1、第三章 整式及其加减,初中数学（北师大版）七年级 上册,知识点 去括号法则 1.去括号法则 括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的 符号都不改变. 括号前是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉后,原括号里各项的符 号都要改变. 特别提醒 (1)括号外有数与之相乘时,可将括号前的数连同符号乘括号内的各项,也可先用分配律将括号外的数分别乘括号内的每一项,再根据去括号法则去括号.如-3(2x-4y)=-6x+12y,或-3(2x-4y)=-(6x-12y)=-6x+12y. (2)去多重括号时,一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号. (3)去括号口诀:去括号,看符号,
2、是“+”不变号,是“-”全变号.,解析 (1)原式=(6x2-3y2)-(6y2-4x2) =6x2-3y2-6y2+4x2 =10x2-9y2. (2)原式=-(2x2-6y2)-(6x2+3y2) =-2x2+6y2-6x2-3y2 =3y2-8x2. (3)4(a+b)-5(a-b)-6(a-b)+7(a+b) =4(a+b)+7(a+b)+-5(a-b)-6(a-b) =11(a+b)-11(a-b)=22b. 方法归纳 括号外有数与之相乘,去括号时有两种方法:一是将括号前 的数连同性质符号乘括号内各项,一次性去括号完成;二是先用分配律 只将括号外的数分别乘括号内的每一项,然后按去括号
3、法则去括号.,题型一 多项式的值与“字母”的取值无关的问题 例1 已知多项式(2x2+ax-y+b)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关, 求多项式3(a2-ab-b2)-(4a2+ab+b2)的值. 分析 已知整式的值与字母x无关,即合并同类项后,凡是含有字母x的 项的系数都为0.,解析 (2x2+ax-y+b)-(2bx2-3x+5y-1) =2x2+ax-y+b-2bx2+3x-5y+1 =(2-2b)x2+(a+3)x+(-y-5y+b+1). 由题意可知2-2b=0,a+3=0, 所以b=1,a=-3. 3(a2-ab-b2)-(4a2+ab+b2) =3a2-3ab
4、-3b2-4a2-ab-b2 =-a2-4ab-4b2. 当b=1,a=-3时,原式=-(-3)2-4(-3)1-412=-1. 点拨 整式经过化简后,若含某个字母的项的系数等于0,则这个整式的 值与该字母的取值无关;反之,当某个整式的值与某个字母的取值无关 时,则合并同类项后,整式中含该字母的项的系数等于0.,题型二 整式加减的应用 例2 小明看一本书,第一天看了x页,第二天看的页数比第一天看的页 数的2倍少25页,第三天看的页数比第一天看的页数的一半多42页,已知 小明刚好三天看完这本书. (1)用含x的代数式表示这本书的总页数; (2)若x=100,试计算这本书的总页数.,解析 (1)根
5、据题意可知第二天看了(2x-25)页,第三天看了 页. 又因为刚好三天看完,所以这本书的总页数为x+(2x-25)+ = x+ 17. (2)当x=100时, x+17= 100+17=367. 所以当x=100时,这本书共有367页. 点拨 运用整式的加减法解决应用问题时,先根据题意列出代数式,然 后利用整式的加减法进行化简,有时也需要代入求值.,易错点 去括号时出现错误 例 化简:(x-x2+1)-2(x2-1+3x). 错解 (x-x2+1)-2(x2-1+3x) =x-x2+1-(2x2-1+6x)=x-x2+1-2x2-1+6x=-3x2+7x. 正解 (x-x2+1)-2(x2-1
6、+3x) =x-x2+1-(2x2-2+6x)=x-x2+1-2x2+2-6x =-3x2-5x+3. 错因分析 若括号前面是“-”号,去括号时常常忘记改变括号内每一 项的符号而出现错误;括号前面有数字因数,去括号时没把数字因数与 括号内的每一项相乘,出现漏乘的现象.只有严格按照去括号法则,才可 避免出现错误.,知识点 去括号法则 1.下列去括号中正确的是 ( ) A.x+(3y+2)=x+3y-2 B.a2-(3a2-2a+1)=a2-3a2-2a+1 C.y2+(-2y-1)=y2-2y-1 D.m3-(2m2-4m-1)=m3-2m2+4m-1,答案 C 根据去括号法则,可知x+(3y+
