1、第三章 整式及其加减,初中数学（北师大版）七年级 上册,例 (2016吉林长春汽车经济技术开发区期中)如图3-5-1,观察图形,寻 找规律,在“?”处应填的数是 .图3-5-1,解析 题图中第2个数为21,第3个数为-22,第4个数为23,按此规律, “?”处应填的数为-28=-256.,题型一 等式中的规律探索 例1 (2014广西百色中考)观察下列等式: 32-12=8, 52-12=24, 72-12=48, 92-12=80, 由以上规律可以得出第n个等式为 .,解析 通过观察发现,等号的左边中被减数是连续奇数的平方,减数是1 2,等号的右边是两个连续偶数的乘积.所以第n个等式为(2n
2、+1)2-12=2n(2 n+2),即(2n+1)2-12=4n(n+1).,题型二 几何图形的规律探索 例2 (2014重庆中考B卷)如图3-5-2,下列图形都是按照一定规律组成 的,第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个 图形中共有14个三角形,依此规律,第五个图形中三角形的个数是 ( )图3-5-2 A.22 B.24 C.26 D.28,答案 C 点拨 本题考查了图形的规律探究,解题的关键是发现三角形个数的规 律,从第一个图形开始分析,然后依次计数、列表分析,有助于获得规律.,探索规律中的数学抽象 典例剖析,例 将正方形ABCD(如图3-5-3)作如下划分: 第
3、1次划分:分别连接正方形ABCD对边的中点(如图3-5-3),得线段HF 和EG,它们交于点M,此时图3-5-3中共有5个正方形; 第2次划分:将图3-5-3左上角的正方形AEMH再作划分,得图3-5-3, 则图3-5-3中共有9个正方形. (1)若每次都把左上角的正方形依次划分下去,则第3次划分后,图中共有 个正方形; (2)继续划分下去,第n次划分后,图中共有多少个正方形?,解析 (1)13. (2)观察可得,第n次划分后,图中共有(4n+1)个正方形. (3)1- . 提示: = + + + =1- + - + - + - =1- .,知识点 探索规律的一般方法 1.(2015山东德州中
4、考)一组数1,1,2,x,5,y,满足“从第三个数起,每个 数都等于它前面的两个数之和”,那么这组数中y表示的数为 ( ) A.8 B.9 C.13 D.15,答案 A 根据“从第三个数起,每个数都等于它前面的两个数之和”, 得x=2+1=3,y=3+5=8,故选A.,2.用正三角形和正六边形按如图3-5-1所示的规律拼图案,则第n个图案 中正三角形的个数为 .图3-5-1,答案 2n+2,解析 第一个图案共有4个正三角形, 第二个图案比第一个图案增加了2个正三角形, 第三个图案比第二个图案增加了2个正三角形, 第n个图案共有4+2(n-1)=(2n+2)个正三角形.,3.将连续奇数1,3,5
5、,7,9,排成如图3-5-2所示的数阵:, 图3-5-2 观察数阵,回答下列问题. (1)“十字架”中的五个数的和与正中间的数19有什么关系? (2)若用a表示正中间的数,请用代数式表示五个数的和.,解析 (1)“十字架”中的五个数的和为5+17+19+21+33=95,是正中间 的数19的5倍.(2)如图,用a表示正中间的数,则“十字架”中的五个数分别为(a-14),(a -2),a,(a+2),(a+14),则这五个数的和为(a-14)+(a-2)+a+(a+2)+(a+14)=5a.,1.(2016湖南邵阳中考)如图所示,下列各三角形中的三个数之间均具有 相同的规律,根据此规律,最后一个
6、三角形中y与n之间的关系是 ( )A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1,答案 B 根据3=1+21,6=2+22,11=3+23,总结规律,y与n之间的关系式为y =n+2n,故选B.,2.如图所示,按这种规律堆放圆木,则第10堆有圆木( ) A.50根 B.60根 C.65根 D.55根,答案 D 第1堆有圆木1根,第2堆有圆木(1+2)根,第3堆有圆木(1+2+3) 根,故第10堆有圆木1+2+3+10=55(根).,3.观察下面的数的排列规律,写出后面的数: 2,4,6,8,10,则第n个数为 ; 3,5,7,9,则第n个数为 ; 3,9,27,
7、81,则第n个数为 ; 1,6,11,16,21,26,则第n个数为 ; 1, , , , ,则第n个数为 .,答案 2n 2n+1 3n 5n-4 ;,解析 这列数为21,22,23,则第n个数为2n. 这列数为21+1,22+1,23+1,则第n个数为2n+1. 这列数为31,32,33,34,则第n个数为3n. 这列数为1,1+5,1+25,1+35,则第n个数为1+5(n-1)=5n-4. 分子为1,3,5,7,则第n个数的分子为2n-1, 分母为1,4,9,16,则第n个数的分母为n2, 故第n个数为 .,1.图3-5-3都是用同样大小的棋子按一定规律摆成的,其中第1幅图有4枚 棋子
8、,第2幅图有9枚棋子,第3幅图有14枚棋子,第4幅图有19枚棋子, 依此规律,第n幅图棋子的枚数是 ( )图3-5-3 A.4n+1 B.4n+2 C.5n-1 D.6n-2,答案 C 第1幅图有4=(51-1)枚棋子,第2幅图有9=(52-1)枚棋子,第3 幅图有14=(53-1)枚棋子,第n幅图有(5n-1)枚棋子.,2.小明妈妈买了一块正方形地毯,地毯上有由“”组成的图案(如图3- 5-4).观察局部有如此规律:小明数“”的个数的方法是用“L”来划 分的,从右上角的1个开始,一层一层往外数,第一层1个,第二层3个,第三 层5个,这样他发现了连续奇数求和的方法.图3-5-4 通过阅读上段材
