1、1高考解答题专项练函数与导数1.(2017浙江湖州改编)已知函数 f(x)=ln x+ ,其中 a为大于零的常数 .1-xax(1)若函数 f(x)在区间1, + )内单调递增,求 a的取值范围;(2)求函数 f(x)在区间1,2上的最小值 .解 (1)由题意, f(x)= ,1x- 1ax2=ax-1ax2a 为大于零的常数, 若使函数 f(x)在区间1, + )上单调递增,则使 ax-10 在区间1, + )上恒成立,即 a-10,故 a1;(2)当 a1 时, f(x)0在(1,2)上恒成立,这时 f(x)在1,2上为增函数, f (x)min=f(1)=0.当 00, (1a,2f (
2、x)min=f =ln +1- ,(1a) 1a 1a综上, f(x)在1,2上的最小值为 当 00,x2x+1g (x)在(0, + )递增, g (x) g(0)=0,即 ln(x+1) x- x2;12(2)解 由 f(x)4 x(t+1)lnx+tx2+3t-4x0,令 (x)=(t+1)lnx+tx2+3t-4x,首先由 (1)0 t1,此时 (x)= ,2tx2-4x+t+1x令 h(x)=2tx2-4x+t+1,t 1, = 16-8t(t+1)0恒成立,即 (x)0, (x)在1, + )递增,故 (x) (1)=4t-40,综上, t1 .3.(2018浙江台州一模)已知函数
3、 f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,mR .(1)若 m=2,写出函数 f(x)的单调递增区间;(2)若对于任意的 x -1,1,都有 f(x)0,则 x2, 函数 f(x)的单调递增区间为( - ,1),(2,+ ).(2)f(x)=2x3-3(m+1)x2+6mx,f(x)=6x2-6(m+1)x+6m=6(x-1)(x-m), 当 m1 时, f(x)在区间( -1,1)上递增, f(x)max=f(1)=3m-10,(m+1)(m-2)20恒成立,- 1-1(舍去) .综上, m的取值范围为 -10,1e (0,1e) (1e,+ )所以 f(x)在 上单调递减;在 上单调递
4、增 .(0,1e) (1e,+ )(2)存在 x(0, + ),使 f(x) g(x)成立,即 2xlnx -x2+ax-3在 x(0, + )成立,等价于 a2ln x+x+ 在 x(0, + )成立,3x等价于 a (2lnx+x+3x)min.记 h(x)=2lnx+x+ ,x(0, + ),3x则 h(x)= +1-2x 3x2=x2+2x-3x2 =(x+3)(x-1)x2 .当 x(0,1)时, h(x)0,所以当 x=1时, h(x)取最小值为 4,故 a4 .5.已知函数 f(x)=ln x+ax.(1)若函数 f(x)在 x=1处的切线方程为 y=2x+m,求实数 a和 m的
5、值;(2)若函数 f(x)在定义域内有两个不同的零点 x1,x2,求实数 a的取值范围 .解 函数定义域为(0, + )(1)f (x)=lnx+ax,f (x)= +a.1x 函数 f(x)在 x=1处的切线方程为 y=2x+m,f (1)=1+a=2,得 a=1.又 f (1)=ln1+a=1, 函数 f(x)在 x=1处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1,m=- 1.(2)由(1)知 f(x)= +a= (x0).1x 1+axx当 a0 时, f (x)= 0, 函数 f(x)=lnx+ax在(0, + )上单调递增,从而函数 f(x)至多有1+axx一个零点,不符合
6、题意;当 a0),a(x+1a)x 函数 f(x)在 上单调递增,在 上单调递减,(0,-1a) (-1a,+ ) 函数 f(x)max=f =ln +a =ln -1.(-1a) (-1a) (-1a) (-1a)4 要满足函数 f(x)在定义域内有两个不同的零点 x1,x2,必有 f(x)max=ln -10,得 a-(-1a) 1e. 实数 a的取值范围是 (-1e,0).6.(2018浙江湖州 2模)已知函数 f(x)= (x0).1-e-xx(1)求函数 f(x)的单调区间;(2)求证: f(x) (x0).e-x2(1)解 已知函数 f(x)= (x0),其导函数为 f(x)=1-e-xx 1+x-exx2ex .令 h(x)=ex-x-1,则 h(x)=ex-1,当 x0时, h(x)=ex-10,所以 h(x)min=h(0)=0,即 ex x+1,当且仅当 x=0时等号成立 .由已知 x0,得 exx+1, (x0)等价于 e-x+x -10).e-x2 e-x2令 g(x)=e-x+x -1,x0,g(x)=-e-x+ +x =- ,由(1)易e-x2 e-x2 (-12e-x2) e-x2(e-x2-(-x2+1)得 - +1,所以 g(x)0时,有 g(x)0).故 f(x)e-x2 x2 e-x2(x0).e-x2