7、2)=x+3y+2; a2-(3a2-2a+1)=a2-3a2+2a-1; y2+(-2y-1)=y2-2y-1; m3-(2m2-4m-1)=m3-2m2+4m+1. 只有C选项正确,故选C.,2.一个多项式加上3x2y-3xy2的和为x3-3x2y,则这个多项式是 ( ) A.x3+3xy2 B.x3-3xy2 C.x3-6x2y+3xy2 D.x3-6x2y-3xy2,答案 C 由题意得,所求多项式为(x3-3x2y)-(3x2y-3xy2)=x3-3x2y-3x2y+3xy2 =x3-6x2y+3xy2.,3.(2016广东深圳锦华实验学校期中)长方形的一边长等于3x+2y,其邻边 比
8、它长x-y,则这个长方形的周长是 ( ) A.4x+y B.12x+2y C.8x+2y D.14x+6y,答案 D 长方形的周长为2(3x+2y)+2(3x+2y+x-y)=6x+4y+8x+2y=14x+ 6y.故选D.,4.(2016广西南宁四十七中月考)化简: (1)4x2-3x+8-2(3x2+4x-5); (2)2a2- - ab.,解析 (1)原式=4x2-3x+8-6x2-8x+10 =-2x2-11x+18. (2)原式=2a2- - ab =2a2- ab+ a2-8ab- ab = a2-9ab.,5.化简求值. (1)4(y-1)+2(1-x)-2(x+2y),其中x=
9、- ,y=3; (2)2(3m2+2n2)-3(4m2-n2),其中m=-2,n=1.,解析 (1)原式=4y-4+2-2x-2x-4y =(4y-4y)+(-4+2)+(-2x-2x) =-2-4x. 当x=- 时,原式=-2-4 =-2+2=0. (2)原式=6m2+4n2-12m2+3n2 =(6m2-12m2)+(4n2+3n2)=-6m2+7n2. 当m=-2,n=1时,原式=-6(-2)2+712=-24+7=-17.,1.在-( )=-x2+3x-2的括号里面应填上的代数式是 ( ) A.x2-3x-2 B.x2+3x-2 C.x2-3x+2 D.x2+3x+2,答案 C 分别将
10、选项中的代数式代入括号中,然后去括号,对照等号两 边是否相等.,2.已知A=5x2-3x+4,B=3x2-3x-2,则A与B的大小关系为 ( ) A.AB B.AB C.A=B D.不能确定,答案 A A-B=(5x2-3x+4)-(3x2-3x-2)=5x2-3x+4-3x2+3x+2=2x2+60,所以 AB.,3.甲对乙说:“有一个游戏,规则是任想一个数,把这个数乘2,结果加上8, 再除以2,最后减去所想的数,此时我就能知道运算结果.”请你解释甲为 什么能知道结果.,解析 设所想的数为a,根据规则得 (2a+8)-a=a+4-a=4,所以无论你想的 是什么数,最后结果都为4.,4.便民超
11、市原有(5x2-10x)桶食用油,上午卖出(7x-5)桶,中午休息时又购 进同样的食用油(x2-x)桶,下午清仓时发现该食用油只剩下5桶,请问: (1)便民超市中午过后一共卖出多少桶食用油? (2)当x=5时,便民超市中午过后一共卖出多少桶食用油?,解析 (1)5x2-10x-(7x-5)+(x2-x)-5=5x2-10x-7x+5+x2-x-5=6x2-18x. 答:便民超市中午过后一共卖出(6x2-18x)桶食用油. (2)当x=5时,6x2-18x=652-185=150-90=60. 答:当x=5时,便民超市中午过后一共卖出60桶食用油.,1.已知m-n=100,x+y=-1,则代数式
12、(n-x)-(m+y)的值是 ( ) A.99 B.101 C.-99 D.-101,答案 C 当m-n=100,x+y=-1时,(n-x)-(m+y)=n-x-m-y=-(m-n)-(x+y)=-100- (-1)=-99,故选C.,2.使(ax2-2xy+y2)-(x2+3y2)=6x2+bxy-cy2成立时,a= ,b= ,c= .,答案 7;-2;2,解析 (ax2-2xy+y2)-(x2+3y2) =ax2-2xy+y2-x2-3y2 =(a-1)x2-2xy-2y2. 由已知得(a-1)x2-2xy-2y2=6x2+bxy-cy2,所以a-1=6,b=-2,-2=-c,即a=7,b
13、=-2,c=2.,3.在数轴上表示a,b两个有理数的点的位置如图3-4-2-1所示,则化简|a+b| -|a-b|的结果为 .图3-4-2-1,答案 -2b,解析 由数轴得a0,且a+b0,a-b0, 所以|a+b|-|a-b|=-(a+b)-(a-b)=-a-b+a-b=-2b.,4.已知A-2B=7a2-7ab,且B=-4a2+6ab+7. (1)求A等于多少; (2)若|a+1|+(b-2)2=0,求A的值.,解析 (1)因为A-2B=7a2-7ab,B=-4a2+6ab+7, 所以A-2B=A-2(-4a2+6ab+7)=7a2-7ab, 所以A=(7a2-7ab)+2(-4a2+6a
