1、2.4 幂函数与二次函数,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.幂函数 (1)幂函数的定义:形如 (R)的函数称为幂函数,其中x是 ,为 . (2)五种幂函数的图象,y=x,自变量,常数,-4-,知识梳理,双击自测,(3)五种幂函数的性质,R,R,R,0,+),x|xR,且x0,R,0,+),R,0,+),y|yR,且y0,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,增,当x0,+)时,增; 当x(-,0)时,减,增,增,当x(0,+)时,减; 当x(-,0)时,减,(1,1),-5-,知识梳理,双击自测,2.二次函数 (1)二次函数的三种形式: 一般式: ; 顶点式: ,其中 为顶点坐标; 零点式: ,其中
2、 为二次函数的零点.,f(x)=ax2+bx+c(a0),f(x)=a(x-h)2+k(a0),(h,k),f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),x1,x2,-6-,知识梳理,双击自测,(2)二次函数的图象和性质,-7-,知识梳理,双击自测,(3)二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的零点(图象与x轴交点的横坐标)是相应一元二次方程ax2+bx+c=0的 ,也是一元二次不等式ax2+bx+c0(或ax2+bx+c0)解集的 .,根,端点,-8-,知识梳理,双击自测,1.(教材改编)已知幂函数f(x)=x的图象过点(4,2),若f(m)
3、=3,则实数m的值为( ),答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,2.(2018湖北部分重点中学高三上学期第二次联考)已知幂函数,数,则m的值为 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,3.若关于x的不等式x2+ax-20在区间1,5上有解,则实数a的取值范围为 .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,4.(2017浙江金华十校联合测试改编)已知函数f(x)=ax2-2ax+1+b(a0).若f(x)在2,3上的最大值为4,最小值为1,则a= ,b= .,答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会经过第一象限,一定不出现在第四
4、象限.若与坐标轴相交,则交点一定是原点,但并不都经过原点,如函数y=x-1. 2.幂函数y=x,当0时,在(0,+)上都是增函数,当0时,在(0,+)上都是减函数,而不能说在定义域上是增函数或减函数. 3.二次函数的单调性和最值问题,要注意其图象的对称轴和区间的位置关系的讨论. 4.一元二次方程、一元二次不等式、二次函数关系密切,要注意三者之间的灵活转化.,-13-,考点一,考点二,考点三,幂函数的图象与性质(考点难度),A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,A.abc B.cab C.bca D.bac,答案,解析,-15-,考点
5、一,考点二,考点三,方法总结1.幂函数y=x的图象与性质,由于的值不同而比较复杂,一般从两个方面考察: (1)的正负:当0时,图象过原点,在第一象限的图象上升;当1时,曲线下凸;当01时,曲线上凸;当0时,曲线下凸. 2.幂函数的形式是y=x(R),前面系数必须为1,其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式. 3.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.,-16-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,(2)已知函数f(x)= (kZ)满足f(2)f(3),则k= ,f(
6、x)= .,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,二次函数的图象与性质(考点难度) 【例2】 (1)(2017浙江高考)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m( ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,(2)(2017浙江湖州调研)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x-4,6. 当a=-2时,求f(x)的最值; 求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间-4,6上是单调函数; 当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.,解:当a=-2时
7、,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x-4,6,f(x)在-4,2上单调递减,在2,6上单调递增, f(x)的最小值是f(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15, 故f(x)的最大值是35. 由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在-4,6上是单调函数,应有-a-4或-a6,即a-6或a4,故a的取值范围是(-,-64,+).,-20-,考点一,考点二,考点三,当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3,其图象如图所示,又x-4,6,f(|x|)在区间-4,-1)和0,1)上为减函数,在区间-1,0)和1,6上为增函数.,-21-,考点一,
