1、1考点规范练 35 数学归纳法基础巩固组1.用数学归纳法证明 2n2n+1,n 的第一个取值应是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 当 n=1 时,2 1=2,21+1=3,2n2n+1 不成立;当 n=2 时,2 2=4,22+1=5,2n2n+1 不成立;当 n=3 时,2 3=8,23+1=7,2n2n+1 成立 .故 n 的第一个取值应是 3.2.已知 f(n)= + ,则( )1n+ 1n+1+ 1n+2 1n2A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时, f(2)=12+13B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时, f(2)=12+13C.f(n)中共有 n2
2、-n 项,当 n=2 时, f(2)=12+13D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时, f(2)=12+13+14答案 D解析 总项数为 n2-(n-1),f(2)= 故选 D.12+13+14.3.用数学归纳法证明“1 +a+a2+an+1= (a1, nN *)”,在验证 n=1 时,左端计算所得的结果1-an+21-a是( )A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3答案 C解析 当 n=1 时,左边 =1+a+a2.故选 C.4.某个命题与自然数 n 有关,若 n=k(kN *)时命题成立,则可推得当 n=k+1 时该命题也成立 .现已知当 n=5 时,
3、该命题不成立,则可推得( )A.当 n=6 时,该命题不成立B.当 n=6 时,该命题成立C.当 n=4 时,该命题不成立D.当 n=4 时,该命题成立答案 C2解析 因为当 n=k 时命题成立可推出当 n=k+1 时成立,所以当 n=5 时命题不成立,则当 n=4 时命题也一定不成立 .5.对于不等式 13成立,推导“ n=k+1 时”也成立时,该不等式左边的变化是( )A.增加13k+3B.增加13k+1+ 13k+2+ 13k+3C.增加 并减少13k+3 12k+1+ 12k+2D.增加 并减少13k+1+ 13k+2+ 13k+3 12k+1+ 12k+2答案 D解析 n=k+1 时
4、,不等式为 + ,增加 并减少12k+3+ 12k+4 13k+313 13k+1+ 13k+2+ 13k+3故选 D.12k+1+ 12k+2.11.已知 f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的 k,若 f(k) k2成立,则 f(k+1)( k+1)2成立,下列命题成立的是( )A.若 f(3)9 成立,且对于任意的 k1,均有 f(k) k2成立B.若 f(4)16 成立,则对于任意的 k4,均有 f(k)42,所以对于 k4,均有 f(k) k2.仅有 D 选项符合题意 .12.用数学归纳法证明 3(2+7k)能被 9 整除,证明 n=k+1 时,应将 3(2+7k+1)
5、配凑成( )A.6+217k B.3(2+7k)+21C.3(2+7k) D.21(2+7k)-36答案 D解析 要配凑出归纳假设,即 3(2+7k+1)=3(2+77k)=6+217k=21(2+7k)-36.故选 D.413.设平面内有 n 条直线( n3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点 .若用f(n)表示这 n 条直线交点的个数,则 f(n)=( )(n3) .A.(n+1)(n-2) B (n+1)(n-2).12C.n(n-1) D n(n-1).12答案 B解析 f(3)=2,f(4)=f(3)+3=2+3=5,f(n)=f(3)+3+4+(n-1)=2+3
6、+4+(n-1)= (n+1)(n-2)(n3) .1214.若不等式 + 对一切正整数 n 都成立,正整数 a 的最大值为 . 1n+1+ 1n+2 13n+1a24答案 25解析 当 n=1 时, ,11+1+ 11+2+ 13+1a24即 ,所以 aa24而 a 是正整数,所以取 a=25,下面用数学归纳法证明 +1n+1+ 1n+2 13n+12524.(1)当 n=1 时,已证得不等式成立 .(2)假设当 n=k(kN *)时,不等式成立,即 +1k+1+ 1k+2 13k+12524.则当 n=k+1 时,有 +1(k+1)+1+ 1(k+1)+2 13(k+1)+1= +1k+1
7、+ 1k+2 13k+1+ 13k+2+ 13k+3+ 13k+4- 1k+12524+ 13k+2+ 13k+4- 23(k+1).因为13k+2+ 13k+4- 23(k+1)= 6(k+1)(3k+2)(3k+4)- 23(k+1)= 0,18(k+1)2-2(9k2+18k+8)(3k+2)(3k+4)(3k+3) = 2(3k+2)(3k+4)(3k+3)所以当 n=k+1 时不等式也成立 .由(1)(2)知,对一切正整数 n,都有 + ,1n+1+ 1n+2 13n+125245所以 a 的最大值等于 25.15.(2018 浙江衢州模拟)在数列 an中,已知 a1=a(a2),且
8、 an+1= (nN *).a2n2(an-1)(1)用数学归纳法证明 an2(nN *);(2)求证: an+12,命题成立 . 假设当 n=k(kN *,k1)时,命题成立,即 ak2.则当 n=k+1 时, ak+1-2= -2= 0,a2k2(ak-1) (ak-2)22(ak-1)所以当 n=k+1 时 ak+12 也成立,由 知对任意正整数 n,都有 an2.(2)an+1-an= -an= ,a2n2(an-1) an(2-an)2(an-1)由(1)可知 an20,所以 an+1f(a2k+1)f(1)=a2,即 1ca2k+2a2.再由 f(x)在( - ,1上为减函数得 c
9、=f(c)f(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2n+1),即 a2n+1a2n+2.所以 a2n+1 -1.解得 a2n+1 a22n+1-2a2n+1+2 14.综上,由 , , 知存在 c= 使 a2n2,所以 n=k+1 时, ak+12 成立 .k2+k+1k2+k 12k 1k2+k 12k 2k2+k+12k综上 可知, n2 时, an2 .(2)由 an+1= an+ =an+ an+n2+n+1n2+n 12n 1n(n+1) 12n得 an+1-an= an+ ,1n(n+1) 12n所以 a2-a1= a1+ ,a3-a2= a2+ ,a4-a3= a3+ ,an+1-an= an+ 所以 an+1-a1=112 121 123 122 134 123 1n(n+1) 12n.a1+ a2+ +112 123 1n(n+1)+121+122 12n.又 a1=1,所以 an+1= a1+ a2+ an+1+ a1+ a2+ an+2-112 123 1n(n+1) 12(1-12n)1-12 = 112 123 1n(n+1) 12n.
