1、1考点规范练 24 平面向量的数量积基础巩固组1.已知向量 a,b满足 |a|=1,ab=-1,则 a(2a-b)=( )A.4 B.3 C.2 D.0答案 B解析 a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选 B.2.已知向量 ,则 ABC=( )BA=(12,32),BC=(32,12)A.30 B.45 C.60 D.120答案 A解析 由题意得 cos ABC= ,所以 ABC=30,故选 A.BABC |BA|BC|=1232+ 321211 = 323.设 a,b均为单位向量,则“ |a-3b|=|3a+b|”是“ab”的 ( )A.充分而不必要条件 B.必
2、要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 |a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2,因为 a,b均为单位向量,所以a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b2ab=0ab,即“ |a-3b|=|3a+b|”是“ab”的充分必要条件 .故选 C.4.若 |a|=1,|b|=2,且(a +b)a,则 a与 b的夹角是( )A B C D.6 .3 .56 .23答案 D解析 (a+b)a(a+b)a =0a2+ab=0,即 |a|2+|a|b|cos= 0(其中 为 a与 b的夹角),即 12+12cos= 0cos
3、=- ,由于 0 ,解得 = ,故选 D.12 235.(2017浙江绍兴二模)已知点 A(0,1),B(-2,3),C(-1,2),D(1,5),则向量 方向上的投影为( )AC在 BDA B.- C D.-.21313 21313 .1313 1313答案 D解析 =(-1,1), =(3,2), 方向上的投影为 | |cos= AC BD AC在 BD AC AC,BD=- 故选 D.ACBD|BD|= -13+1232+22 = -113 1313.26.(2017浙江温州瑞安检测)已知 a,b,c是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2),|b|=1,且 a+b与a-2b垂直,则向
4、量 ab= ;a与 b的夹角 的余弦值为 . 答案 3 355解析 (a+b)(a-2b), (a+b)(a-2b)=0,即|a| 2-ab-2|b|2=0, 5-ab-2=0, ab=3, cos=ab|a|b|=355.7.已知非零向量 m,n满足 4|m|=3|n|,cos= 若 n( tm+n),则实数 t的值为 . 13.答案 -4解析 由 4|m|=3|n|,可设|m |=3k,|n|=4k(k0),又 n( tm+n),所以 n(tm+n)=ntm+nn=t|m|n|cos+|n|2=t3k4k +(4k)132=4tk2+16k2=0,所以 t=-4.8.在 ABC中,已知 =
5、4,| |=3,M,N分别是 BC边上的三等分点,则 的值是 .ABAC BC AMAN答案 6解析 记 BC中点为 D,则由 ( )2-( )2= (2 )2- = =4,得ABAC=14 AB+AC AB-AC 14 AD CB2 AD2-94AD2=254.所以 ( )2-( )2= (2 )2- =6.AMAN=14 AM+AN AM-AN 14 AD 14MN2=AD2-14=254-14能力提升组9.设 a,b,c均为非零向量,若 |(a+b)c|=|(a-b)c|,则( )A.ab B.abC.ac 或 bc D.ac 或 bc答案 D解析 因为 a,b,c均为非零向量,若|(a
6、+b)c|=|(a-b)c|,所以(a+b)c=(a-b)c,或者(a+b)c=-(a-b)c,展开整理得到 bc=0,或者 ac=0,所以 bc 或 ac .故选 D.310.如图,在平面四边形 ABCD中, AB BC,AD CD, BAD=120,AB=AD=1.若点 E为边 CD上的动点,则 的最小值为( )AEBEA B.2116 .32C D.3.2516答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系,则 A ,B ,C ,D ,(0,-12) (32,0) (0,32) (- 32,0) 点 E在 CD上,则 = (0 1),设 E(x,y),DE DC则 = ,即 由此可得 E ,
