1、小结与复习 第十六章 二次根式 八年级数学下（ RJ） 教学课件 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 要点梳理 1二次根式的概念 一般地，形如 _(a0)的式子叫做二次根式 . 对于二次根式的理解： 带有二次根号；被开方数是非负数，即 a0. 易错点 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义 . a 2二次根式的性质 : 3最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次 根式 (1)被开方数不含 _； (2)被开方数中不含能 _的因数或因式 开得尽方 分母 220;0000 ，a a aaaa a a ,a a .4二次根式的乘除法则： 乘法： _(a0， b0)； 除法：
2、 _(a0， b0) 可以先将二次根式化成 _，再将_的二次根式进行合并 被开方数相同 最简二次根式 ab ab abab5二次根式的加减： 类似合并同类项 逆用也适用 . 注意平方差公式与完全平方公式的运用！ 6 二次根式的混合运算 有理数的混合运算与类似：先算乘（开）方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的 . 例 1 求下列二次根式中字母 a的取值范围 : ( 1 ) 3 2 ;a1( 2 ) ;12 a23 2 03aa ， ；解 :(1)由题意得 1( 2 ) 1 2 02aa 由 题 意 得 ， ；2( 3 ) ( 3 )a ；( 4 ) .1aa (3) (a+3)20，
3、a为全体实数； (4)由题意得 a0且 a1. 01 0 ,aa ，考点讲练 考点一 二次根式的相关概念有意义的条件 方法总结 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： 被开方数大于或等于零； 分母中有字母时，要保证分母不为零 . 针对训练 1.下列各式： 中，一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 3225 ; ; 3 ; 8 ; 1 ( 1 ) ; 2 1a x x x x B2.求下列二次根式中字母的取值范围 : 1( 2 ) 5 .3xx解得 - 5x 3. 解： (1) 由题意得 x=4. 5 0 ,3 0 ,xx( 1 ) 4 4 ;xx 4 0 ,4
4、 - 0xx ，(2) 由题意得 例 2 若 求 的值 . 21 ( 3 1 ) 0 ,x x y 25 xy解： x-1=0,3x+y-1=0,解得 x=1,y=-2. 则 21 ( 3 1 ) 0 ,x x y 225 5 1 ( 2 ) 3 .xy 【 解析 】 根据题意及二次根式与完全平方式的非负性可知 和 均为 0. 1x 2( 3 1 )xy考点二 二次根式的性质 初中阶段主要涉及三种非负数： 0， |a|0，a20.如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一 . a方法总结 例 3 实数 a,b在数轴上的位置如图所示，请
5、化简： 22| | .a a bb a 0 解：由数轴可以确定 a0， 原式 =-a-(-a)+b=b. 22| | , , .a a a a b b 解析 :化简此代数式的关键是能准确地判断 a,b的符号，然后利用绝对值及二次根式的性质化简 . 4.若 1a3,化简 的 结果是 . 222 1 6 9a a a a 2 针对训练 3.若实数 a,b满足 则 . | 2 | 4 0 ,ab 2ab1 5.将下列各数写成一个非负数的平方的形式： 2 1( 1 ) 7 ; ( 2 ) 1 ; ( 3 ) .11x 2( 1 ) 7 7 ;解 ： 222( 2 ) 1 = 1xx ；211( 3 )
6、 = .1 1 1 1考点三 二次根式的运算及应用 例 4 计算： ( 1 ) 8 1 2 2 ;3( 2 ) 5 1 5 1 5 ;5 2( 3 ) 6 5 ; ( 4 ) 5 6 2 5 6 2 . 解： ( 1 ) 8 1 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 ; 3 3 1 1 3 1 1( 2 ) 5 1 5 1 5 5 1 5 5 1 5 5 ;5 5 1 5 1 5 5 1 5 5 22 2( 3 ) 6 5 6 2 6 5 5 3 1 1 0 6 ; 22( 4 ) 5 6 2 5 6 2 5 6 2 5 8 4 34 3 3 . 方法总结 二次根式的混合运算的运算顺序与
