事件 A 的概率趋近于 0，则事件 A 是小概率事件，错误说法正确的有两个，故选：C（二）事件的关系与运算例 2抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一个点数的概率都是 ，记事件 A 为“向上的点数是奇数” ，事件 B 为“向上的点数不超过 3”，则概率 P(AB) ( )A B C D【答案】C【解析】根据 P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB） ，由此能求出结
4、果练习 1对空中飞行的飞机连续射击两 次，每次发射一枚炮弹，设 A两次都击中飞机， B两次都没击中飞机， C恰有一弹击中飞机， D至少有一弹击中飞机，下列关系不正确的是( )A AD B B DC A C D D A C B D【答案】D【解析】事件 C “恰有一弹击中飞机”包含两种情况：一种是第一枚击中第二枚没中，第二种是第一枚没中第二枚击中。事件 D“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中。对于选项 A，事件 A 包含在事件 D 中，故 A 正确。对于选项 B，由于事件 B,D 不能同时发生，故 B D正确。3对于选项 C，由题意知正确。对于选项 D，由于 A
5、C D至少有一弹击中飞机，不是必然事件；而 B D 为必然事件，所以A C B D.故 D 不正确。选 D。练习 2下列说法正确的有( )概率是频率的稳定值，频率是概率的 近似值一次试验中不同的基本事件不可能同时发生任意事件 A 发生的概率 P(A)总满足 0P(A)1.若事件 A 的概率为 0，则事件 A 是不可能事件A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】C（三）互斥事件解题策略例 3.依据黄河济南段 8 月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在
6、8 月份发生 I 级灾害的概率；()黄河济南段某企业，在 3 月份，若没受 1、2 级灾害影响，利润为 500 万元；若受 1 级灾害影响，则亏损 100 万元；若受 2 级灾害影响则亏损 1000 万元现此企业有如下三种应对方案：4试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.【答案】 (I) ，因此企业应选方案二 练习 2从装有 3 个红球和 3 个白球的口袋里任取 3 个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A至少 2 个白球，都是红球 B至少 1 个白球，至少 1 个红球C至少 2 个白球，至多 1 个白球 D恰好 1 个白球，恰好 2 个红球【答案】A【解析】根
7、据互斥事件、对立事件的定义对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论【详解】选项 A 中， “至少 2 个白球”包括“2 个白球”和“2 个白球和个红球”两种情况， “都是红球”即为“3 个红球” 故这两个事件不可能同时发生，而这两个事件的和事件不是必然事件，故 A 正确选项 B 中， “至少 1 个白球”包括“1 个白球 2 个红球” 、 “2 个白球和 1 个红球” 、 “3 个白球”三种情况；“至少 1 个红球”包括“1 个红球 2 个白球” 、 “2 个红球和 1 个白球” 、 “3 个红球”三种情况所以这两个事件不互斥，所以 B 不正确选项 C 中， “至少 2 个白球”包括
8、“2 个白球 1 个红球” 、 “3 个白球”两种情况；“至多 1 个白球”包括“1 个白球和 2 个红球” 、 “3 个红球”两种情况，所以这两个事件为对立事件，故 C 不正确选项 D 中， “恰好 1 个白球”和“恰好 2 个红球”为同一事件，所以 D 不正确故选 A【点睛】解 答本题的关键是分清互斥事件和对立事件的关系，由定义可得互斥事件不一定对立，而对立事件一定为互斥事件解答类似问题时很容易出现错误，解题时首先要弄清所有的试验结果，然后再根据所求进行求解、判断练习 3学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，5如果这三天都下雨则推迟至下一周，
9、已知这三天下雨的概率均为 ，则这周能进行决赛的概率为A B C D【答案】D【解析】本周能进行决赛意味着能在周三或周四或周五进行，分别求概率，求和即可得解.（四）.对立事件解题方法例 4.在最强大脑的舞台上，为了与国际 X 战队 PK，假设某季 Dr.魏要从三名擅长速算的选手 A1,A2,A3，三名擅长数独的选手 B1,B2,B3，两名擅长魔方的选手 C1,C2中各选一名组成中国战队.假定两名魔方选手中更擅长盲拧的选手 C1已确定入选，而擅长速算与数独的选手入选的可能性相等.()求 A1被选中的概率；()求 A1,B1不全被选中的概率.【答案】 （） （） 【解析】 ()利用古典概型概率公式求
10、出 A1被选中的概率； ()利用对立事件概率公式求出求 A1,B1不全被选中的概率.详解：()从擅长速算、数独的 6 名选手中各选出 1 名与魔方选手 C1组成中国战队的一切可能的结果组成集合( A1， B1， C1)，( A1， B2， C1)，( A1， B3， C1)，( A2， B1， C1)，( A2， B2， C1)，( A2， B3， C1)，(A3， B1， C1)，( A3， B2， C1)，( A3， B3， C1)，由 9 个基本事件组成由题知每一个基本事件被抽取的机会均等，用 M 表示“ A1被选中” ，则M( A1， B1， C1)，( A1， B3， C1)，( A