14、b+7)=7a2-7ab-8a2+12ab+14=-a2+5ab+14. (2)依题意得a+1=0,b-2=0,所以a=-1,b=2. 所以A=-a2+5ab+14=-(-1)2+5(-1)2+14=3.,1.(2015湖北十堰中考)当x=1时,ax+b+1的值为-2,则(a+b-1)(1-a-b)的值为 ( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16,答案 A 把x=1代入ax+b+1中,可得a+b+1=-2,即a+b=-3,(a+b-1)(1-a- b)=(a+b-1)1-(a+b)=(-3-1)1-(-3)=-16.故选A.,2.小林是个小马虎,他在计算3a2+7b与某个整式相减时,把减
15、法看成了加 法,结果为-2a2+1,那么正确的结果应该是 .,答案 8a2+14b-1,解析 由已知得(3a2+7b)+( )=-2a2+1, 所以( )=-2a2+1-(3a2+7b)=-2a2+1-3a2-7b =-5a2-7b+1. 正确的结果为3a2+7b-(-5a2-7b+1) =3a2+7b+5a2+7b-1=8a2+14b-1.,3.将4个数a、b、c、d排成2行2列,两边各加一条竖直线为 ,叫做2 阶行列式,定义 =ad-bc,则 = .,答案 -11x2+5,解析 由题意,知原式=-5(x2-3)-2(3x2+5) =-5x2+15-6x2-10=-11x2+5.,一、选择题
16、 1.(2018广东广州九十七中期中,8,)若m+n=-1,则(m+n)2-2m-2n的 值是 ( ) A.3 B.0 C.1 D.2,答案 A (m+n)2-2m-2n=(m+n)2-2(m+n),因为m+n=-1,所以原式=(-1)2-2 (-1)=1+2=3.故选A.,解析 (1)原式=5x-3y+1. 当x=1,y=2时,原式=51-32+1=5-6+1=0. (2)原式=2ab+3b2-5-3ab-3b2+8 =-ab+3. 当a=2,b=3时, 原式=-23+3 =-6+3=-3.,3.(2018辽宁大连沙河口期中,20,)我国出租车的收费标准因地而 异,甲城市为:起步价7元,3千
17、米后每千米收费1.7元;乙城市为:起步价10 元,3千米后每千米收费1.2元. (1)试问:在甲、乙两城市乘坐出租车x(x3)千米各收费多少元? (2)如果在甲、乙两城市乘坐出租车的路程都为8千米,那么哪个城市的 收费高?高多少?,解析 (1)在甲城市乘坐出租车x(x3)千米应收费:7+(x-3)1.7=7+1.7x- 5.1=(1.7x+1.9)元. 在乙城市乘坐出租车x(x3)千米应收费:10+(x-3)1.2=10+1.2x-3.6=(1.2x +6.4)元, 即在甲城市乘坐出租车x(x3)千米收费为(1.7x+1.9)元,在乙城市乘坐出 租车x(x3)千米收费为(1.2x+6.4)元.
18、 (2)当x=8时,1.7x+1.9=1.78+1.9=15.5(元),1.2x+6.4=1.28+6.4=16(元), 16-15.5=0.5, 在甲、乙两城市乘坐出租车的路程都为8千米时,乙城市的收费高,高 0.5元.,1.(2018江西吉安期中,21,)如图所示,数轴上的三点A、B、C分别 表示有理数a、b、c,则(1)a 0,b 0,c 0,b+c 0(用“”“”或“=”填空); (2)化简:|a|-|b|-|c|+|b+c|.,解析 (1);0,b0,c0,b+c0, 因此|a|-|b|-|c|+|b+c| =a-b-(-c)+-(b+c) =a-b+c-b-c =a-2b.,2.(
19、2018辽宁本溪南芬中学月考,22,)把四张形状大小完全相同的 小长方形卡片(如图1)不重叠地放在一个底面长为m厘米、宽为n厘米 的长方形的盒子底部(如图2),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示. (1)试用含m、n的代数式表示出图中两块阴影部分的周长的和; (2)求出当n=8时,两块阴影部分的周长的和.,解析 (1)由题图可知,小长方形卡片的宽为x cm,长为y cm,所以2x+y=m, 根据题意得,两块阴影部分的周长的和为2m+2(n-y)+2(n-2x) =2(m+n-y+n-2x) =2m+2n-(2x+y) =2(m+2n-m) =4n(cm). (2)当n=8时,两块阴影部分的周
