1、1考点规范练 14 导数与函数的极值、最值基础巩固组1.函数 f(x)=x3-3x2+3x的极值点的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3答案 A 解析 由题知 f(x)的导函数值恒大于或等于零,所以函数 f(x)在定义域上单调递增 .2.函数 f(x)=x3-3x2+2在区间 -1,1上的最大值是( )A.-2 B.0 C.2 D.4答案 C 解析 f (x)=3x2-6x,令 f(x)=0,得 x=0或 x=2.f (x)在 -1,0)上是增函数, f(x)在(0,1上是减函数 .f (x)max=f(x)极大值 =f(0)=2.3.设函数 f(x)在 R上可导,其导函数为 f(x),
2、且函数 y=(1-x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(1)C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(-2)D.函数 f(x)有极大值 f(-2)和极小值 f(2)答案 D 解析 由题图可知,当 x0;当 -22时, f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x=-2处取得极大值,在 x=2处取得极小值 .4.若函数 f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则实数 c的取值范围为 ( )A. ,+ B. ,+32 32C. - ,- ,+ D. - ,- ,+32
3、 32 32 32答案 C 解析 若函数 f(x)=x3-2cx2+x有极值点,则 f(x)=3x2-4cx+1=0有实根,故 = (-4c)2-120,解得 c或 c - .故选 C.32 325.函数 f(x)=3x-x3在区间( a2-12,a)上有最小值,则实数 a的取值范围是( )A.(-1,3) B.(-1,2) C.(-1,3 D.(-1,22答案 D 解析 由题知 f(x)=3-3x2,令 f(x)0,解得 -11,由此得函数在( - ,-1)上是减函数,在( -1,1)上是增函数,在(1, + )上是减函数,故函数在 x=-1处取到极小值 -2,判断知此极小值必是区间( a2
4、-12,a)上的最小值,即 a2-120,所以 a的取值范围是(0,3) .8.(2017浙江衢州高三考试)已知函数 f(x)=x3+2ax2+1在 x=1处的切线的斜率为 1,则实数 a= ,此时函数 y=f(x)在0,1最小值为 . 答案 - 12 2327解析 由 f(x)=x3+2ax2+1,得到 f(x)=3x2+4ax,因为函数 f(x)=x3+2ax2+1在 x=1处的切线的斜率为 1,所以 f(1)=1,即 3+4a=1,解得 a=- .f(x)=3x2-2x,x ,f(x)12 (0,23) (23,1)0,函数单调递增, 函数 y=f(x)在0,1最小值为 f .故答案为
5、- .(23)=2327 12,2327能力提升组9.已知函数 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数 a的取值范围是( )A.(-1,2) B.(- ,-3)(6, + )C.(-3,6) D.(- ,-1)(2, + )答案 B 解析 f (x)=3x2+2ax+(a+6),由已知可得 f(x)=0有两个不相等的实根 .= 4a2-43(a+6)0,即 a2-3a-180,a 6或 ax2恒成立(其中 e=2.718 28,是自然对数的底数),则实数 a的1e exa取值范围是( )A. 0, B.(0,e)e23C.(- ,-2e) D. - ,4e2答案 A
6、解析 由 x2得 2lnx在 x ,e2 上恒成立,exa xa 1e即 在 x ,e2 上恒成立 .1a2lnxx 1e令 f(x)= ,x ,e2 ,则 f(x)= ,2lnxx 1e 2(1-lnx)x2 当 x ,e 时, f(x)0,f(x)单调递增,1e当 xe,e 2时, f(x)f(e)= , 0- 时, g(x)0,g(x)单调递增 .12所以 g(x)min=g - =-2 .12 e-12根据题意得, 解得 mxlnx xlnx lnx-1(lnx)20,h(x)单调递增,所以 h(x)= 在(e,e 2上的最大值为 h(e2)= ,即 a .故 a的取值范围为xlnx
7、e22 e22.e22,+ )13.已知函数 f(x)=ex-x2,若 x1,2,不等式 -m f(x) m2-4恒成立,则实数 m的取值范围是 .答案 e,+ ) 解析 因为 f(x)=ex-x2,所以 f(x)=ex-2x,令 g(x)=f(x),所以 g(x)=ex-2,因为 x1,2,所以 g(x)=ex-20,故 f(x)=ex-2x在1,2上是增函数,故 f(x)=ex-2xe -20;故 f(x)=ex-x2在1,2上是增函数,故 e-1e x-x2e 2-4;故 -m f(x) m2-4恒成立可化为 -me -1e 2-4 m2-4;故 me .14.若函数 f(x)= x3+
8、x2- 在区间( a,a+5)上存在最小值,则实数 a的取值范围是 . 13 23答案 -3,0) 解析 由题意, f(x)=x2+2x=x(x+2),故 f(x)在( - ,-2),(0,+ )上是增函数,在( -2,0)上是减函数,作出其图象如图所示 .令 x3+x2- =- 得, x=0或 x=-3,13 23 23则结合图象可知, -3 a0, 解得 a -3,0).15.已知函数 F(x)= +kln x ,则 F(x)在 上的最大值为 ,最小1-xx (其中 k0),1-xx5F (x)= .(1-x)x-(1-x)xx2 +kx=kx-1x2 若 k 0时, ke,x- 0时,求
9、 f(x)的最小值, g(a)的最大值;(3)设 h(x)=f(x)+|(a-2)x|,x ,求证: h(x)2 .1,+ )解 (1)函数 f(x)在(0,2)上递减 x(0,2),恒有 f(x)0 成立,而 f(x)= 0 x(0,2),ax-2x2恒有 a 成立,而 1,则 a1 满足条件 .2x 2x6(2)当 a0时, f(x)= =0x= .ax-2x2 2ax (0,2a)2a(2a,+ )f(x) - 0 +f(x) 极小值f(x)的最小值 g(a)=f =a+aln .(2a) 2ag(a)=ln2-lna=0a=2.a (0,2) 2 (2,+ )g(a) + 0 -g(x) 极大值g(a)的最大值为 g(2)=2.(3)当 a2 时, h(x)=f(x)+(a-2)x= +alnx+(a-2)x,2xh(x)= +a-20,ax-2x2所以 h(x)在1, + )上是增函数,故 h(x) h(1)=a2 .当 a2.22-a综上所述: h(x)2 .
