1、1考点规范练 13 导数与函数的单调性基础巩固组1.函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )A.(- ,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+ )答案 D 解析 因为 f(x)=(x-3)ex,则 f(x)=ex(x-2),令 f(x)0,得 x2,所以 f(x)的单调递增区间为(2, + ).2.(2017 浙江嘉兴调研)已知函数 f(x)= x3+ax+4,则“ a0”是“ f(x)在 R 上单调递增”的( )12A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A 解析 f(x)= x2+a,当 a0 时, f(x)0 恒成立,故“
2、 a0”是“ f(x)在 R 上单调递增”的充分不必32要条件 .3.设 f(x)是函数 f(x)的导函数, y=f(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象最有可能是( )答案 C 解析 由 y=f(x)的图象易知当 x2 时, f(x)0,故函数 y=f(x)在区间( - ,0)和(2, + )上单调递增;当 00),12 9x2当 x- 0,即 00,且 a+13,解得 10 时, g(x)在(0, + )上为增函数,则 g 0,解得 -10, a3;12 14+a4当 a0(x0),可得 解得 x(0,e) .(lnxx) 1-lnxx2 1-lnx0,x0, 7.(2017 浙江丽
3、水模拟)已知函数 f(x)=ln x+2x,若 f(x2+2)0,函数单调递增,所以1x由 f(x2+2)0,所以 f(x)在 R 上单调递增,所以 f(mx-2)+f(x)0,f(2)= ,则不等式 f(lg x)0,1x 1x2g(x)在(0, + )递增,而 g(2)=f(2)- =4,12故由 f(lgx)1 D.x|x1答案 D 解析 设 F(x)=f(x)- ,则 F(1)=f(1)- =1-1=0,又 F(x)=f(x)- ,对任意 xR,有 F(x)x2+12 12+12 12=f(x)- 0 时, f(x)= ,ln|x|+32x2 ln|x|+32x2 lnx+32x2则
4、f(x)= ,1xx2-(lnx+32)2xx4 =x-2xlnx-3xx4 = -2x(1+lnx)x4由 f(x)0 得 -2x(1+lnx)0,得 1+lnx0,即 lnx-1,得 x ,此时函数单调递减,1e即当 x0 时, x= 时,函数 f(x)取得极大值 f = e2= e2,作出函数 f(x)的图1e 1e ln1e+32(1e) 2=(-1+32) 12象如图 .要使 a= 有 4 个不同的交点,则满足 00 时, f(x)=-xe-x;5 函数 f(x)的单调递减区间是( - ,-1)和(1, + ); 对 x1,x2R,都有 |f(x1)-f(x2)| .其中正确的序号是
5、 . 2e答案 解析 当 x0 时, f(x)=-f(-x)=-(-x)e-x=xe-x,x0,故 错误; 当 x -2或 t016.(2017 江苏高考)已知函数 f(x)=x3-2x+ex- ,其中 e 是自然对数的底数 .若 f(a-1)+f(2a2)0,则1ex实数 a 的取值范围是 . 答案 -1,12解析 因为 f(-x)=-x3+2x+ -ex=-f(x),所以函数 f(x)是奇函数,因为 f(x)=3x2-2+ex+e-x3 x2-2+21ex0,所以 f(x)在 R 上单调递增,又 f(a-1)+f(2a2)0,即 f(2a2) f(1-a),所以 2a21 -a,即exe-
6、x2a2+a-10,解得 -1 a ,故实数 a 的取值范围为 .12 -1,1217.设 f(x)= ,其中 a 为正实数 .ex1+ax2(1)当 a= 时,求 f(x)单调区间;43(2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求实数 a 的取值范围 .解 对 f(x)求导得 f(x)=ex .1+ax2-2ax(1+ax2)2(1)当 a= 时,若 f(x)=0,则 4x2-8x+3=0,43解得 x1= ,x2= .结合 ,可知32 126x (- ,12)(12,32)32(32,+ )f(x) + 0 - 0 +f(x) 极大值极小值所以增区间为 ;减区间为 .(- ,12),(32,
7、+ ) (12,32)(2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f(x)在 R 上不变号,结合 与条件 a0,知 ax2-2ax+10 在R 上恒成立,即 = 4a2-4a=4a(a-1)0,又 a0,得 00,函数 f(x)在(0, + )上单调递增 .当 a 0.12设 x1,x2(x10,a+1- 2a+1-a = a2+2a+1- 2a+1-a所以 x(0, x1)时, g(x)0,f(x)0,函数 f(x)单调递增;x( x2,+ )时, g(x)0,f(x)0,函数 f(x)单调递减 .综上可得:当 a0 时,函数 f(x)在(0, + )上单调递增;当 a - 时,函数 f(x)在(0, + )上单调递减;12当 - a0 时, f(x)在 ,12 (0,-(a+1)+ 2a+1a )上单调递减,(-(a+1)- 2a+1a ,+ )在 上单调递增 .(-(a+1)+ 2a+1a ,-(a+1)- 2a+1a )