7、整式的运算顺序一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和乘法公式简化运算 . 例 5 把两张面积都为 18的正方形纸片各剪去一个面积为 2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计） 解 ： 1 8 2 2 43 2 2 2 42 2 2 416S =-= -= （ ）（ ）( 2 ) 3 ( 2 3 ) 2 4 | 6 3 | . 8. 计算： 011( 1 ) 2 4 4 ( 1 2 ) ;38 解： (1)原式 122 4 4 1 2 2 2 2 ;34 (2)原式
8、6 3 2 6 3 6 6 . 针对训练 6.下列运算正确的是 （ ） A . 2 3 5 B . 2 2 3 2 6 2C . 1 2 3 2 D . 3 2 2 3C 7. 若等腰三角形 底边长为 ，底边的高为 则三角形的面积为 . 1 2 c m( 3 2 ) c m . 2( 3 6 ) c m9. 交警为了估计肇事汽车在出事前的速度，总结出经验公式 ，其中 v是车速（单位：千米每小时）， d是汽车刹车后车轮滑动的距离（单位：米）， f是摩擦系数在某次交通事故调查中，测得d=20米， f=1.2，请你帮交警计算一下肇事汽车在出事前的速度 16v d f解：根据题意得 （千米 /时） 答
9、：肇事汽车在出事前的速度是 千米 /时 1 6 2 0 1 . 2 3 2 6v 3 2 6例 6 先化简，再求值： ，其中 . 22xyx y x y1 2 3 , 1 2 3xy 解： 当 时， 原式 2 2 2 2 ( ) ( ). x y x y x y x y xyx y x y x y x y1 2 3 , 1 2 3xy 1 2 3 1 2 3 2 . 解析 ：先利用分式的加减运算化简式子，然后代入数值计算即可 . 考点四 二次根式的化简求值 例 7 有这样一道题： “计算 的值，其中 x=2018”.小卿把 “x=2018”错抄成 “x=2081” ，但是她的计算结果仍然是正确
10、的，这是为什么？ 22244 2x x x x xxx x x x 222222222222222 2 222444444=4424= = 2 = 24x x x xxx x x xx x x xxx x x xxxx x xxx ，解： 无论 x取何值，原式的值都为 -2. 10. 先化简，再求值： ,其中 222214 4 4a a aa a a 2.a 解：原式 2224 2 ( 1 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 1 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 ) ( 1 )2a a a aa a aa a aa a a aaa 当 时， 原式 2a 22 1 2 .2 针对
11、训练 考点五 本章解题思想方法 分类讨论思想 例 8 已知 a是实数，求 的值 . 2221aa 解： 分三种情况讨论： 当 a-2时，原式 =(-a-2)-(a-1)=-a-2+a-1=-3; 当 -2 a1时 ， 原式 =(a+2)+(a-1)= 2a+1; 当 a 1时 ， 原式 =(a+2)-(a-1)=3. 222 1 2 1 ,a a a a 整体思想 例 9 已知 ，求 的值 . 2 1 , 2 1xy xyyx解： 222222 2 26.1x y x yx y x yy x x y x y 2 1 2 1 2 2 ,2 1 2 1 1 .xyxy 类比思想 例 10 阅读材料
12、： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 ，善于思考的小明进行了以下探索： 设 （其中 a、 b、 m、 n均为整数），则有 这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 23 2 2 1 2 222a b m n 2 2 2 22 2 2 2 , 2 , 2 .a b m n m n a m n b m n 2ab(1)当 a、 b、 m、 n均为正整数时，若 ， 用含 m、 n的式子分别表示 a， b，得 a=_;b=_; (2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出： (3)请化简： 233a b m n 7 4 3 _ _ _ _ _ _ _ _ ;1 2 6 3 .m2+3n2 2mn 223解： 21 2 6 3 3 3 3 3 . 21 2 6 3 3 3 , 加、减、乘、除运算 二次根式 性质 最简二次根式 2 = 0 a a a ( ) ( ) 2 00aaaaaa 00 ，bb aba a课堂小结 0 0 aa () = 0 0 a b a b a b( , )
