1、1考点规范练 26 数系的扩充与复数的引入基础巩固组1.已知复数 z=(1+i)(1-ai)是实数,则实数 a的值为( )A.1 B.0 C.-1 D.1答案 A解析 z= (1+i)(1-ai)=(1+a)+(1-a)i是实数, 1-a=0,即 a=1,故选 A.2.已知 i是虚数单位,则 z= 在复平面内对应的点位于 ( )i1-2iA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 z= =- i,i1-2i= i(1+2i)(1-2i)(1+2i)= -2+i5 25+15z= 在复平面内对应的点为 ,位于第二象限,故选 B.i1-2i (-25,15)3.(2017浙江
2、高考样卷)已知复数 z= ,其中 i为虚数单位,则 |z|=( )1+iiA B C D.2.12 .22 . 2答案 C解析 由题意得 z=1-i,|z|= ,故选 C.24.(2017山东高考)已知 aR,i 是虚数单位,若 z=a+ i,z =4,则 a=( )3 zA.1或 -1 B 或 -. 7 7C.- D3 . 3答案 A解析 由 z=a+ i,z =4得 a2+3=4,所以 a=1,故选 A.3 z5.(2018全国 3)(1+i)(2-i)=( )A.-3-i B.-3+iC.3-i D.3+i答案 D解析 (1+i)(2-i)=2+i-i2=3+i.6.设复数 z= (其中
3、 i为虚数单位),则复数 z的实部为 ,虚部为 . 52-i答案 2 1解析 z= =2+i,52-i= 5(2+i)(2-i)(2+i)2 复数 z的实部为 2,虚部为 1.7.(2017浙江嘉兴一模改编)设复数 z=1-i(i是虚数单位),则 +z等于 .2z答案 2解析 +z= +1-i= +1-i=1+i+1-i=2.2z 21-i 2(1+i)(1-i)(1+i)8.已知 i为虚数单位, aR,如果复数 2i- 是实数,则 a的值为 . ai1-i答案 4解析 依题意,2i - =2i- 是实数,因此 4-a=0,a=4.ai1-i ai(1+i)(1+i)(1-i)=a+(4-a)
4、i2能力提升组9.(2017课标 高考)设有下面四个命题p1:若复数 z满足 R,则 zR;1zp2:若复数 z满足 z2R,则 zR;p3:若复数 z1,z2满足 z1z2R,则 z1= ;z2p4:若复数 zR,则 R.z其中的真命题为( )A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4答案 B解析 令 z=a+bi(a,bR),则由 R得 b=0,所以 zR,故 p1正确;当 z=i时,因为1z= 1a+bi=a-bia2+b2z2=i2=-1R,而 z=iR 知, p2不正确;当 z1=z2=i时,满足 z1z2=-1R,但 z1 ,知 p3不正确;对于 z2p4,因为
5、实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 p4正确,故选 B.10.在复平面中,满足等式 |z+i|=|4-3i|的复数 z所对应点的轨迹是( )A.一条直线 B.两条直线C.圆 D.椭圆答案 C解析 设 z=x+yi(x,yR),代入 |z+i|=|4-3i|,得 |x+(y+1)i|=|4-3i|,即,x2+(y+1)2= 42+(-3)2x 2+(y+1)2=5. 复数 z所对应点的轨迹是圆 .故选 C.11.已知复数 z=1+ ,则 1+z+z2+z2 019=( )2i1-iA.1+i B.1-i C.i D.0答案 D解析 z= 1+ =1+ =i, 1+z+z2+z
6、2019= =0.2i1-i 2i(1+i)2 1(1-z2020)1-z =1-i20201-i =1-i45051-i312.已知( -1+3i)(2-i)=4+3i(其中 i是虚数单位, 是 z的共轭复数),则 z的虚部为( )z zA.1 B.-1 C.i D.-i答案 A解析 因为( -1+3i)(2-i)=4+3i,z所以 +1-3i= +1-3i=1+2i+1-3i=2-i.所以 z=2+i,虚部为 1,故选 A.z=4+3i2-i (4+3i)(2+i)513.已知 i是虚数单位,若复数 z满足 =1-i,则复数 z在复平面上对应的点的坐标是 41+z,z = . z答案 (1
7、,2) 5解析 由 =1-i,得 z= -1=1+2i,则复数 z对应的点为(1,2), z =|z|2=5.41+z 41-i z14.(2017浙江丽水质测)若 =a+bi(a,b为实数,i 为虚数单位),则 a= ,b= .3+bi1-i答案 0 3解析 (3-b)+(3+b)i= i 解得3+bi1-i=(3+bi)(1+i)2 =12 3-b2 +3+b2 . a=3-b2,b=3+b2, a=0,b=3.15.已知 i是虚数单位, aR,复数 z1=3-ai,z2=1+2i,若 z1z2是纯虚数,则 a= . 答案 -32解析 复数 z1=3-ai,z2=1+2i,z 1z2=(3
8、-ai)(1+2i)=3+2a+(6-a)i是纯虚数,解得 a=- 3+2a=0,6-a 0, 32.16.复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点 .(1)求 所对应的复数;DC(2)这个正方形的第四个顶点对应的复数 .解 (1)如图, z1,z2,z3分别对应点 A,B,C., AB=OB-OA4所对应的复数为 z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i. AB在正方形 ABCD中, ,DC=AB所对应的复数为 -3-i. DC(2) , DC=OC-OD所对应的复数为 z3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-
9、i. OD=OC-DC 第四个顶点对应的复数为 2-i.17.设复数 z满足 4z+2 =3 +i,= sin - icos .z 3(1)求 z的值;(2)求 |z-| 的取值范围 .解 (1)设 z=a+bi(a,bR),则 =a-bi.z代入 4z+2 =3 +i,得 4(a+bi)+2(a-bi)=3 +i,z 3 3即 6a+2bi=3 +i z= i.3. a= 32,b=12. 32+12(2)|z-|= |32+12i-(sin -icos )|= (32-sin )2+(12+cos )2= 2-2sin( -6).- 1sin 1,( -6) 02 -2sin 4. 0 |z-| 2 .( -6)
