1、第三章 整式及其加减,初中数学（北师大版）七年级 上册,解析 代数式是用运算符号把数和字母连接起来的式子,其中不能含有 “=”,所以选项C不是代数式.,答案 C,知识点二 列代数式及代数式的意义 列代数式就是把问题中的一些数量关系用代数式表示出来.列代数式的 实质就是把文字语言转化为数学符号语言. 列代数式应遵循下列几点: (1)抓住“多”“少”“大”“小”“和”“差”“积”“商”“倍” “分”“平方”“比”“几分之几”“除”“除以”等关键词,弄清各 量之间的关系. (2)明确数量关系中的运算顺序,一般是先说的先算,后说的后算,如“和 的积”是加在乘之前,而“积的和”是乘在加之前. (3)准确
2、理解“的”和“与”划分的语句层次.“的”表示从属关系, “与”表示并列关系.,代数式的意义: (1)若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的含义,则代数式就 表示某些实际意义. (2)解释一个代数式的实际意义时,可联系生活,创造问题情境,使所叙述 的数量关系与代数式中的数量关系一致.如代数式 的实际意义可 解释为“购买甲种糖果2千克,乙种糖果1千克,已知甲种糖果每千克a元, 乙种糖果每千克b元,则平均每千克糖果的价格是 元”. 例2 用代数式表示: (1)a除以b(b不为零)的商与c的和; (2)比a的2倍与b的差小6的数;,(3)a、b两数和的平方与它们差的平方的和; (4)三个连续的偶数
3、(用同一个字母表示),以及它们的和.,解析 (1) +c. (2)(2a-b)-6. (3)(a+b)2+(a-b)2. (4)设n是整数,则三个连续的偶数可表示为2n-2,2n,2n+2,它们的和为(2n- 2)+2n+(2n+2).(答案不唯一) 点拨 解决这类问题的关键是掌握好列代数式的方法及代数式的书写 格式.,知识点三 求代数式的值,例3 当x=-0.5,y=2 时,求代数式x(x-y)2的值. 分析 求代数式的值的步骤:一代入,二计算.,解析 把x=-0.5,y=2 代入, 得x(x-y)2=-0.5 =- (-3)2 =- 9=- .,题型一 按照程序求值 例1 按如图3-2-1
4、所示的程序计算,若开始输入x=3,则最后输出的结果 是 ( )图3-2-1 A.6 B.21 C.156 D.231,解析 第一次:输入x=3时, = =6, 因为6100,所以进入“是”程序,输出结果231,故选D.,答案 D 点拨 解决此类问题的关键是理解程序中所限定的条件,符合条件时才能输出.,题型二 应用代数式知识解决实际生活中的问题 例2 由于党的惠民政策,人民富裕了,越来越多的人外出旅游,某地区欲 组织x(x3)人前往A市旅游,甲、乙旅行社定价均为每人a元,现甲旅行社 承诺给予七五折优惠,乙旅行社给予3人免费,其他人八五折优惠,请回 答: (1)随甲、乙旅行社前往A市各需多少元?(
5、用代数式表示) (2)当x=40,a=2 000时,应选择哪家旅行社?为什么? 分析 (1)根据甲旅行社承诺给予七五折优惠列出代数式即可,根据乙 旅行社给予3人免费,其他人八五折优惠列出代数式即可;(2)把x、a的值 代入,求出代数式的值后比较即可.,解析 (1)甲旅行社的费用为0.75ax元, 乙旅行社的费用为0.85a(x-3)元. (2)应选甲旅行社. 理由:当x=40,a=2 000时, 甲旅行社的费用为0.75402 000=60 000元, 乙旅行社的费用为0.852 000(40-3)=62 900元, 62 900元60 000元,应选甲旅行社. 点拨 运用代数式解决实际生活中
6、的问题时要注意:准确求出代数式 的值;根据题意作出相关判断.,易错点 求代数式的值时,代入出错 例 当x=-2,y=1时,求代数式-xy+1的值. 错解 当x=-2,y=1时,-xy+1=-21+1=-2+1=-1. 正解 当x=-2,y=1时,-xy+1=-(-2)1+1=2+1=3. 错因分析 在求代数式的值时,若代入的值为负数,则一定要加上括号.,知识点一 代数式的概念 1.(2016陕西西安尊德中学月考)在式子3, a,3x=4,a-3b,4(x+y)中,代数式 的个数为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2,答案 B 由代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子,且代数 式中不含有
