1、1考点规范练 27 数列的概念与简单表示法基础巩固组1.数列 1,-3,5,-7,9,的一个通项公式为( )A.an=2n-1 B.an=(-1)n(2n-1)C.an=(-1)n+1(2n-1) D.an=(-1)n(2n+1)答案 C解析 由数列中的项为 1,-3,5,-7,9,可以看出:符号正负相间,各项的绝对值为 1,3,5,7,9恰好构成一等差数列,设其为 bn,则其通项公式为 bn=2n-1.因此数列 1,-3,5,-7,9,的一个通项公式为 an=(-1)n+1(2n-1).故选 C.2.若数列 an的前 n项和 Sn=n2+n,则 a4的值为( )A.4 B.6 C.8 D.1
2、0答案 C解析 由题意得 a4=S4-S3=20-12=8.3.设 Sn为数列 an的前 n项和,且 Sn= (an-1)(nN *),则 an= ( )32A.3(3n-2n) B.3n+2C.3n D.32n-1答案 C解析 当 n2 时, an=Sn-Sn-1= (an-1)- (an-1-1),整理,得 an=3an-1,即 =3,由 a1= (a1-1),得 a1=3,32 32 anan-1 32数列 an是以 3为首项,3 为公比的等比数列, a n=3n.故选 C.4.(2018浙江浦江模拟)在数列 an中,已知 a1=2,a2=7,an+2等于 anan+1(nN *)的个位
3、数,则 a2 019=( )A.8 B.6 C.4 D.2答案 C解析 由题意可得 a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8;观察可知数列 an中的项从第 3项开始呈周期性出现,周期为 6.故从第 3项开始算起,2019 -2=2017,2017=3366+1,a2019=a3=4,应选 C.5.若数列 an满足 an+1+an=2n-3,a1=2,则 a8-a4=( )A.7 B.6 C.5 D.4答案 D解析 依题意得( an+2+an+1)-(an+1+an)=2(n+1)-3-(2n-3),即 an+2-an=2,所以 a8-a4=(a8-a6)
4、+(a6-a4)=2+2=4.6.已知数列 an中,首项 a1=1,an=an-13n-1(n2, nN *),则数列 bn的通项公式为 . 答案 an=3n(n-1)2解析 a n= a1=3n-13n-231= ,又 a1也满足上式, a n=anan-1an-1an-2a2a1 3n(n-1)2 3n(n-1)2.27.若数列 an满足 a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN *),则数列 an的通项公式 an= .答案 3n解析 a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1) +3,把 n替换成 n-1得3n+1a1+3a2+5a
5、3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两项相减得 an=3n.8.若数列 an满足 a1=2,an+1= (nN *),则该数列的前 2 018项的乘积 a1a2a3a2 018= .1+an1-an答案 -6解析 经计算,得 a1=2,a2=-3,a3=- ,a4= ,a5=2,12 13则数列 an是以 4为周期的一个周期数列 .a 1a2a3a4=1,a 1a2a2013a2014a2018=2(-3)=-6.能力提升组9.已知数列 an中的任意一项都为正实数,且对任意 m,nN *,有 aman=am+n,如果 a10=32,那么 a1的值为( )A.-2 B.2 C D.-.
6、 2 2答案 C解析 令 m=1,则 =a1,所以数列 an是以 a1为首项,公比为 a1的等比数列,从而 an= ,因为 a10=512,所an+1an an1以 a1= 2.10.(2018浙江春晖中学模拟)设曲线 y=xn+1(nN *)在点(1,1)处的切线与 x轴的交点的横坐标为 xn,令 an=lg xn,则 a1+a2+a99=( )A.100 B.2 C.-2 D.-100答案 C解析 因为 y=(n+1)xn,所以曲线 y=xn+1在点(1,1)处的切线斜率为 n+1,切线方程为 y-1=(n+1)(x-1),令y=0,得 xn=1- ,所以 an=lgxn=lg1n+1=
7、nn+1 nn+1.所以 a1+a2+a99=lg =lg =-2.(12 23 99100) 110011.已知数列 an满足: a1=1,an+1= (nN *).若 bn+1=(n- ) ,b1=- ,且数列 bn是单调anan+2 (1an+1)递增数列,则实数 的取值范围为( )A. 2 B. 3 C.bn,得 2n(n- )2n-1(n-1- ),即 0.a n+1an. 数列 an是单调递增数列,由 an+1-1= -an=an(an-1),a2n 1an+1-1= 1an(an-1)= 1an-1-1an.m= + +1an= 1an-1- 1an+1-1. 1a1+1a2 1
8、a2017=( 1a1-1- 1a2-1)+( 1a2-1- 1a3-1)=3-(1a2017-1 - 1a2018-1)= 1a1-1- 1a2018-1 1a2018-1.由 a1= 1,则 an+1-an=(an-1)20,43a 2=1+ ,a3=1+ ,a4=1+ 2,49 5281 69166561,a20182, 0an,则实数 k的取值范围是 . 答案 -2 (-3,+ )4解析 (1)因为 an=n2-5n+4= ,所以由二次函数性质可知当 n=2或 n=3时, an有最小值,其(n-52)2-94最小值为 a2=a3=-2.(2)由 an+1an知该数列是一个递增数列,又因
9、为通项公式 an=n2+kn+4可以看作是关于 n的二次函数,考虑到 nN *,所以 - ,即 k-3.所以实数 k的取值范围为( -3,+ ).k2a1a2a3a4,a5a6a7an1(nN *).12x-9 数列 an中的最大项为 a5=2,最小项为 a4=0.(2)an=1+ =1+ ,1a+2(n-1) 12n-2-a2已知对任意的 nN *,都有 an a6成立,结合函数 f(x)=1+ 的单调性,12x-2-a2可知 50,(2n+1)(2n+3)2n -(2n-1)(2n+1)2(n-1) =2n+12 (2n+3)(n-1)-n(2n-1)n(n-1) =(2n+1)(2n-3)2n(n-1) 当 n2 时,数列 bn是递增数列,则 实数 t的取值范围是(2n-1)(2n+1)2(n-1) 152.(- ,152.