11、1， B3， C1)，因而 . 练习 3某公交线路某区间内共设置四个站点（如图） ，分别记为 ，现有甲、乙两人同时从 站6点上车，且他们中的每个人在站点 下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为A B C D【答案】A【解析】利用独立事件的概率公式以及互斥事件的概率公式求出甲、乙两人在同一站下车的概率，由对立事件的概率公式可得结果.(五).古典概型解题步骤例 5. 交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为 ，早高峰时段 ，基本畅通； 轻度拥堵； 中度拥堵； 严重拥堵，从某市交通指挥中心随机选取了二环以内 个交通路段，依据交通指数数据绘制直方图如图所示（1）据此
12、直方图估算早高峰时段交通拥堵指数的中位数和平均数；（2）现从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，求选中路段中恰有一个路段的交通指数 的概率【答案】 （1）中位数 ，平均数 ；（2） .【解析】 (1)频率直方图中，根据直方图左右两边面积相等处横坐标能估算早高峰时段交通拥堵指数的中7位数；每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐 标、组距相乘后求和可得平均值；(2)由题知严重拥堵中交通指数 的有 4 个，记为 ，交通指数 的有 2 个,记为 ，从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，利用列举法能求出恰有一个路段的交通指数 的概率.(2)由题知严重拥堵中交通指数
13、 的有 4 个，记为 ，交通指数 的有 2 个,记为 ，从样本路段里的严重拥堵的路段中随机抽取两个路段进行综合整治，基本事件总数有 15 个，分别为：，选中路段中选中路段中恰有一个路段的交通指数 包含的基本事件有 8 个，分別为： ，恰有一个路段的交通指数 的概率 .【点睛】本题主要考查频率分布直方图以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为 ；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（4）直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.练习 1如下的茎叶图表示甲乙两人在
14、 5 次测评中的成绩，已知甲的中位数是 90，则从乙的 5 次测评成绩中随机抽取一次成绩，其分数高于甲的平均成绩的概率为A B C D【答案】B8【解析】根据甲的中位数知 ，计算甲的平均数，找到乙中大于甲平均数的个数，根据古典概型求解.练习 2齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（ ）A B C D【答案】C【解析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛
15、 ,利用列举法求出基本事件有 9 种，齐王的马获胜包含的基本事件有 6 种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为 ，田忌上等、中等、下等马分别为 ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛, 【详解】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形 EFMN，易知四边形 EFMN 为正方形设圆 O 的半径为 r，则正方形 EFMN 的边长也为 r所以正方形的 EFMN 的面积为 r2阴影部分的面积为 所以阴影部分占总面积的比值为 即在圆 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是所以选 C练习 2从区间 中任取一个值 ，则函数 是增函数的概率为（ ）9
16、A B C D【答案】A【解析】由函数为增函数得到 a 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式计算直接得到答案.练习 3已知甲乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待.已知甲、乙两车装货物需要的时间都为 20 分钟，倘若甲、乙两车都在某 1 小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（ ）A B C D【答案】A【解析】设现在时间是 0，甲乙到场的时间分别是 x y，那么就会有 0 x60，0 y60，| x y|如果小于 20，就是等待事件，否则不用等待了由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率【详解】设现在时间是 0，甲乙到
17、场的时间分别是 x y，那么就会有：0 x60，0 y60，| x y|如果小于 20，就是等待事件，否则不用等待了画出来坐标轴如下图两条斜直线见的面积是等待，外面的两个三角形面积是不等待，至少有一辆车需要等待装货物的概率：p 10故选：A【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的
18、概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 由统计数据可知，该销售商一次购进 70 辆该品牌车龄已满三年的二手车有事故车 20 辆，非事故车 50辆，所以一辆车盈利的平均值为 (元)练习 1箱子里有 3 双颜色不同的手套（红蓝黄各 1 双） ，有放回地拿出 2 只，记事件 A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对” ，则事件 A 的概率为（ ）A B C D【答案】B【解析】本题可以先算出在六个手套中取回两个有多少种可能，再计算出事件 A 中有多少种可能，最后得出结果。11练习 2已知某运动员每次投篮命中的概率 是 40现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次