9、料,请完成下列问题: (1)1+3+5+7+9+27+29= ;,(2)13+15+17+197+199= ; (3)1+3+5+(2n-1)+(2n+1)= .,答案 (1)225 (2)9 964 (3)(n+1)2,解析 (1)由题中的规律知,1+3+5+27+29= =152=225. (2)1+3+5+197+199= =1002=10 000, 1+3+5+7+9+11= =36, 13+15+17+197+199=10 000-36=9 964. (3)1+3+5+(2n-1)+(2n+1)= =(n+1)2.,1.(2015广西崇左中考)如图是将正三角形按一定规律排列的,则第4
10、个图 形中所有正三角形的个数为 ( )A.160 B.161 C.162 D.163,答案 B 题图中第1个图形中有正三角形1+4=5个,第2个图形中有正 三角形1+4+34=17个,第3个图形中有正三角形1+4+34+334=53个, 故第4个图形中有正三角形1+4+34+334+3334=161个.故选B.,2.(2015贵州黔南州中考)甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依次循环 报数,规定:甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4,接着甲 报5,乙报6,后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1,按此 规律,当报到的数是50时,报数结束;若报出的数为3的倍数,则报该数 的同学需拍手一次
11、.在此过程中,甲同学需要拍手的次数为 .,答案 4,解析 因为504=122,所以甲共报数13次,分别为1,5,9,13,17,21,25, 29,33,37,41,45,49,其中是3的倍数的有9,21,33,45,所以甲同学应拍手4次, 故答案为4.,答案 B 根据排列规律,知10下面的数是12,10右面的数是14,8=24 -0,22=46-2,44=68-4,m=1214-10=158.,2.(2018广东梅州实验中学第二次质检,7,)在一列数:a1,a2,a3,an 中,a1=3,a2=7,从第三个数开始,每一个数都等于它前面两个数之积的个 位数字,则这一列数中的第2 017个数是
12、( ) A.1 B.3 C.7 D.9,答案 B 因为a1=3,a2=7,a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,a8=7,所以周期 为6, 因为2 0176=3361,所以a2 017=a1=3.故选B.,解析 (1)第一个图形中正方形有1=12个,周长为4=(4+60)cm, 第二个图形中正方形有4=22个,周长为10=(4+61)cm, 第三个图形中正方形有9=32个,周长为16=(4+62)cm, 故第四个图形中正方形有42=16个,周长为4+63=22 cm. (2)根据规律可知,第n个图形由n2个正方形组成, 周长为4+6(n-1)=(6n-2)cm. (3)由题意可知,
13、6n-2=58,所以n=10,此时正方形有102=100个.,1.(2017山东枣庄台儿庄期中,10,)下列图形都是由同样大小的小 圆圈按一定规律组成的,其中第个图形中一共有6个小圆圈,第个图 形中一共有9个小圆圈,第个图形中一共有12个小圆圈,按此规律 排列,则第个图形中小圆圈的个数为 ( )A.21 B.24 C.27 D.30,答案 B 观察图形可以看出,从第个图形开始,每个图形比前一个多 3个小圆圈,故第 个图形有6+3(n-1)个小圆圈.当n=7时,6+3(n-1)=6+3 (7-1)=24,即第个图形中小圆圈的个数为24.,2.(2017广东湛江二十七中期中,10,)如图所示,将一
14、个圆依次二等 分、三等分、四等分、五等分、,并按图中规律在半径上摆入黑色 棋子,则第1幅图中有5个棋子,第2幅图中有10个棋子,第3幅图中有17个 棋子,第4幅图中有26个棋子,依此规律,则第6幅图中所含棋子数目为( )A.51 B.20 C.49 D.50,答案 D 第1幅图中有22+1=5个棋子,第2幅图中有32+1=10个棋子,第3 幅图中有42+1=17个棋子,第n幅图中有(n+1)2+1个棋子,故第6幅 图中有(6+1)2+1=50个棋子.,3.(2016河北保定十七中期末,20,)将一列有理数-1,2,-3,4,-5,6, 按如图所示有序排列.如:“峰1”中峰顶C的位置是有理数4;
15、“峰2”中 峰顶C的位置是有理数-9,根据图中的排列规律可知,“峰6”中峰顶C的 位置是有理数 ,2 016应排在A、B、C、D、E中的 位置.,答案 -29;E,解析 “峰n”中峰顶C位置的有理数的绝对值为5n-1,且该有理数奇数 为负,偶数为正.故“峰6”中峰顶C位置的有理数的绝对值为56-1=29, 因为29为奇数,所以“峰6”中峰顶C位置的有理数为-29.每五个位置一 循环,(2 016-1)5=403,故2 016应排在E位置.,4.(2018广东深圳锦华实验学校期中,23,)观察下列等式: 第1个等式:a1= = ; 第2个等式:a2= = ; 第3个等式:a3= = ; 第4个等
