1、7.4 直接证明与间接证明,-2-,-3-,-4-,知识梳理,双击自测,1.直接证明 (1)综合法 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证 ,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 框图表示:PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示要证的结论). 思维过程:由因导果.,-5-,知识梳理,双击自测,(2)分析法 定义:从要证明的结论 出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明方法叫做分析法. 框图表示:QP1P1P2P2P3得到
2、一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论). 思维过程:执果索因.,-6-,知识梳理,双击自测,2.间接证明 (1)反证法:假设原命题不成立 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾 ,因此说明假设错误,从而证明 原命题成立 的证明方法.,(2)用反证法证明的一般步骤:反设假设命题的结论不成立;归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.,-7-,知识梳理,双击自测,1.要证a2+b2-1-a2b20只要证明( ),答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,2.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确
3、的假设为( ) A.a,b,c中至少有两个偶数 B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c都是奇数 D.a,b,c都是偶数,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,3.已知三角形的三边分别为a,b,c,内切圆的半径为r,则三角形的面,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,4.(2018浙江临安模拟)已知“a,b,c是不全相等的正数”,有下列结论,其中正确的个数为( ) (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0;ab与ab及ac中至少有一个成立;ac,bc,ab不能同时成立. A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,5.在ABC中,BAC,
4、ABC,ACB的对边分别为a,b,c,若a,b,c三边的倒数成等差数列,求证:ABC90.,证明:假设ABCa,bc.,-12-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.分析法是“执果索因”,实际上是寻找使结论成立的充分条件. 2.综合法和分析法都是直接证明的方法,反证法是间接证明的方法. 3.用反证法证题时必须先否定结论,否定结论就是找出结论的反面的情况. 4.反证法的步骤是:(1)准确反设;(2)从否定的结论正确推理;(3)得出矛盾.,-13-,考点一,考点二,考点三,综合法的应用(考点难度) 【例1】 (1)已知a,b,c0,a+b+c=1,求证:,-14-,考点一,考点二,考点三,-15-,
5、考点一,考点二,考点三,(2)如图,在四边形ABCD中,ABCD,ABD=30,AB=2CD=2AD=2,DE平面ABCD,EFBD,且BD=2EF.求证:平面ADE平面BDEF; 若二面角C-BF-D的大小为60,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.,-16-,考点一,考点二,考点三,证明:在ABD中,ABD=30,又AD2=AB2+BD2-2ABBDcos 30,ADBD. DE平面ABCD,AD平面ABCD,ADDE. BDDE=D,AD平面BDEF.又AD平面ADE, 平面ADE平面BDEF.,-17-,考点一,考点二,考点三,解:如图,由已知可得ADB=90,ABD=30,则 BDC
6、=30,三角形BCD为锐角为30的等腰三角形. 过点C作CHDA,交DB,AB于点G,H,则点G为点F在平面ABCD上的投影.连接FG,则,CGBD,DE平面ABCD,CG平面BDEF. 过点G作GIBF于点I,则BF平面GCI, 即CIG为二面角C-BF-D的平面角, 则CIG=60,-18-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.用综合法证明是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适应范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型. 2.综合法往往以分析法为基础,是分析法的逆过程.,-
7、19-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知数列an满足a1=2,an+1= +6an+6(nN*). (1)设cn=log5(an+3),求证cn是等比数列; (2)求数列an的通项公式;,log5(an+1+3)=2log5(an+3),即cn+1=2cn. cn是以2为公比的等比数列.,-20-,考点一,考点二,考点三,-21-,考点一,考点二,考点三,分析法的应用(考点难度),只需证|a|2+2|a|b|+|b|22(a2+2ab+b2), 只需证|a|2+2|a|b|+|b|22a2+2b2, 只需证|a|2+|b|2-2|a|b|0, 即证(|a|-|b|)20,上式显然成立,故原
8、不等式得证.,-22-,考点一,考点二,考点三,只需证3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca, 只需证2(a2+b2+c2)2ab+2bc+2ca, 只需证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,而这是显然成立的,方法总结分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用到的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.用分析法证明的格式为“要证只需证已知”的格式.,-23-,考点一,考点二,考点三,-24-,考点一,考点二,考点三,只需证(n+1)2(n-2)2n成立,而
9、该不等式在n3时恒成立,故只需要验证n=1,2,3时成立即可, 而当n=1,2,3时,a1,a2,a3均满足该不等式,-25-,考点一,考点二,考点三,用数学归纳法很明显可证当anbn,-26-,考点一,考点二,考点三,当n=1,2,3时该不等式恒成立;,综上所得,上述不等式bn1时,用数学归纳法很明显可证当ann时,有bn0; 下面证明bn+1bn,-27-,考点一,考点二,考点三,同理数学归纳法可得该不等式成立. 综上所述,不等式0bn+1bn成立.,-28-,考点一,考点二,考点三,反证法的应用(考点难度) 【例3】 若等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+ ,S3=9+3 . (1)
10、求数列an的通项an与前n项和Sn; (2)设bn= (nN*),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,-29-,考点一,考点二,考点三,假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,rN*,且互不相等)成等比数列,-30-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.应用反证法证明时必须先否定结论,把结论的反面作为条件,且根据这一条件进行推理,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法.所谓矛盾主要是指:(1)与已知条件矛盾;(2)与假设矛盾;(3)与定义、公理、定理矛盾;(4)与公认的简单事实矛盾;(5)自相矛盾. 2.当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”
11、或以否定形式出现时,可用反证法来证.,-31-,考点一,考点二,考点三,对点训练已知a,b,c是互不相等的非零实数,用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一个方程有两个相异实根.,证明:假设三个方程都没有两个相异实根, 则1=4b2-4ac0,2=4c2-4ab0,3=4a2-4bc0. 上述三个式子相加得:a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a20.即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20. 由已知a,b,c是互不相等的非零实数. 因此,上式“=”不能同时成立,即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)20,与事
12、实不符,故ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有一个方程有两个相异实根.,-32-,难点突破直接证明和间接证明在探索性问题中的应用 探索性问题没有结论,需要自己寻找结论.在探索性问题的研究中,有一种方法可以先通过猜想或者特殊值法确定结论,然后合理选择证明方法证明这个结论.,-33-,只需证3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2x+y)(x+2y), 即证x2+y22xy,此式显然成立.,同理,只需证3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y), 即证x2+y22xy,这显然成立.,-34-,答题指导探索性问题是开放性数学问题,“猜想证明”是解决这类问题的基本思路. 高分策略1.用综合法证明命题时,首先找到正确的出发点,一般的处理方法是广泛地联系已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结论. 2.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件. 3.对较复杂的问题,常常先从结论进行分析,寻求结论与条件的关系,找到解题思路后,再运用综合法证明,或两种方法交叉使用. 4.反证法证明的实质是证明它的逆否命题成立.,