8、考点二,考点三,方法总结1.二次函数的单调性有关的问题,应结合其图象求解,要特别注意对图象的开口方向以及对称轴进行分析、讨论. 2.解决二次函数在闭区间上最值问题的关键就是“两点一线”,“两点”就是指闭区间的两个端点,“一线”就是指二次函数图象的对称轴.确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.,-22-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2018浙江台州中学高三模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,若方程f(x)=x无实根,则方程f(f(x)=x( ) A.有四个相异实根 B.有两个相异实根 C.有一个实根 D.无实数根,答案,解析,-23-,考点一,考点二
9、,考点三,(2)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上的最大值为2,则a的值为 ( ) A.2 B.-1或-3 C.2或-3 D.-1或2,D,解析:函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下: 当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是减函数, f(x)max=f(0)=1-a,由1-a=2,得a=-1. 当0a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,a上是增函数,在a,1上是减函数, f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,-24-,考点一,考点二,考点三,01时,函
10、数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是增函数, f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2, a=2. 综上可知,a=-1或a=2.,-25-,考点一,考点二,考点三,二次函数的综合应用(考点难度),【例3】 (1)(2018浙江诸暨高三5月适应性考试)已知a,b,cR+(ac),关于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三个不相等实根,且函数f(x)=|x2-ax+b|+cx的最小值是c2,则 = .,5,解析:关于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三个不相等实根, 可得直线y=cx与y=-x2+ax-b相切,设切点为(m,n),y=-2x+a,则-2m+a=c,cm=-m
11、2+am-b,即有函数f(x)=|x2-ax+b|+cx,-26-,考点一,考点二,考点三,可得a2-4b=(a-2c)2, 即为a2-(a-c)2=(a-2c)2, 化为(a-5c)(a-c)=0,-27-,考点一,考点二,考点三,(2)(2017浙江高考样卷)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)在区间(0,1)内有两个零点,则3a+b的取值范围是 .,答案,解析,-28-,考点一,考点二,考点三,方法总结与二次函数有关的恒成立问题,通常要采用数形结合的方法求解:,(2)不等式在给定区间上恒成立问题,常用极端思想进行求解. 即af(x)(xD)af(x)min(xD), af(x)(
12、xD)af(x)max(xD).,-29-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2018浙江杭州二中6月热身)已知函数f(x)=x2-2mx+m+2,g(x)=mx-m,若存在实数x0R,使得f(x0)0且g(x0)0同时成立,则实数m的取值范围是 .,答案,解析,-30-,考点一,考点二,考点三,(2)若f(x)=x2+ax+b(a,bR),x-1,1,且|f(x)|的最大值为 ,则4a+3b= .,答案,解析,-31-,思想方法分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用 在分类讨论时要遵循分类的原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原则地
13、分类讨论. 二次函数图象的对称轴或者区间是变化的,则需要根据影响变化的量确定区间和对称轴的相对位置,从而确定二次函数的单调性和最值.,-32-,【典例】 (2017浙江诸暨中学期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,其中常数a,b,cR. (1)若f(3)=f(-1)=-5,且f(x)的最大值是3,求函数f(x)的解析式; (2)当a=1时,若对任意的x1,x2-1,1,有|f(x1)-f(x2)|4,求b的取值范围.,解得a=-2,b=4,c=1, f(x)=-2x2+4x+1.,-33-,(2)函数f(x)=x2+bx+c对任意的x1,x2-1,1,有|f(x1)-f(x2)|4恒成
14、立,即f(x)max-f(x)min4, 记f(x)max-f(x)min=M,则M4.,解得|b|2,即-2b2. 综上,b的取值范围为-2b2. 答题指导含参二次函数最值问题一般根据开口情况、对称轴位置等进行分类讨论,降低参数所带来的解题难度.,-34-,对点训练已知函数f(x)=(x-t)|x|(tR). (1)求函数y=f(x)的单调区间; (2)当t0时,若f(x)在区间-1,2上的最大值为M(t),最小值为m(t),求M(t)-m(t)的最小值.,-35-,(2)由(1)知,t0时函数y=f(x)在(-,0)上递增,m(t)=minf(-1),f(2)=min-1-t,4-2t. 所以,当4t5时,m(t)=-1-t,此时M(t)-m(t)=1+t5;当t5时,m(t)=4-2t,此时M(t)-m(t)=2t-46.,此时,M(t)-m(t)=5-t3. 综上所述,当t=2时,M(t)-m(t)取得最小值为3.,-36-,高分策略1.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.如果幂函数与坐标轴有交点,则交点一定是原点. 2.对于函数y=ax2+bx+c,若它是二次函数,则必须满足a0.当题目条件中未说明a0时,就要分a=0和a0两种情况讨论. 3.对于与二次函数有关的不等式恒成立问题或存在性问题,应注意进行等价转化.,