19、命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数，指定 l，2，3，4 表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 10 组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A B C D【答案】C【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了 10 组随机数，在 10 组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共 3 组随机数，根据概率公式，得到结果（八）条件概率例 8.为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标 x)
20、、推理能力(指标 y)、建模能力(指标 z 的相关性，将它们各自量化为 1、2、3 三个等级，再用综合指标 w=x+y+x 的值评定学生的数学核心素养，若 ,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若 ,则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校 10 名学生，得到如下数据：(1)在这 10 名学生中任取两人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；12(2)在这 10 名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为 X,求随机变量 X 的分布列及其数学期望。【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】 （1）由表格结合条件概率公
21、式即可得到结果；（2）X 的所有可能取值为 0,1，2，3，求出相应的概率值，带入期望公式得到结果.【详解】x 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2y 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2z 3 3 3 2 2 3 2 3 1 2w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6（1）由题可知:建模能力一级的学生是 ；建模能力二级的学生是 ；建模能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 ，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件 .则 【详解】三局比赛甲“胜、负、胜”的概率为 ；三局比赛甲“负、胜、胜”的概率为；两局比赛甲“胜、胜”的概率为 .根据条件概率计算公式， “在甲获得冠军
22、的情况下，比赛进行了 局的概率”为 .故选 B.（九）独立事件例 9.甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得 1 分，负者得 0 分，约定一方比另一方多 3 分或满 9 局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算 赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛结果相互独立，已知前 3 局中，甲胜 2 局，乙胜 1 局.（1） 求甲获得这次比赛胜利的概率；13（2）设 表示从第 4 局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】 （1）利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法运算求出甲获得这
23、次比赛胜利的概率；（2）求出随机变量可取得值；利用互斥事件的概率和公式及相互独立事件同时发生的概率乘法公式求出随机变量取每一个值的概率；列出分布列；利用随机变量的期望公式求出随机变量的期望（2）X 可能取值为：2,4,6， ，的分布列为2 4 6【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:“探求概率” ，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等） ，求出随机变量取每个值时的概率； （2） 的所有可能值为
24、 0，1，2，3，4，分别求其概率，列出分布列，再求期望即可14 的所有可能值为 0，1，2，3，4，且， 综上知 有分布列 0 1 2 3 4P练习 1某学校对高学生进行体能测试,若每名学生测试达标的概率都是 (相互独立),经计算,5 名学生中恰有 k 名学生同时达标的概率是 ,则 k 的值为( )A2 B3 C4 D3 或 4【答案】D 【解析】由题意， = ，即可得出结论15练习 2种植某种树苗，成活率为 0.9，若种植这种树苗 5 棵，则恰好成活 4 棵的概率是 A0.33 B0.66 C0.5 D0.45【答案】A【解析】5 次试验中恰好发生 4 次的概率为 【详解】由题意概率为 ，故选 A练习 3将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将 次遇到黑色障碍物，最后落入 袋或 袋中己知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 ，则小球落 袋中的概率为（ ） A B C D【答案】D
