1、第五章 平面向量、数系的 扩充与复数的引入,5.1 平面向量的概念及线性运算,-3-,-4-,知识梳理,双击自测,1.向量的有关概念,-5-,知识梳理,双击自测,规定:零向量与任一向量平行 .,-6-,知识梳理,双击自测,2.向量的线性运算,-7-,知识梳理,双击自测,-8-,知识梳理,双击自测,3.向量共线定理 向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有 一个实数,使得b=a .,-9-,知识梳理,双击自测,1.给出下列命题: 两个具有共同终点的向量,一定是共线向量; 若A,B,C,D是不共线的四点,则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; 若a与b同向,且|a|b|,则ab; ,为实数
2、,若a=b,则a与b共线. 其中假命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,3.(教材改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且,答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,答案,解析,-13-,知识梳理,双击自测,5.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数= .,答案,解析,-14-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.向量常用有向线段表示,但向量与有向线段是两个不同的概念,有向线段由起点、终点唯一确定,而向量是由大小和方向来确定的.向量不能比较大小,但它们的模可以比较大小. 2.
3、向量线性运算和实数不同,运算律要结合起来记忆. 3.向量共线与线段共线不同,前者的起点可以不同,而后者必须在同一直线上.同样,两个平行向量与两条平行直线也是不同的,因为两个平行向量可以移到同一直线上. 4.零向量的方向是任意的,它与任何向量都平行(共线).,-15-,考点一,考点二,考点三,平面向量的有关概念辨析(考点难度) 【例1】 (1)下列命题中,正确的是 .(填序号) 有向线段就是向量,向量就是有向线段; 向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;,如果ab,bc,那么ac; 两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.,答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,(2)给出下列
4、命题: 若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共线的四点,则,相等,则它们的起点相同,终点相同;a=b的充要条件是|a|=|b|且ab. 其中真命题的序号是 .,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,方法总结对于向量的概念应注意以下几条: (1)向量的两个特征:大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示; (2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量则未必是相等向量; (3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,但向量的模是非负实数,故可以比较大小. (4)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解
5、题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.,-18-,考点一,考点二,考点三,对点训练给出下列命题: 两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; a=0(为实数),则必为零; ,为实数,若a=b,则a与b共线. 其中假命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,平面向量的线性运算(考点难度),答案,解析,【例2】 (1)在梯形ABCD中,ADBC,已知AD=4,BC=6,若,-20-,考点一,考点二,考点三,中成立的是( ),答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充
6、分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来. 2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用. 3.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:(1)观察各向量的位置;(2)寻找相应的三角形或多边形;(3)运用法则找关系;(4)化简结果.,-22-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)在ABC中,设三边AB,BC,CA的中点分别为E,F,D,则,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,向量共线定理及其应用(考点难
7、度),A.A,B,C B.A,B,D C.B,C,D D.A,C,D,答案,解析,-25-,考点一,考点二,考点三,中R,则点P一定在( ) A.ABC的内部 B.AC边所在直线上 C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上,答案,解析,-26-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-27-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. 2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0,当且仅当1=2=0时成立,则向量a,b不共线.,-28-,考
8、点一,考点二,考点三,则ABC与AOC的面积之比为 .,答案,解析,-29-,考点一,考点二,考点三,(2)在ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,答案,解析,-30-,易错警示都是零向量“惹的祸” 向量是既有大小,又有方向的量.零向量是特殊向量,规定方向与任意向量平行.因此,在判断向量关系时,要注意零向量的特殊性.此外,还要注意零向量与实数0的差别.,-31-,【典例】 下列命题正确的是 . (1)向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数,使b=a;,(3)不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中两个等号不可能同时成立; (4)只有方向相同或相反的向量是平行向量; (5)
9、若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线. 答案:(5) 解析:显然(1)(2)(3)(4)不正确. 向量a与b不共线,向量a,b,a+b与a-b均不为零向量. 对于(5),若a+b与a-b平行,则存在实数使a+b=(a-b),即(-1)a=(1+)b, 无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.,-32-,答题指导在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量往往会得出错误的判断或结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.,-33-,对点训练下列叙述错误的是 . 若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同; |a|+|b|=|a+b|a与b方向相同;,若a=b,则a=b.,答案,解析,-34-,高分策略1.两向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两相等向量,不一定有相同的起点和终点. 2.零向量和单位向量是两个特殊的向量.它们的模确定,但方向不确定. 3.注意区分向量共线与向量所在的直线平行间的关系.向量 是共线向量,但A,B,C,D四点不一定在一条直线上. 4.向量共线的充要条件中要注意“a0”,否则可能不存在,也可能有无数个.,
