1、5.5 数系的扩充与复数的引入,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.复数的有关概念 (1)复数的概念:形如a+bi(a,bR)的数叫做复数,其中a,b分别是它的实部 和虚部 . 若b=0 ,则a+bi为实数; 若b0 ,则a+bi为虚数; 若a=0且b0 ,则a+bi为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+dia=c且b=d (a,b,c,dR). (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭a=c,b=-d (a,b,c,dR). (4)复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面. x轴 叫做实轴,y轴 叫做虚轴.实轴上的点都表示实数 ;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 ;各象限内的
2、点都表示非纯虚数. (5)复数的模:向量 的模r叫做复数z=a+bi的模,记作|z| 或|a+bi| ,即|z|=|a+bi|=,-4-,知识梳理,双击自测,2.复数的几何意义,3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ; 减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ; 乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ;,-5-,知识梳理,双击自测,(2)复数加法的运算定律:复数的加法满足交换律、结合
3、律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1 ,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) . (3)加法几何意义:复数加减法可按向量的平行四边 形或三角形法则进行.,-6-,知识梳理,双击自测,1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( ) A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i,答案,解析,-7-,知识梳理,双击自测,2.设i是虚数单位,复数1-2i的虚部是( ) A.-2 B.2 C.-2i D.2i,答案,解析,-8-,知识梳理,双击自测,A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-I,答案,解
4、析,-9-,知识梳理,双击自测,4.下列命题中: 若z1-z20,则z1z2;,正确的命题是 .,答案,-10-,知识梳理,双击自测,5.如果(a+b)+(b-1)i=(2a+3b)+(2b+1)i,则实数a= ,b= .,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解,且方程的根成对出现. 2.在复数中,两个虚数不能比较大小. 3.利用复数相等,如a+bi=c+di列方程时,a,b,c,dR是前提条件.,-12-,考点一,考点二,考点三,复数的有关概念(考点难度),【例1】 (1)已知复数 (i是虚数单位)是纯虚数,则实数a=( ) A.-2
5、 B.-1 C.0 D.2,答案,解析,-13-,考点一,考点二,考点三,(2)设复数z= (其中i为虚数单位),则复数z的实部为 ,虚部为 .,答案,解析,-14-,考点一,考点二,考点三,方法总结对于复数z=a+bi,必须满足a,b均为实数,才能得出实部为a,虚部为b.对于复数相等必须先化为a+bi(a,bR)的形式,才能比较实部与虚部.,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)(2017天津高考)已知aR,i为虚数单位,若 为实数,则a的值为 .,答案,解析,-16-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-17-,考点一,考点二,考点三,复数的几何意义(考点难度) 【例2】 (1
6、)(2017北京高考)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是( ) A.(-,1) B.(-,-1) C.(1,+) D.(-1,+),答案,解析,-18-,考点一,考点二,考点三,(2)(2017浙江金丽二模)设z是复数,|z-i|2(i是虚数单位),则|z|的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,-19-,考点一,考点二,考点三,2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.,-20-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)已知复数z在复平
7、面上对应的点为Z(2,-1),则( ) A.z=-1+2i B.|z|=5 C. =-2-i D.z-2是纯虚数,答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,(2)复数z= (其中i为虚数单位)的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,复数的代数运算(考点难度),【例3】 (1)(2018浙江高考)复数 (i为虚数单位)的共轭复数是( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i,答案,解析,-23-,考点一,考点二,考点三,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,方法总
8、结复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.,-25-,考点一,考点二,考点三,对点训练(1)设复数z满足 =i,则|z|=( ),答案,解析,-26-,考点一,考点二,考点三,A.i B.-i C.-22 017i D.22 017i,答案,解析,-27-,思想方法方程思想在解决复数问题的应用 方程思想是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质,借助两个复数相等,可以列出方程(组)来求未知数的值.,-28-,【典例】 (2017浙江高考)已知a,bR,(a+bi
9、)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2= ,ab= . 答案:5 2 解析:由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,答题指导在解决与复数相等有关的问题中,设z=a+bi(a,bR),利用复数相等的相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.,-29-,对点训练已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根b,且z=a+bi,则复数z的共轭复数等于( ) A.2-2i B.2+2i C.-2+2i D.-2-2i,答案,解析,-30-,高分策略1.判定复数是不是实数,仅注意虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.注意复数和虚数是包含关系,不能把复数等同为虚数,如虚数不能比较大小,但说两个复数不能比较大小就不对了. 3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2C, =0,就不能推出z1=z2=0;z20在复数范围内有可能成立.,