7、且(x+32,y) (32,32) x+32= 32 ,y=32 , (32 - 32,32 ),由数量积的坐标运算法则可得,AE=(32 - 32,32 +12),BE=(32 - 3,32 ),整理可得 (4 2-2+ 2)AEBE=(32 - 32)(32 - 3)+32 (32 +12) AEBE=34(0 1),结合二次函数的性质可知,当 = 时, 取得最小值 故选 A.14 AEBE 2116.411.在梯形 ABCD中, AB DC,AB AD,AD=DC=1,AB=2,若 ,则 | +t |(tR)的取值范AP=16AD+56AB BCPB围是( )A B. ,+ ).55,+
8、 ) 2C D.1,+ ).55,1答案 A解析 , 点 P的位置在线段 BD的六等分点(最靠近点 B的分点) .而 AP=16AD+56AB| +t |(tR) =| -t |(tR),即为点 C与直线 BD上的动点 Q所连线段的长度 .当点 Q在直线BCPB BCBPBD上,且 CQ BD时,长度最小为 |CQ|= 又点 Q在直线 BD上运动,故长度可无限增大,没有上界 .故55.选 A.12.已知 a,b,e是平面向量,e 是单位向量 .若非零向量 a与 e的夹角为 ,向量 b满足 b2-4eb+3=0,则3|a-b|的最小值是( )A -1 B +1 C.2 D.2-. 3 . 3 3
9、答案 A解析 设 a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n),则由 = 得 ae=|a|e|cos ,x= ,y= x,由3 3 12 x2+y2 3b2-4eb+3=0得 m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,因此 |a-b|的最小值为圆心(2,0)到直线 y= x的距3离 减去半径 1,为 -1,故选 A.232 = 3 313.记 M的最大值和最小值分别为 Mmax和 Mmin.若平面向量 a,b,c满足 |a|=|b|=ab=c(a+2b-2c)=2,则( )A.|a-c|max= B.|a+c|max=3+ 72 3- 72C.|a-c|min= D.|a+c|min
10、=3+ 72 3- 72答案 A解析 由已知可得,ab =|a|b|cos= 2,则 cos= ,=12 3.建立平面直角坐标系,a = =(2,0),b= =(1, ),c= =(x,y),由 c(a+2b-2c)=2,OA OB 3 OC可得( x,y)(4-2x,2 -2y)=2,35即 4x-2x2+2 y-2y2=2,3化简得点 C轨迹,( x-1)2+(y-32)2=34.则 |a-c|= ,(x-2)2+y2转化为圆上点( x,y)与(2,0)的距离|a-c|max= 12+(32)2+ 32= 3+ 72 .故选 A.14.已知向量 =(3,-4), =(6,-3), =(5-
11、m,-3-m),若 ABC为锐角,实数 m的取值范围是 ;若OA OB OC ABC为钝角时,实数 m的取值范围是 . 答案 (-34,12) (12,+ ) (- ,-34)解析 由已知得 =(3,1), =(2-m,1-m).AB=OB-OA AC=OC-OA若 ,则有 3(1-m)=2-m,解得 m=AB AC12.由题设知, =(-3,-1), =(-1-m,-m).BA BC若 ABC为锐角,则由 =3+3m+m0,可得 m- ;若 ABC为钝角,则 m 0时, ,故当 = 1时, 取最小值为1x= 4 2-8 +5= (2 -2)2+1 1x1,即 1,则 0=- 因为 0,所以
12、= ,即 a+b与 a-b的夹(-2,6)(4,-2)4020 = -204020 22. 34角为34 .(2)因为 a(a + b),所以 a(a+ b)=0.又 a+ b=(1-3 ,2+4 ),所以 1-3+ 4+8= 0,解得 =- 1.18.在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,向量 m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且 mn=-35.7(1)求 sin A的值;(2)若 a=4 ,b=5,求角 B的大小及向量 方向上的投影 .2 BA在 BC解 (1)由 mn=- ,35得 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=- ,35所以 cosA=- 因为 0b,所以 AB,且 B是 ABC的内角,则 B=4.由余弦定理得(4 )2=52+c2-25c ,2 (-35)解得 c=1,c=-7,舍去负值,故向量 方向上的投影为 | |cosB=ccosB=1BA在 BC BA 22= 22.