7、等号知,3x=4不是代数式,其他均是代数式.故选B.,2.下列式子符合书写要求的是 ( ) A.xy2 B.-1 x C. x2y D.xy2,答案 C A项应写成2xy;B项应写成- x;D项应写成 ;只有C项正确. 故选C.,知识点二 列代数式及代数式的意义 3.设甲数为x,乙数为y,用代数式表示: (1)甲、乙两数的差除以两数的积: ; (2)甲数的立方与乙数的3倍的和: ; (3)甲、乙两数的积与乙数平方的差: ; (4)甲数与乙数差的立方的一半: .,答案 (1) (2)x3+3y (3)xy-y2 (4),解析 列代数式时注意运算顺序.,4.体育委员带500元钱去买体育用品,已知一
8、个足球a元,一个篮球b元,则 代数式500-3a-2b表示的意义为 .,答案 体育委员买3个足球,2个篮球后剩余的钱,解析 依题意,买足球花了3a元,买篮球花了2b元,代数式500-3a-2b即为 体育委员买3个足球,2个篮球后剩余的钱.,知识点三 求代数式的值 5.(2016贵州六盘水二十一中联考)当x=1时,代数式4-3x的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 A 当x=1时,4-3x=4-31=4-3=1.,6.(2017甘肃张掖四中期中)图3-2-1是一“数值转换机”,若输入的x为- 5,则输出的结果为 .图3-2-1,答案 21,解析 由已知得,若输入x,则输出的代数式
9、为-3(x-2),当x=-5时,输出的结 果为-3(-5-2)=-3(-7)=21.,7.(2016辽宁丹东七中期中)学校需要到印刷厂印刷x份材料,甲印刷厂提 出:每份材料收0.2元印刷费,另收500元制版费;乙印刷厂提出:每份材料 收0.4元印刷费,不收制版费. (1)两印刷厂的收费各是多少元?(用含x的代数式表示) (2)学校要印刷2 400份材料,若不考虑其他因素,选择哪家印刷厂比较合 算?试说明理由.,解析 (1)甲印刷厂的收费为(0.2x+500)元,乙印刷厂的收费为0.4x元. (2)选择乙印刷厂. 理由:当x=2 400时,甲印刷厂的收费为0.22 400+500=980(元),
10、乙印刷厂 的收费为0.42 400=960(元). 因为980960,所以选择乙印刷厂比较合算.,1.下列说法中,正确的是 ( ) A.2+5不是代数式 B.(a+b)2的意义是a的平方与b的平方的和 C.“比a的 倍大1”用代数式表示为 a D.“x与3的差的2倍”用代数式表示为2(x-3),答案 D A中,2+5是代数式;B中,(a+b)2的意义是a与b的和的平方;C中, “比a的 倍大1”用代数式可表示为 a+1.故选D.,2.当x分别等于2或-2时,代数式x2-3x-4的两个值 ( ) A.相等 B.互为相反数 C.互为倒数 D.不同于以上答案,答案 B 当x=2时,x2-3x-4=2
11、2-32-4=4-6-4=-6;当x=-2时,x2-3x-4=(-2)2-3 (-2)-4=4+6-4=6.故选B.,3.爸爸的体重比妈妈的2倍少30 kg,若妈妈的体重为p kg,用代数式表示 爸爸的体重为 kg;当p=50时,爸爸的体重为 kg.,答案 (2p-30);70,解析 由题意得爸爸的体重为(2p-30)kg.当p=50时,2p-30=250-30=70.,4.某种水果第一天以2元的价格卖出a斤,第二天以1.5元的价格卖出b斤, 第三天以1.2元的价格卖出c斤. (1)这三天共卖出水果 斤; (2)这三天共得 元; (3)求这三天的平均售价,并计算当a=30,b=40,c=50时
12、的平均售价.,解析 (1)(a+b+c). (2)(2a+1.5b+1.2c). (3)这三天的平均售价为 元/斤. 当a=30,b=40,c=50时,= =1.5. 所以a=30,b=40,c=50时的平均售价为1.5元/斤.,5.(1)计算并填表:,(2)观察上表,描述所求得的这一列数的变化规律; (3)当n非常大时, 的值接近于什么数?,解析 (1)从左到右依次为1, , , , , , , , . (2)观察可得,随着n的增大,这一列数也逐渐增大. (3)当n非常大时, 的值接近于2.,1.某商店进了一批商品,每件商品的进价为a元,若要获利20%,则每件商 品的售价应定为 ( ) A.
