1、1高考解答题专项练三角综合1.设函数 f(x)=2cos x(cos x+ sin x)(xR) .3(1)求函数 y=f(x)的周期和单调递增区间;(2)当 x 时,求函数 f(x)的最大值 . 0,2解 (1)f (x)=2cosx(cosx+ sinx)=2sin +1,3 (2x+6) 2k - 2x+ 2k + (kZ),2 6 2k - x k + (kZ),3 6 函数 y=f(x)的单调递增区间为 (kZ) .(k -3,k +6)(2)x , 2x+ , 0,2 6 6,76 sin ,(2x+6) -12,1f (x)=2sin +1的最大值是 3.(2x+6)2.已知函数
2、 f(x)=2sin 2 cos 2x.(4-x)- 3(1)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间;(2)若 f(x)-1-3 3 3.3.已知 f(x)=sin 2x-2 sin2x+23 3.(1)当 x 时,求 f(x)的取值范围; -3,62(2)已知锐角三角形 ABC满足 f(A)= ,且 sin B= ,b=2,求三角形 ABC的面积 .335分析 (1)由两角和的正弦公式、二倍角余弦公式变形化简解析式,由 x的范围求出“2 x+ 的范围,3”由正弦函数的性质求出 f(x)的取值范围 .(2)由(1)和条件化简 f(A),由锐角三角形的条件和特殊角的三角函数值求出 A,由条件和正
3、弦定理求出 a,由诱导公式、两角和的正弦公式求出 sinC,代入三角形的面积公式求出三角形 ABC的面积 .解 (1)f(x)=sin2x-2 sin2x+23 3=sin2x- (1-cos2x)+2 =sin2x+ cos2x+3 3 3 3=2sin ,(2x+3)+ 3由 x ,得 2x+ , -3,6 3 -3,23则 sin ,(2x+3) - 32,1所以 2sin ,(2x+3)+ 3 0,2+ 3即 f(x)的取值范围是0,2 + .3(2)由(1)得 f(A)=2sin ,(2A+3)+ 3= 3则 sin =0,因为 ABC是锐角三角形,所以 A= ,(2A+3) 3因为
4、 sinB= ,b=2,所以由正弦定理得35a= =5 ,bsinAsinB=23235 3因为 ABC是锐角三角形,sin B= ,35所以 cosB= ,1-sin2B=45所以 sinC=sin(A+B)=sin cosB+cos sinB3 3= ,3245+1235=43+310所以三角形 ABC的面积 S= absinC12= 5 2 =6+12 3 43+310 32 3.34.(2018浙江杭州二中高考仿真)在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 2ccos B=2a-b,(1)求 C的大小;(2)若 =2,求 ABC面积的最大值 .|CA-12CB|解 (
5、1) 2bcosC=2a- c,3 2sinCcosB=2sinA-sinB. 2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB. 2sinBcosC=sinB. cosC= C=12. 3.(2)取 BC的中点 D,则 =2=| |,在 ADC中, AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC 注:也可将|CA-12CB| DA=2=| |两边平方 ,即 4=b2+ 2 ,所以 ab8,当且仅当|CA-12CB| DA (a2)2-ab2 a2b24 -ab2=ab2a=4,b=2时取等号 .此时 S ABC= absinC= ab,其最大值为 212 34 3.5.(2018浙江教育绿色评价
6、联盟 5月模拟)已知函数 f(x)=sin x(cos x+ sin x).3(1)求 f(x)的最小正周期;(2)若关于 x的方程 f(x)=t在区间 上有两个不相等的实数解,求实数 t的取值范围 .0,2解 (1)因为 f(x)= sin2x+ (1-cos2x)=sin ,12 32 (2x-3)+ 32所以 f(x)的最小正周期为 T= = .22(2)因为 x ,所以 2x- 0,2 3 -3,23.因为 y=sinZ在区间 上是增函数,在区间 上是减函数,-3,2 2,23所以 f(x)在区间 上是增函数,在区间 上是减函数 .又因为 f(0)=0,f =1+ ,f0,3 3,2
7、(3) 32,(2)= 3关于 x的方程 f(x)=t在区间 上有两个不相等的实数解,等价于函数 y=f(x)与 y=t的图象0,2在区间 上有两个不同的交点,0,24所以要使得关于 x的方程 f(x)=t在区间 上有两个不相等的实数解,只需满足0,2t1+332.6.(2018浙江宁波 5月模拟)已知函数 f(x)=4cos xsin -1.(x-6)(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若满足 f(B)=0,a=2,且 D是 BC的中点, P是直线 AB上的动点,求 |CP|+|PD|的最小值 .解 (1)f(x)=4cosx -1= sin2x-cos2x-2=2sin -2,由于 - +2k 2x-(32sinx-12cosx) 3 (2x-6) 2+2k, kZ,所以 k - xk + ,kZ .62 6 3所以函数 f(x)的增区间为 ,kZ .(k -6,k +3)(2)由 f(B)=2sin -2=0,得 2B- ,(2B-6) 6=2所以 B=3.作点 C关于 AB的对称点 C,连接 CD,CP,CB,由余弦定理得( CD)2=BD2+(BC)2-2BD(BC)cos120=7.CP+PD=CP+PD CD= ,7所以当 C,P,D共线时, |CP|+|PD|取最小值 7.
