1、高考解答题专讲数列,-2-,考情分析从近五年高考试题分析来看,等差、等比数列是重要的数列类型,高考考查的主要知识点有:等差、等比数列的概念、性质、前n项和公式.由于数列的渗透力很强,它和函数、方程、向量、三角形、不等式等知识相互联系,优化组合,无形中加大了综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有较深的理解.,-3-,题型一,题型二,题型三,数列的单调性和恒成立问题综合【例1】 数列an满足a1=2,an+1= (nN*).,分析:(1)利用数列递推式,结合条件,可得bn+1-bn=n+ ,利用叠加法,可求数列bn的通项公式; (2)确定数列的通项,利用叠加法求和,利用
2、数列的单调性即可得到结论.,-4-,题型一,题型二,题型三,-5-,题型一,题型二,题型三,-6-,题型一,题型二,题型三,策略技巧数列的恒成立问题常常通过参变分离转化成数列单调性问题,通过数列的单调性求出数列的最大、最小值,从而求出满足恒成立问题的参数的取值范围.,-7-,题型一,题型二,题型三,对点训练(2018浙江舟山二模改编)已知各项均为正数的数列an,(1)求数列an的通项公式;,分析:(1)利用数列前n项和Sn与通项an的递推关系即可求出数列an的通项公式; (2)将恒成立问题转化为最值问题,再通过裂项与单调性放缩求得.,-8-,题型一,题型二,题型三,整理得(an+an-1)(a
3、n-an-1-2)=0. 数列an的各项均为正数,an-an-1=2,n2. 数列an是公差为2的等差数列.,-9-,题型一,题型二,题型三,-10-,题型一,题型二,题型三,数列与不等式综合问题 数列与不等式综合问题是近几年浙江高考的热点和难点,常常在最后一道解答题中以压轴题出现,难度非常大.具体来说主要有下面几种类型:(1)先求和再放缩类型;(2)先放缩再求和类型.,-11-,题型一,题型二,题型三,类型一 先求和再放缩类型 【例2】 数列an各项均为正数,且对任意nN*,满足an+1=an+ (c0且为常数). (1)若a1,2a2,3a3依次成等比数列,求a1的值(用常数c表示);,-
4、12-,题型一,题型二,题型三,-13-,题型一,题型二,题型三,-14-,题型一,题型二,题型三,-15-,题型一,题型二,题型三,证明:(1)易知an0.,-16-,题型一,题型二,题型三,类型二 先放缩再求和类型 考向一:利用不等式放缩成裂项相消法求和类型 【例3】(2017浙江高考样卷)已知数列an满足a1=1,an+1= ,nN*,记Sn,Tn分别是数列an, 2 的前n项和,证明:当nN*时, (1)an+1an;,-17-,题型一,题型二,题型三,-18-,题型一,题型二,题型三,-19-,题型一,题型二,题型三,由an=(1-an-1)an-1 得an=(1-an-1)(1-a
5、n-2)(1-a1)a10.,-20-,题型一,题型二,题型三,-21-,题型一,题型二,题型三,考向二:利用不等式放缩成等比数列求和类型 【例4】 已知数列an满足,(1)求a2;,-22-,题型一,题型二,题型三,-23-,题型一,题型二,题型三,-24-,题型一,题型二,题型三,-25-,题型一,题型二,题型三,对点训练(2018浙江宁波三模)若数列an满足a1= ,anan+1-3an+1+2an=0,nN*.,解:(1)显然an0,由anan+1-3an+1+2an=0两边同除以an+1an,得,-26-,题型一,题型二,题型三,-27-,题型一,题型二,题型三,策略技巧1.数列与不
6、等式的综合问题,如果是证明题,要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;如果是解不等式,往往采用因式分解法或穿根法等. 2.如果用放缩法证明与数列求和有关的不等式,一般有两种方法:一种是求和后再放缩;一种是放缩后再求和.放缩时,一要注意放缩的尺度,二要注意从哪一项开始放缩.,-28-,题型一,题型二,题型三,数列与不等式、函数等综合问题 数列是一种定义域为正整数集子集的函数.因此,数列与不等式的综合问题常常可以借助函数和导数求最值的方法来判断数列的最值.数列作为非连续函数,本身不能求导数,但可以构造数列对应的连续函数的导数来分析判断数列单调性,进而证明相关问题.,-29-
7、,题型一,题型二,题型三,【例5】 (2017浙江高考)已知数列xn满足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN*).证明:当nN*时, (1)0xn+1xn;,证明:(1)用数学归纳法证明:xn0. 当n=1时,x1=10,假设n=k时,xk0, 那么n=k+1时,若xk+10, 则00. 因此xn0(nN*). 所以xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1. 因此0xn+1xn(nN*).,-30-,题型一,题型二,题型三,(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1),-31-,题型一,题型二,题型三,(3)因为xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1+xn+1,-3
8、2-,题型一,题型二,题型三,策略技巧1.解决此类问题要抓住一个中心函数,两个密切联系:一是数列和函数之间的密切联系,数列的通项公式是数列问题的核心,函数的解析式是研究函数问题的基础;二是方程、不等式与函数的联系,利用它们之间的对应关系进行灵活的处理. 2.由于函数与数列的特殊关系,所以要注重导数在求数列单调性中的作用.,-33-,题型一,题型二,题型三,对点训练已知数列xn按如下方式构成:xn(0,1)(nN*),函数f(x)=ln 在点(xn,f(xn)处的切线与x轴交点的横坐标为xn+1. (1)证明:当x(0,1)时,f(x)2x.,-34-,题型一,题型二,题型三,分析:(1)求出函
9、数的导数,根据函数的单调性求出f(x)2x即可;,-35-,题型一,题型二,题型三,证明:(1)设g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-2x,x(0,1)时,g(x)0,函数g(x)在(0,1)递增, g(x)g(0)=0,即f(x)2x.,-36-,题型一,题型二,题型三,-37-,题型一,题型二,题型三,-38-,题型一,题型二,题型三,感悟提高 1.用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量,减少差错. 2.理解等差数列、等比数列的定义、基本量的含义和应用,体会两者解题中的区别. 3.注意数列与函数、方程、三角、不等式等知识的融合,了解其中蕴含的数学思想. 4.在现实生活中,人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等,都可以利用数列来解决,因此要会在实际问题中抽象出数学模型,并利用它解决实际问题.,