20、长的和为48=32(厘米). 答:当n=8时,两块阴影部分的周长的和为32厘米.,一、选择题 1.(2015山东济宁中考,2,)化简-16(x-0.5)的结果是 ( ) A.-16x-0.5 B.16x+0.5 C.16x-8 D.-16x+8,答案 D 利用乘法对加法的分配律计算,-16(x-0.5)=-16x+8,故选D.,答案 -1,解析 解法一:4a+3b=1, 8a+6b-3=2(4a+3b)-3=21-3=-1. 解法二:4a+3b=1,a= , 8a+6b-3=8 +6b-3=2-6b+6b-3=-1.,3.(2016河北中考,18,)若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10
21、= .,答案 1,解析 2mn+3m-5nm+10=-3mn+3m+10,把mn=m+3代入,原式=-3(m+3)+3 m+10=-3m-9+3m+10=-9+10=1.,三、解答题 4.(2013福建厦门中考,18(1),)化简:5a+2b+(3a-2b).,解析 5a+2b+(3a-2b)=5a+2b+3a-2b=8a.,1.(2016山东菏泽中考,4,)当1a2时,代数式|a-2|+|1-a|的值是 ( ) A.-1 B.1 C.3 D.-3,答案 B 当1a2时,a-20,1-a0,|a-2|+|1-a|=-(a-2)+-(1-a)=2-a+a-1 =1.,答案 B 新长方形的周长为2
22、a-b+(a-3b)=4a-8b.故选B.,3.(2013山东济南中考,16,)化简:3(2x+1)-6x= .,答案 3,解析 3(2x+1)-6x=6x+3-6x=3.,1.已知多项式 -(3x-2y+1-nx2)的值与字母x的取值无关, 求多项式(m+2n)-(2m-n)的值.,解析 -(3x-2y+1-nx2) =2x2+mx- y+3-3x+2y-1+nx2 =(2+n)x2+(m-3)x+ y+2, 因为多项式的值与x的取值无关, 所以2+n=0,m-3=0,所以n=-2,m=3. 所以(m+2n)-(2m-n)=m+2n-2m+n =-m+3n=-3+3(-2)=-9.,2.为了
23、加强公民的节水意识,合理利用水资源,某市采用价格调控的手段 达到节水的目的,该市自来水收费的价目表如下(注:水费按月份结算,m3 表示立方米):,请根据上表的内容解答下列问题: (1)若某户居民2月份用水4 m3,则应收水费 元; (2)若该户居民3月份用水a m3(其中6a10),则应收水费多少元?(用含a 的代数式表示,并化简) (3)若该户居民4月份和5月份两个月共用水15 m3(5月份用水量超过了4 月份),设4月份用水x m3,求该户居民4月份和5月份两个月共交水费多少 元.(用含x的代数式表示,并化简),解析 (1)8. (2)4(a-6)+62=4a-12, 所以应收水费(4a-
24、12)元. (3)因为5月份用水量超过了4月份,所以4月份用水量少于7.5 m3. 当4月份用水量少于5 m3时,5月份用水量超过10 m3,所以4、5月份共 交水费2x+8(15-x-10)+44+62=(-6x+68)元; 当4月份用水量大于或等于5 m3但不超过6 m3时,5月份用水量不少于 9 m3但不超过10 m3,所以4、5月份共交水费2x+4(15-x-6)+62=(-2x+48)元; 当4月份用水量超过6 m3且少于7.5 m3时,5月份用水量超过7.5 m3但少 于9 m3,所以4、5月份共交水费4(x-6)+62+4(15-x-6)+62=36(元).,陈老师和学生做一个猜
25、数游戏,他让学生按照以下步骤进行计算: 任想一个两位数a,把a乘2,再加上9,把所得的和再乘2; 把a乘2,再加上30,把所得的和除以2; 把所得的结果减去所得的结果,这个差即为最后的结果. 陈老师说:只要你告诉我最后的结果,我就能猜出你最初想的两位数a. 学生周晓晓计算的结果是96,陈老师立即猜出周晓晓最初想的两位数是31. (1)请用含a的式子表示游戏的过程; (2)学生小明计算的结果是120,你能猜出他最初想的两位数是多少吗? (3)请用自己的语言解释陈老师猜数的方法.,解析 (1)由题意可知,第步运算的结果为2(2a+9)=4a+18, 第步运算的结果为 (2a+30)=a+15, 则第步所得的最后结果为(4a+18)-(a+15)=3a+3. (2)若最后结果为120,则3a+3=120, 解得a=39. 故小明最初想的两位数是39. (3)陈老师猜数的方法:将学生所得的最后结果除以3,再减去1;或者将学 生所得的最后结果减去3,再除以3.,