13、20%a元 B.(a-20%a)元 C. 元 D.(a+20%a)元,答案 D 若要获利20%,则每件商品的利润为20%a元,则每件商品的 售价应定为(a+20%a)元.,2.(2015福建漳州中考)在数学活动课上,同学们利用如图3-2-2所示的程 序进行计算,发现无论x取何正整数,结果都会进入循环,下面选项一定不 是该循环的是 ( )图3-2-2 A.4,2,1 B.2,1,4 C.1,4,2 D.2,4,1,答案 D 当最初输入的数是4时,因为x=4是偶数,所以对应的值是 = 2;x=2是偶数,所以对应的值是 =1;x=1是奇数,所以对应的值是3x+1=4, 既而以4,2,1为一个循环节进
14、入循环.故当最初输入的数是2时,将以2,1,4 为一个循环节进入循环;当最初输入的数是1时,将以1,4,2为一个循环节 进入循环.故选D.,3.若代数式5x2-4x+6的值为26,则x2- x的值为 ( ) A.0 B.4 C.8 D.26,答案 B 当5x2-4x+6=26时,5x2-4x=20,所以x2- x=4,故选B.,4.某汽车行驶时油箱中的余油量Q(升)与时间t(小时)的关系如下表:,(1)写出用时间t表示余油量Q的代数式; (2)当t= 时,余油量Q的值为多少? (3)根据所列代数式回答,汽车行驶之前油箱中有多少升油? (4)油箱中原有汽油可供汽车行驶多少小时?,解析 (1)根据
15、题中的表格知,余油量Q随时间t的变化规律为当t=1时,Q =40-51;当t=2时,Q=40-52;当t=3时,Q=40-53;,所以Q=40-5t,即用 时间t表示余油量Q的代数式为40-5t. (2)当t= 时,Q=40-5 =32.5,即当t= 时,余油量Q为32.5升. (3)当t=0时,Q=40-50=40,即汽车行驶之前油箱中有40升油. (4)当Q=0时,0=40-5t,5t=40,t=8,即油箱中原有汽油可供汽车行驶8小时.,1.代数式3v表示什么?下列解释:火车每小时走v千米,3小时走3v千米; 西红柿每千克3元,买v千克西红柿用钱3v元;一个瓶子的容积为v升, 3个同样的瓶
16、子的容积之和是3v升;一把椅子的价格为v元,一张桌子 的价格是一把椅子的3倍,则一张桌子的价格为3v元.其中,正确的有 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,答案 A 四种情况都符合代数式3v的实际意义.故选A.,2.(2016甘肃甘谷期末)在下列代数式的写法中,表示正确的一个是 ( ) A.“负x的平方”记作-x2 B.“y与1 的积”记作1 y C.“x的3倍”记作x3 D.“a除以2b的商”记作,答案 D “负x的平方”应记作(-x)2,所以A错误;“y与1 的积”应记 作 y,所以B错误;“x的3倍”应记作3x,所以C错误.故选D.,3.代数式2 017-a2的最大值为 ,代
17、数式a2-2 017的最小值为 .,答案 2 017;-2 017,解析 因为a2为非负数,即a20,所以当a2取最小值0时,2 017-a2的最大 值为2 017,a2-2 017的最小值为-2 017.,4.如图所示,在一块长为2x,宽为y(2xy)的长方形铁皮的四个角上,分别 截去半径都为 的圆的 . (1)试计算剩余铁皮的面积(阴影部分面积); (2)当x=6,y=8时,剩余铁皮的面积是多少?(取3.14),解析 (1)剩余铁皮的面积为2xy- =2xy- . (2)当x=6,y=8时,剩余铁皮的面积为268-3.14824=45.76.,5.(2017广东深圳锦华实验学校期中)学校组
