1、5.3 平面向量的数量积,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0. (2)几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 2.平面向量数量积的运算律 (1)ab=ba(交换律). (2)ab=(ab)=a(b)(结合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,-4-,知识梳理,双击自测,3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1)
2、,b=(x2,y2),为向量a,b的夹角. (1)数量积:ab=|a|b|cos =x1x2+y1y2 .,(5)已知两非零向量a与b,abab=0x1x2+y1y2=0 ; abab=|a|b|. (6)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2+y1y2|,-5-,知识梳理,双击自测,1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,答案,解析,-6-,知识梳理,双击自测,2.(教材改编)已知|a|=3,|b|=4,且向量a与b的夹角为135,则ab= .,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,3.(2017课标高考)已知向
3、量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,则m= .,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,4.(教材改编)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角=120,则向量b在向量a方向上的投影为 .,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,5.已知a=(2,-1),b=(,3),若a与b的夹角为钝角,则的取值范围是 .,答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.对于两个非零向量a与b,由于当=0时,ab0,所以ab0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;ab=0也不能推出a=0或b=0,因为ab=0时,有可能ab. 2.在实数运算中,若a,bR,则|ab|=|a|b|;若a
4、b=ac(a0),则b=c.但对于向量a,b却有|ab|a|b|;若ab=ac(a0),则b=c不一定成立.原因是ab=|a|b|cos ,都是cos “惹的祸”. 3.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.,-11-,考点一,考点二,考点三,平面向量数量积的运算(考点难度),【例1】 (1)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若,答案,解析,-12-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,方法总结向量数量积的两种运算方法 (1)
5、当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos; (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,-14-,考点一,考点二,考点三,对点训练,A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I3,答案,解析,-15-,考点一,考点二,考点三,(2)已知向量a=(2,3),b=(-4,7),则a在2 b方向上的投影为( ),答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,平面向量数量积的性质(考点难度) 考情分析平面向量数量积的性质是高考考查的重点和热点,运用两向量的数量积可解决长度、夹角、
6、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.,-17-,考点一,考点二,考点三,类型一 平面向量的模,答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,类型二 平面向量的夹角,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,类型三 平面向量的垂直问题 【例4】 (2017课标高考)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m= .,答案,解析,-20-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.利用数量积求解长度问题的处理方法:,2.求两非零向量的夹角时要注意:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为
7、钝角. 3.证明或利用两向量的垂直关系时要注意: 数量积的运算ab=0x1x2+y1y2=0.ab是对非零向量而言的,若a=0,虽然有ab=0,但不能说ab.,-21-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos= .若n(tm+n),则实数t的值为( ),答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,(2)已知|a|=3,|b|=4,ab=0,若向量c满足(a-c)(b-c)=0,则|c|的取值范围是 .,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,平面向量数量积的应用(考点难度) 【例5】 已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向
8、量e,均有|ae|+|be| ,则ab的最大值是 .,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,方法总结平面向量的数量积作为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的桥梁,特别是在函数、三角函数、不等式、平面解析几何问题上的研究,更是体现了向量的工具价值.向量的坐标表示,使平面向量与直角坐标系中的点建立了一一对应的关系,构建了用“数”的运算处理“形”的问题的一种新模式.,-25-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-26-,思想方法函数思想与数形结合思想在数量积中的应用 求向量数量积应用问题经常需要函数思想与数形结合思想.数量积相关的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数,
9、利用求函数值域的方法确定最值,体现了函数思想的运用,又多与二次函数与基本不等式相联系;另一方面与数量积相关的问题如果几何意义较明显,可以根据条件,利用向量的线性运算的几何意义,依据图形通过数形结合求最值.,-27-,-28-,-29-,-30-,-31-,-32-,答题指导上面两题分别从代数和几何两个方面入手得到最值.在解决向量数量积的相关问题时,我们可以从这两个方面入手思考问题. 高分策略1.|ab|a|b|当且仅当ab时等号成立.这是因为|ab|=|a|b|cos |,而|cos |1. 2.两个非零向量a与b垂直的充要条件是ab=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是ab=|a|b|. 3.两向量的夹角为锐角cos 0且cos 1.,-33-,4.一些常见的错误结论: (1)若|a|=|b|,则a=b; (2)若a2=b2,则a=b; (3)若ab,bc,则ac; (4)若ab=0,则a=0或b=0; (5)|ab|=|a|b|; (6)(ab)c=a(bc); (7)若ab=ac,则b=c.,