16、式:a4= = ; 请解答下列问题: (1)按以上规律列出第6个等式:a6= = ; (2)若n是正整数,请用含n的代数式表示第n个等式,an= = ; (3)求a1+a2+a3+a100的值.,解析 (1)a6= = . (2)an= = . (3)a1+a2+a3+a100 = + + + + = = = .,答案 C 第个图形中有3=(12+2)个菱形, 第个图形中有7=(22+3)个菱形, 第个图形中有13=(32+4)个菱形, 第个图形中有92+10=91个菱形, 故选C.,答案 9n+3,解析 由图形及数字规律可知,第n个图中正方形的个数为5n+1,等边三 角形的个数为4n+2,所
17、以正方形和等边三角形的个数之和为5n+1+4n+2 =9n+3.,图3-5-9 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图3-5-10所示的三角形数阵,观察这三 个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第一个圆圈中的 数分别为n-1,2,n),发现三个三角形数阵各行同一个位置上三个圆圈中,数的和均为 .由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总 和为3(12+22+32+n2)= .因此,12+22+32+n2= .图3-5-10 【解决问题】 根据以上发现,计算 的结果为 .,1.(2017四川绵阳中考,12,)如图所示,将形状、大小完全相同的 “”和线段按照一定规律摆成下列图形
18、.第1幅图中“”的个数为a 1,第2幅图中“”的个数为a2,第3幅图中“”的个数为a3,以此 类推,则 + + + 的值为 ( )A. B. C. D.,2.(2014湖北十堰中考,7,)根据下图中箭头的指向规律,从2 013到 2 014再到2 015,箭头的方向是以下选项中的 ( ),答案 D 由题图可知,每4个数为一个循环组,又因为2 0134=503 1,所以2 013是第504个循环组的第2个数,所以从2 013到2 014再到2 015, 箭头的方向是 .,3.(2016黑龙江绥化中考,19,)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21, 叫做三角形数,它有一定的规律性.若把第一
19、个三角形数记为a1,第二个 三角形数记为a2,第n个三角形数记为an,计算a1+a2,a2+a3,a3+a4, 由此推算a399+a400= .,答案 1.6105,解析 a1+a2=4=22,a2+a3=9=32,a3+a4=16=42,a399+a400=4002=1.61 05,故答案为1.6105.,4.(2015广东深圳中考,15,)观察如图所示的图形,它们是按一定规 律排列的,依照此规律,第5个图形有 个太阳.,答案 21,解析 每个图形第一行的规律是1,2,3,4,故第5个图形的第一行有5个 太阳;每个图形第二行的规律是1,2,4,8,故第5个图形的第二行有16个 太阳,第5个图
20、形共有21个太阳.,1.有一个数学游戏,其规则是:对一个“数串”中任意相邻的两个数,都 用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,产生一个新 “数串”,这称为一次操作.例如:对于数串2,7,6,第一次操作后产生的新 数串为2,5,7,-1,6;对产生的新数串进行同样的操作,第二次操作后产生 的新数串为2,3,5,2,7,-8,-1,7,6;对数串3,1,6也进行这样的操作,第30次操 作后所产生的那个新数串中所有数的和是 .,答案 100,解析 根据题意,对于数串3,1,6,第一次操作后产生的新数串为3,-2,1,5, 6,其和为13;第二次操作后产生的新数串为3,-5,-2,3,1,
21、4,5,1,6,其和为16. 数串3,1,6的和为10,观察发现,每个新数串的和比上一个数串的和多3,故 第30次操作后所产生的新数串中所有数的和为10+330=100.,2.探索规律: 我们把分子为1的分数叫做单位分数,如 , , ,任何一个单位分数都 可以拆成两个不同单位分数的和,如 = + , = + , = + , (1)观察上述式子,你会发现 = + ,请你写出所表示的数: , 所表示的数: ; (2)进一步思考,单位分数 = + (n0,且n为整数),请写出,所表示 的式子.,解析 (1)6;30. (2)表示n+1,表示n(n+1). 拓展训练任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和, 如:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,按此规律,若m3分裂后其中 有一个奇数是2 015,则m的值是 ( ) A.46 B.45 C.44 D.43,答案 B 23可“分裂”成2个连续奇数的和,33可“分裂”成3个连 续奇数的和,43可“分裂”成4个连续奇数的和,m3可分裂成m个连续 奇数的和,所以,从23到m3用过的奇数的个数为2+3+4+m= , 2n+1=2 015,n=1 007,奇数2 015是从3开始的第1 007个奇数, =989, =1 034,第1 007个奇数是453“分 裂”后其中的一个奇数,即m=45.故选B.,