18、织同学们到博物馆参观,小 丹因事未能与同学们同时出发,于是准备在学校门口搭乘出租车赶去与 同学们会合,出租车的收费标准是:起步价为12元,3千米后每千米收1.2 元,不足1千米的按1千米计算.请你回答下列问题: (1)小丹乘车3.8千米,应付费 元;(精确到0.1元) (2)小丹乘车x(x是大于3的整数)千米,应付费多少元?(列代数式) (3)小丹身上仅有20元钱,乘出租车到距学校8千米远的博物馆的车费够 不够?请说明理由.,解析 (1)小丹乘车3.8千米,应付费12+1.2=13.2(元). 故填13.2. (2)12+1.2(x-3). (3)够.因为12+1.2(8-3)=18(元),1
19、820,所以够到博物馆的车费.,一、选择题 1.(2018辽宁本溪南芬中学第二次月考,3,)甲、乙两超市为了促 销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价5%,乙超市一次降价10%, 在哪个超市购买这种商品合算?下列选项中正确的是 ( ) A.甲超市 B.乙超市 C.两个超市一样 D.与商品的价格有关,答案 B 设商品的定价为a元,则在甲超市购买这种商品的价格为a = a(元),在乙超市购买这种商品的价格为a = a (元),所以在乙超市购买这种商品合算,故选B.,答案 -8,解析 由|a+2|与(b-3)2互为相反数,得|a+2|+(b-3)2=0,所以a+2=0且b-3=0, 所以a=-2,
20、b=3,所以ab+a(3-b)=(-2)3+(-2)(3-3)=-8.,解析 (1)a+ . (2)2(x+y)-(x-y)或x+3y. (3)100a+b.,4.(2017山东枣庄台儿庄期中,20,)台儿庄某食品厂销售一种蔬菜, 如果不加工直接出售每千克卖y元;如果经过加工,质量将减少20%,每千 克价格则增加40%. (1)x千克这种蔬菜加工后可卖多少钱? (2)如果这种蔬菜1 000千克,不加工直接出售每千克可卖1.50元,问加工 后原1 000千克这种蔬菜可卖多少钱?比加工前多卖多少钱?,解析 (1)x千克这种蔬菜加工后可卖(1+40%)y(1-20%)x=1.12xy元. (2)1
21、000(1-20%)1.50(1+40%) =1 680(元). 1 680-1.501 000=180(元). 答:加工后原1 000千克这种蔬菜可卖1 680元,比加工前多卖180元.,1.(2018山东枣庄山亭期中,12,)若a是一位数,b是两位数,把b放在 a的左边,所得的三位数可以表示为 ( ) A.10a+b B.10b+a C.100a+b D.ab,答案 B 一个两位数乘10则变成三位数,由题意知,所得的三位数为10 b+a.,2.(2018陕西宝鸡长岭中学期中,14,)当x=- 时,代数式1-4x2的值是.,答案 0,解析 当x=- 时,1-4x2=1-4 =1-4 =0.,
22、3.(2018山东枣庄峄城期中,25,)按下列程序计算,把答案填写在表 格里,然后看看有什么规律,想想为什么会有这个规律.(8分) x 平方 +x 2 - x2 - x 答案 (1)填写表内空格:,(2)你发现的规律是 ; (3)用简要过程说明你发现的规律的正确性.,解析 (1)将2、-2、 分别代入程序中计算,即可输出结果,如下表所示.,(2)输入任何数的结果都为0. (3)因为输入x后,输出的答案为 - x2- x= x2+ x- x2- x=0,所以无 论x取何值,结果都为0,即输出的答案与输入的x的取值无关.,答案 B x=- ,y=4,3x+y-3=3 +4-3=-1+4-3=0,故
