1、1考点规范练 4 函数的单调性与最值基础巩固组1.下列函数 f(x)满足“对于任意 x1,x2(0, + ),当 x1f f(-) B.f f(-1)f(-)( 3) ( 3)C.f(-) f(-1)f D.f(-1)f(-) f( 3) ( 3)答案 A 解析 由题意得,0 f f() =f(-),故选 A. 3 ( 3)4.设偶函数 f(x)在0, + )上单调递增,则使得 f(x)f(2x-1)成立的 x 的取值范围是( )A. B. (1, + )(13,1) (- ,13)C. D.(-13,13) (- ,-13) (13,+ )答案 A 2解析 由 f(x)为偶函数, f(x)f
2、(2x-1)可化为 f(|x|)f(|2x-1|),又 f(x)在0, + )上单调递增,所以 |x|2x-1|,解得 - B.a -14 14C.- a3 解析 由 f(x)=(a2-2a-2)x是增函数可得 a2-2a-21,解得 a3.7.设 f(x)= 则 f(f(4)= ,函数 f(x)的单调递减区间是 .-x2+2x,x 2,log2x-1,x2,答案 1 1,2解析 f(4)=log24-1=1,f(f(4)=f(1)=-12+21=1;当 x2 时, f(x)=-x2+2x,对称轴为 x=1;所以 f(x)在1,2单调递减,所以 f(x)的单调递减区间是1,2 .8.已知函数
3、f(x)= 若不等式 f(x)a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 .x2-2,x-1;当 x -1 时, f(x) - .即所以实数 a 的取值范围是( - ,-1,故应填( -12 ,-1.能力提升组9.已知 f(x)是(0, + )的增函数,若 ff(x)-ln x=1,则 f(e)= ( )A.2 B.1 C.0 D.e答案 A 解析 由题意得 f(x)-lnx 为常数,设为 a,则 f(a)-lna=a,又因为 f(a)=1,所以 1-lna=a,可解得 a=1,因此 f(e)=lne+1=2,故选 A.310.已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间( - ,0)上单调递减
4、,若实数 a 满足 f(3|2a+1|)f(- ),3则 a 的取值范围是 ( )A.(- ,-34) (-14,+ )B.(- ,-34)C.(-14,+ )D.(-34,-14)答案 A 解析 函数 f(x)是偶函数,f (3|2a+1|)f(- ),等价为 f(3|2a+1|)f( ),3 3 偶函数 f(x)在区间( - ,0)上单调递减,f (x)在区间0, + )上单调递增, 3|2a+1| ,即 2a+1 ,解得 a- ,故选 A.312 12 34 1411.若函数 f(x)=x2+a|x|+2,xR 在区间3, + )和 上均为增函数,则实数 a 的取值范围-2,-1是( )
5、A. B.-113,-3 -6,-4C. D.-3,-2 2 -4,-3答案 B 解析 由函数 f(x)为 R 上的偶函数知,只需考察 f(x)在(0, + )上的单调性,因为函数 f(x)=x2+a|x|+2,xR 在区间3, + )和 -2,-1上均为增函数,所以 f(x)在3, + )上为增函数,在1,2上为减函数,则只需函数 y=x2+ax+2 的对称轴 x=- 2,3,故 a -6,-4,故选 B.a212.已知 f(x)是定义在(0, + )的函数 .对任意两个不相等的正数 x1,x2,都有 0,记 a=x2f(x1)-x1f(x2)x1-x2,b= ,c= ,则( )f(30.2
6、)30.2 f(0.32)0.32 f(log25)log25A.a0,x2f(x1)-x1f(x2)x1-x24 函数 是(0, + )上的增函数,f(x)x 12, 0.320,a0)的定义域和值域都是0,1,则 loga +loga =( )a-ax56 485A.1 B.2 C.3 D.4答案 C 解析 当 a1 时,函数在0,1上单调递减,所以 =1,且 =0,解得 a=2.a-1 a-a当 01 的 x 的取值范围是 .x+1, x 0,2x,x0, (x-12)答案 (-14,+ )解析 f (x)= f(x)+f 1,即 f 1-f(x),利用图象变换,在同一平面直角x+1,x
7、 0,2x,x0, (x-12) (x-12)坐标系中画出 y=f 与 y=1-f(x)的图象,如图所示 .(x-12)由数形结合可知,满足 f 1-f(x)的解为 .(x-12) (-14,+ )15.已知函数 f(x)=ex-x-1(x0), g(x)=-x2+4x-3,若 f(a)=g(b),则 b 的最大值是 . 答案 3 解析 由 f(x)=ex-x-1(x0),知 f(x)=ex-10,即函数 f(x)=ex-x-1 在(0, + )上单调递增,即函数f(x)=ex-x-1(x0)的最小值为 f(0)=0,值域为(0, + ),二次函数 g(x)=-x2+4x-3 开口朝下,对称轴
8、为 x=2,与 x 轴的交点为(1,0),(3,0),要使 f(a)=g(b),则 b1,3有解 .故答案为 3.16.(2017 浙江杭州高级中学模拟)设 a0,此时当 x=0 时,3 x2+a=a0 不成立, 若2x+b0 在( a,b)上恒成立,则 2b+b0,即 b0,若 3x2+a0 在( a,b)上恒成立,则 3a2+a0,即 - a0,故 b-a 的最大值为 ,故答案为: .13 13 1317.已知函数 f(x)= -1,k0, kR .2xk+12x(1)讨论 f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)已知 f(x)在( - ,0上单调递减,求实数 k 的取值范围 .解 (1)函数
9、 f(x)= -1,k0, kR 的定义域为 R,2xk+12xf(-x)= -1= +2x-1.则当 k=1 时,有 f(-x)=f(x),此时 f(x)为偶函数,当 k1 时, f(-2-xk + 12-x 1k2xx) f(x)且 f(-x) -f(x),此时 f(x)为非奇非偶函数 .(2)设 t=2x,x( - ,0,则有 00,y= -1 在(0, 单调递减,在( ,+ )上单调递增,已知 f(x)在( - ,0上单调递tk+1t k k减,必有 1,即 k1 .k综上所述,实数 k 的取值范围为( - ,0)1, + ).18.已知函数 f(x)=lg 为奇函数 .(1-mx1-
10、x)(1)求 m 的值,并求 f(x)的定义域;(2)判断函数 f(x)的单调性,并证明;(3)若对于任意 0, ,是否存在实数 ,使得不等式 f cos2+ sin - -lg 30.若存在, 2 13求出实数 的取值范围;若不存在,请说明理由 .解 (1) 函数 f(x)=lg 为奇函数,(1-mx1-x)f (-x)=-f(x)在定义域内恒成立,即 lg =-lg ,(1+mx1+x) (1-mx1-x)即 lg +lg =0,(1+mx1+x) (1-mx1-x)则 =1,即 1-m2x2=1-x2,在定义域内恒成立,1+mx1+x1-mx1-x6m=- 1 或 m=1,当 m=1 时, f(x)=lg =lg1=0,定义域为 x|x1,故不为奇函数,故舍去 .(1-mx1-x)当 m=-1 时,此时 f(x)=lg ,1+x1-x由 0,解得 -10 成立,即不等式 f(cos2 + sin -13)lg3=f ,(cos2 + sin -13) (12)由(1)(2)知: 12当 时,令 sin=t ,则 ,(0, 2 -t2+t -16即 ,则 56 56 233
