1、1考点规范练 34 直接证明与间接证明基础巩固组1.用反证法证明命题:“如果 a,bN, ab可被 5整除,那么 a,b中至少有一个能被 5整除”时,假设的内容应为( )A.a,b都能被 5整除 B.a,b都不能被 5整除C.a,b不都能被 5整除 D.a不能被 5整除答案 B解析 因为命题:“如果 a,bN, ab可被 5整除,那么 a,b中至少有一个能被 5整除”的否定是 a,b都不能被 5整除,所以用反证法证明该命题时假设的内容应为 a,b都不能被 5整除 .故选 B.2.设 a,b,c均为正实数,则三个数 a+ ,b+ ,c+ ( )1b 1c 1aA.都大于 2 B.都小于 2C.至
2、少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2答案 D解析 a 0,b0,c0, 6, (a+1b)+(b+1c)+(c+1a)=(a+1a)+(b+1b)+(c+1c)当且仅当 a=b=c=1时,等号成立,故三者不能都小于 2,即至少有一个不小于 2.3.已知 p= ,q= (m,n,a,b,c,d均为正数),则 p,q的大小关系为( )ab+ cd ma+ncbm+dnA.p q B.p q C.pq D.不确定答案 B解析 q= =p.ab+madn+nbcm+cd ab+2 abcd+cd= ab+ cd4.设 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x0 时, f(x)单调递减,若 x1
3、+x20,则 f(x1)+f(x2)的值( )A.恒为负值 B.恒等于零C.恒为正值 D.无法确定正负答案 A解析 由 f(x)是定义在 R上的奇函数,且当 x0 时, f(x)单调递减,可知 f(x)是 R上的单调递减函数 .由x1+x20,可知 x1-x2,即 f(x1)0,即 cos(A+C)0,则 A+C是锐角,从而 B ,故 ABC必是钝角三角形 .226.已知 =2 =3 =4 ,若 =6 (a,t均为正实数),类比以上2+23 23, 3+38 38, 4+415 415 6+at at等式可推测出 a,t的值,则 a+t= . 答案 41解析 按题中的等式可推测出 a=6,t=
4、a2-1=35,则 a+t=6+35=41.7.设 a,b,c是不全相等的实数,给出下列判断: (a-b)2+(b-c)2+(c-a)20;ab ,ab2+c2解析 由余弦定理知 cosA= b2+c2.能力提升组9.设 a,b是两个实数,给出下列条件: a+b 1;a+b= 2;a+b 2;a 2+b22;ab 1.其中能推出“ a,b中至少有一个大于 1”的条件是( )A. B. C. D.答案 C解析 若 a= ,b= ,则 a+b1,但 a2,故 推不出;若 a=-2,b=-3,则 ab1,故 推不出;对于 ,假设 a1 且 b1,则 a+b2,与 a+b2矛盾,因此假设不成立,故 a
5、,b中至少有一个大于 1.故选 C.10.已知 x为正实数,不等式 x+ 2,x+ 3,x+ 4,可推广为 x+ n+1,则 a的值为( )1x 4x2 27x3 axnA.2n B.n2 C.22(n-1) D.nn答案 D解析 因为第一个式子中 a=11,第二个式子中 a=4=22,第三个式子中 a=27=33,所以猜想第 n个式子中a=nn.故选 D.311.已知函数 f(x)= ,a,b是正实数, A=f ,B=f( ),C=f ,则 A,B,C的大小关系为( )(12)x (a+b2) ab (2aba+b)A.A B C B.A C BC.B C A D.C B A答案 A解析 因
6、为 ,又 f(x)= 在 R上是减函数,所以 f f( ) fa+b2 ab 2aba+b (12)x (a+b2) ab (2aba+b).12.设 x,y,z均大于 0,则三个数 ( )yx+yz,zx+zy,xz+xyA.都大于 2 B.至少有一个大于 2C.至少有一个不小于 2 D.至少有一个不大于 2答案 C解析 因为 x0,y0,z0,所以 6,(yx+yz)+(zx+zy)+(xz+xy)=(yx+xy)+(yz+zy)+(xz+zx)当且仅当 x=y=z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于 2.13. 已知 p3+q3=2,求证 p+q2,用反证法证明时,可假设 p+q2;
7、已知 a,bR, |a|+|b|2,所以 不正确;对于 ,其假设正确 .14.如果 1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切 nN *都成立,那么 a= ,b= ,c= . 答案12 14 14解析 等式 1+23+332+433+n3n-1=3n(na-b)+c对一切 nN *均成立,n= 1,2,3时等式成立,即 1=3(a-b)+c,1+23=32(2a-b)+c,1+23+332=33(3a-b)+c,整理得 解得 a= ,b=c=3a-3b+c=1,18a-9b+c=7,81a-27b+c=34, 12 14.故答案为12,14,14.415.在平面直角坐标系
8、中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P的“伴随点”为 P ,当 P是原(yx2+y2, -xx2+y2)点时,定义 P的“伴随点”为它自身 .现有下列命题: 若点 A的“伴随点”是点 A,则点 A的“伴随点”是点 A; 单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上; 若两点关于 x轴对称,则它们的“伴随点”关于 y轴对称; 若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线 .其中的真命题是 . 答案 解析 对于 ,令 P(1,1),则其“伴随点”为 P ,而 P 的“伴随点”为( -1,-1),并不是 P,故(12,12) (12,12)错误;对于 ,设 P(x,y)是单位圆 C:x2+y2=1上的
9、点,其“伴随点”为 P(x,y),则有x= yx2+y2,y= -xx2+y2,所以 x2+y2= =1,所以 正确;对于 ,设 P(x,y)的“伴随点”为(yx2+y2)2+( -xx2+y2)2= 1x2+y2P ,P1(x,-y)的 “伴随点”为 P1 ,易知 P 与 P1(yx2+y2, -xx2+y2) ( -yx2+y2, -xx2+y2) ( yx2+y2, -xx2+y2)关于 y轴对称, 所以 正确;对于 ,设原直线的解析式为 Ax+By+C=0,其中 A,B不同时(-yx2+y2, -xx2+y2)为 0,且 P(x0,y0)为该直线上一点, P(x0,y0)的“伴随点”为
10、 P(x,y),其中 P,P都不是原点,且则 x0=-( )y,y0=( )x.将 P(x0,y0)代入原直线方程,得 A( )y+B(x= y0x20+y20,y= -x0x20+y20, x20+y20 x20+y20 x20+y20)x+C=0,则 -Ay+Bx+ =0,由于 的值不确定,所以“伴随点”不一定共线,所以 x20+y20Cx20+y20 x20+y20错误 .16.已知函数 y=f(x)的定义域为 D,若对于任意的 x1,x2 D(x1 x2),都有 f 成立,则(x1+x22 )0,又(x1+x22 )2c2b.a25求证:(1) a0且 -32c2b,a 0,b2c2b得 -3 -3a,4b0矛盾, 函数 f(x)a2在区间(0,2)内至少有一个零点 .18.已知函数 f(x)=x3+ ,x0,1,求证:11+x(1)f(x)1 -x+x2;(2) (12)=192434 34.综上, f(x)34 32.