23、选B.,2.(2015福建厦门中考,7,)某商店举办促销活动,促销的方法是将 原价x元的衣服以 元出售,则下列说法中,能正确表达该商店促 销方法的是 ( ) A.原价减去10元后再打8折 B.原价打8折后再减10元 C.原价减去10元后再打2折 D.原价打2折后再减10元,答案 B 将原价为x元的衣服以 元出售,是将原价打8折后再 减去10元,故选B.,答案 0,解析 由题意可知m=-1,n=0,c=1, m2 015+2 016n+c2 017=(-1)2 015+2 0160+12 017=-1+1=0.,(2016甘肃天水中考,9,)有一根40 cm的金属棒,欲将其截成x根7 cm的小段
24、和y根9 cm的小段,剩余部分作废料处理,若使废料最少,则正 整数x、y应分别为 ( ) A.x=1,y=3 B.x=4,y=1 C.x=3,y=2 D.x=2,y=3,答案 C 由题意得剩余部分的长度为40-(7x+9y)cm.在A选项中,当x= 1,y=3时,剩余部分的长度为40-(17+39)=6(cm);在B选项中,当x=4,y=1 时,剩余部分的长度为40-(47+19)=3(cm);在C选项中,当x=3,y=2时,剩 余部分的长度为40-(37+29)=1(cm);在D选项中,当x=2,y=3时,剩余部 分的长度为40-(27+39)=-1(cm),不符合生活实际.故选C.,1.定
25、义新运算“*”:a*b= 当x=3时,计算(2*x)-(4*x)的结果为.,答案 8,解析 当x=3时,(2*x)-(4*x)=(2*3)-(4*3)=33-(4-3)=9-1=8.,2.已知代数式ax5+bx3+3x+c,当x=0时,该代数式的值为-1. (1)求c的值; (2)已知当x=1时,该代数式的值为-1,试求a+b+c的值.,解析 (1)根据题意,把x=0代入代数式,得c=-1. (2)根据题意,把x=1代入代数式,得a+b+3+c=-1, a+b+c=-4.,1.自从有了用字母表示数后,我们发现表达有关的数和数量关系更加简 便,有助于我们发现更多有趣的结论,请你按要求试一试: (
26、1)用代数式表示: a与b的差的平方; a与b两数的平方和与a,b两数积的2倍的差; (2)当a=3,b=-2时,求第(1)题中所列的代数式的值; (3)由第(2)题的结果,你发现了什么结论? (4)利用你发现的结论,求2 0142-4 0282 013+2 0132的值.,解析 (1)(a-b)2.a2+b2-2ab. (2)当a=3,b=-2时,(a-b)2=25;a2+b2-2ab=32+(-2)2-23(-2)=25. (3)(a-b)2=a2+b2-2ab. (4)2 0142-4 0282 013+2 0132 =2 0142-22 0142 013+2 0132 =(2 014-2 013)2=1.,2.某超市出售一种商品,其原价为a元,现有三种调价方案:先提价20%, 再降价20%;先降价20%,再提价20%;先提价15%,再降价15%. (1)问这三种方案调价结果是否一样? (2)最后是不是都恢复了原价?,解析 (1)(1+20%)(1-20%)a=0.96a;(1-20%)(1+20%)a=0.96a;(1 +15%)(1-15%)a=0.977 5a.前两种方案调价结果一样. (2)由(1)可知,这三种方案最后的价格与原价都不一样.,
