1、1考点规范练 8 对数与对数函数基础巩固组1.已知 a=log23+log2 ,b=log29-log2 ,c=log32,则 a,b,c的大小关系是( )3 3A.a=bc C.abc答案 B 解析 因为 a=log23+log2 =log23 log231,b=log29-log2 =log23 =a,c=log32c.2.已知函数 y=loga(x+b)(a,b为常数,其中 a0,且 a1)的图象如图,则下列结论成立的是 ( )A.a1,b1B.a1,01D.00, 1+b1,b0,b=log20.30,a+b0,可解得 x3.从而可知函数 y= (x2-4x+3)的定义域为( - ,1
2、)(3, + ).log13 函数 u=x2-4x+3的图象的对称轴为 x=2,且开口向上, 函数 u=x2-4x+3在( - ,1)上是减函数,在(3, + )上是增函数 . 函数 y= u在(0, + )上log13是减函数, 函数 y= (x2-4x+3)的单调递减区间为(3, + ),单调递增区间为 (- ,1).log136.设函数 f(x)=lg(x2-x)-lg(x-1),且 f(x0)=2,则 x0= . 答案 100 解析 x 2-x0,x-10,x 1,f (x)=lg(x2-x)-lg(x-1)=lgx,又 f (x0)=2,x 0=100.7.若函数 f(x)=log2
3、(-x2+ax)的图象过点(1,2),则 a= ;函数 f(x)的值域为 . 答案 5 (- ,log2254解析 因为函数 f(x)=log2(-x2+ax)的图象过点(1,2),所以 f(1)=log2(a-1)=2,解得 a=5.所以 f(x)=log2(-x2+5x)=log2 log 2 .所以函数 f(x)的值域为 .-(x-52)2+254 254 (- ,log22548.函数 f(x)=log2 log24x的最小值为 .此时 x的值是 . x答案 - 12 12解析 f(x)=log2 log24x= log2x(2+log2x),x12令 log2x=t,tR,则 y=
4、t(2+t)= t2+t,当 t=-1时,12 12函数取到最小值为 - ,此时 x= .12 12能力提升组9.若 a=log e,b= ,c=log3sin ,则( )2cos73 176A.bac B.bca C.abc D.cab3答案 A 解析 a(0,1), b= ,cac,选 A.212= 210.(2017课标 高考)已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线 x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案 C 解析 f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(-x2
5、+2x),x(0,2) .当 x(0,1)时, x增大, -x2+2x增大,ln( -x2+2x)增大,当 x(1,2)时, x增大, -x2+2x减小,ln( -x2+2x)减小,即 f(x)在(0,1)单调递增,在(1,2)单调递减,故排除选项 A,B;因为 f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x),所以 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称,故排除选项 D.故选 C.11.(2018浙江嵊州高三二模)函数 f(x)=ln (a,bR,且 ab0)的奇偶性( )a+bxa-bxA.与 a有关,且与 b有关 B.与 a有关,但与 b无关C.与 a无
6、关,但与 b有关 D.与 a无关,且与 b无关答案 D 解析 因为 f(-x)=ln =ln -1=-ln =-f(x),所以函数的奇偶性与 a,b都无关 .故选 D.a-bxa+bx a+bxa-bx a-bxa+bx12.若函数 f(x)是 R上的单调函数,且对任意实数 x,都有 f ,则 f(log23)=( )f(x)+22x+1=13A.1 B. C. D.045 12答案 C 解析 函数 f(x)是 R上的单调函数,且 f ,f (x)+ =t(t为常数), f(x)=t-f(x)+22x+1=13 22x+1.又 f(t)= ,22x+1 13t- .令 g(x)=x- ,显然函
7、数 g(x)在 R上单调递增,而 g(1)= ,t= 1.f (x)=1-22t+1=13 22x+1 13f(log23)=1- .故选 C.22x+1 22log23+1=1213.已知函数 f(x)= (a0,且 a1)在 R上单调递减,且关于 x的方程x2+(4a-3)x+3a,x 0时,解得 a1.34又 a ,a .13,34 13,34) 方程有一负根 x0和一零根,则有 x00=3a-2=0,解得 a= .此时 x0+0=2-4a=- b 1 解析 a=log231,b=log32b,ab=log23log32=1.15.已知函数 f(x)=|log2x|,正实数 m,n满足
8、m|log2n|.f (x)=|log2x|在区间 m2,n上的最大值为 2,| log2m2|=2,即 |log2m|=1,m= (m=2舍去),12n= 2.m+n= .5216.(2018浙江杭师大附中高三 5月模考)设函数 f(x)的定义域为 D,若函数 f(x)满足条件:存在a,bD,使 f(x)在 a,b上的值域是 ,则称 f(x)为“半缩函数”,若函数 f(x)=log2(2x+t)为a2,b2“半缩函数”,则实数 t的取值范围是 . 答案 0, 14解析 函数 f(x)=log2(2x+t)为“半缩函数”,且满足存在 a,b,使 f(x)在 a,b上的值域是 ,因a2,b2为
9、f(x)在 a,b上是增函数,所以有 所以 a,b是方程 2x- +t=0log2(2a+t)=a2,log2(2b+t)=b2,即 2a+t=2a2,2b+t=2b2, 2x2的两个根,设 m= ,则 m0,此时方程为 m2-m+t=0,即方程有两个不相等的实根,且根都大于零,所2x2= 2x以 解得 t的取值范围 00,t0, 1417.已知函数 f(x)=loga (a0,a1) .1+x1-x(1)判断 f(x)的奇偶性并予以证明;(2)判断函数的单调性,并予以证明;(3)当 a1时,求使 f(x)0的 x的解集 .解 (1)由 0解得函数的定义域为 x( -1,1).1+x1-x因为
10、 f(-x)=loga =loga -1=-loga =-f(x),所以函数为奇函数 .1-x1+x 1+x1-x 1+x1-x6(2)令 t= =- =-1+ ,因为 t=-1+ 在 x( -1,1)上为单调增函数,根据复合函数单1+x1-x x-1+2x-1 -2x-1 -2x-1调性可判断,当 a1时, y=logat为增函数,此时 f(x)=loga (a0,a1)为增函数;1+x1-x当 00,a1)为减函数 .1+x1-x(3)因为 a1,所以 1,解得 00的 x的解集为(0,1) .1+x1-x18.已知函数 f(x)=loga(3-ax).(1)当 x0,2时,函数 f(x)
11、恒有意义,求实数 a的取值范围;(2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为 1?如果存在,试求出 a的值;如果不存在,请说明理由 .解 (1)a 0且 a1,设 t(x)=3-ax,则 t(x)=3-ax为减函数, x0,2时, t(x)最小值为 3-2a,当x0,2, f(x)恒有意义,即 x0,2时,3 -ax0恒成立 . 3-2a0.a0且 a1, a (0,1) .(1,32)(2)t(x)=3-ax,a 0, 函数 t(x)为减函数,f (x)在区间1,2上为减函数, y= logat为增函数,a 1,x1,2时, t(x)最小值为 3-2a,f(x)最大值为 f(1)=loga(3-a), 3-2a0,loga(3-a)=1,即 a32,a=32,故不存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为 1.
