1、第二章 有理数及其运算,初中数学（北师大版）七年级 上册,第二章 有理数及其运算,知识点一 用正、负数表示具有相反意义的量 1.正、负数的概念 我们小学时学习了像1,2, ,的数,现在我们把像上面这样的数叫做正 数,即大于0的数叫做正数,而在正数前面加上“-”号的数叫做负数. 温馨提示 (1)0既不是正数也不是负数.这里“0”是一个比较特殊的 数,它是正数和负数的分界线,但不属于它们当中的任何一个. (2)正数前面的“+”号可以省略,负数前面的“-”号不能省略.,2.具有相反意义的量,例1 (1)如果节约10吨水记作+10吨,那么浪费2吨水记作什么? (2)如果-2 015元表示亏本2 015
2、元,那么+1 009元表示什么? (3)如果+20%表示增加20%,那么-8%表示什么?,解析 (1)浪费2吨水记作-2吨. (2)+1 009元表示盈利1 009元. (3)-8%表示减少8%.,知识点二 有理数的概念及分类,温馨提示 (1)在对有理数进行分类时,分类标准不同,分类的形式也不 同,对于每一个分类标准,要做到不重、不漏、不混淆. (2)有限小数与无限循环小数可以化成分数,所以是有理数;无限不循环 小数,如,0.252 252 225(相邻的两个5之间依次多一个2)不能化成分 数,所以不是有理数. 例1 下列说法正确的是 ( ) A.正有理数和负有理数统称为有理数 B.非负整数就
3、是指0、正整数和所有分数 C.正整数和负整数统称为整数 D.整数和分数统称为有理数,解析 A项中,有理数应该包括正有理数、0和负有理数;B项中,非负整 数是指0和正整数,不包括分数;C项中,整数中还漏掉了数字0,D正确.,答案 D,题型一 用正数、负数表示误差范围 例1 某苹果箱上标明苹果的总质量为15 k ,则这箱苹果的最大质 量为 kg.如果某箱苹果的总质量为14.95 kg,那么这箱苹果 (填“符合”或“不符合”)标准.,解析 苹果的总质量为15 k ,说明一箱苹果的最大质量比15 kg多 0.02 kg,最小质量比15 kg少0.03 kg,即符合标准的某箱苹果的最小质量 为14.97
4、 kg,最大质量为15.02 kg.因为14.9514.97,所以这箱苹果不符合 标准.,答案 15.02;不符合 点拨 解决此类问题的关键是正确理解题中“+、-”号的含义:“+” 号表示比标准量多,“-”号表示比标准量少.,题型二 有理数的分类 例2 把下列这些数填入相应的集合中: 5,- ,0,0.56,-3,-25.8, ,-0.000 1,+2,-600,0.333 33. 正整数集合: ; 负整数集合: ; 正分数集合: ; 负分数集合: ; 正数集合: ; 负数集合: . 分析 有理数的分类:按照定义有理数分为整数和分数两部分,其中整数包括正整数、0、负整数;按照符号有理数分为正有
5、理数、0、负有理数三部分.,解析 正整数集合:5,+2,; 负整数集合:-3,-600,; 正分数集合: ; 负分数集合: ; 正数集合: ; 负数集合: .,易错点 不能正确理解有理数的分类 例 下列各数哪些是正数?哪些是负数?哪些是分数?哪些是整数? +2 016,-3.2, ,10.58,0,-9,+1,- . 错解 正数:+2 016,+1,; 负数: ; 分数: ; 整数:+2 016,0,+1,. 正解 正数: ; 负数: ;,分数: ; 整数:+2 016,0,-9,+1,. 错因分析 没有真正掌握有理数的分类,误认为含有“+”号的数才是 正数,导致正数中漏了 ,10.58,受小
6、学时对数的认识的影响,分数中漏掉 了-3.2,10.58,整数中漏掉了-9.,知识点一 用正、负数表示具有相反意义的量 1.(2015江苏南通中考)如果水位升高6 m时水位变化记作+6 m,那么水 位下降6 m时水位变化记作 ( ) A.-3 m B.3 m C.6 m D.-6 m,答案 D 水位升高用正数表示,则水位下降用负数表示,故下降6 m应 记作-6 m.选D.,2.下列各组量中,具有相反意义的量有 ( ) “身高增加2 cm”和“体重减少1 kg”;水库水位“上升1.6米”与 “下降1.8米”;“盈利50万元”与“亏损160万元”. A.1组 B.2组 C.3组 D.0组,答案 B
7、 具有相反意义的量的序号为.故选B.,3.向东走3 m,接着又向东走-3 m,结果是 ( ) A.向东走6 m B.向西走3 m C.向西走6 m D.回到原地,答案 D 向东走-3 m,即向西走3 m,故回到原地.,知识点二 有理数的概念及分类 4.下列说法错误的是 ( ) A.-2是负有理数 B.0不是整数 C. 是正有理数 D.-0.25是负分数,答案 B 0是整数,故B选项说法错误.,5.下列各数:-2,+3.5,0,- ,-0.7,11,其中负分数有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 B 负分数有- 和-0.7,共2个.,6.把下列各数按要求分别填入相应的集合中:
8、 0.05,1,- ,-126,72.1,0,-12%, ,+729,-628,-3 ,3. ,-1 000.01. (1)正整数集合: ; (2)负分数集合: ; (3)整数集合: ; (4)非负数集合: .,解析 (1)正整数集合:1,+729,. (2)负分数集合: . (3)整数集合:1,-126,0,+729,-628,. (4)非负数集合: .,1.(2016北京师大附中河南分校期中)若支出20元记为+20元,则-50元表 示 .,答案 收入50元,解析 支出与收入是一对具有相反意义的量,支出为正,则收入为负.,2.(2017贵州遵义四中月考)在-1, ,0.618,0,-5%,2
9、 017,0.5中,整数有 个,分数有 个.,答案 3;4,解析 整数有-1,0,2 017,共3个.分数有 ,0.618,-5%,0.5,共4个.,3.用正数和负数表示下列具有相反意义的量. (1)温度上升3 和下降5 (上升为正); (2)盈利5万元和亏损10万元(盈利为正); (3)向东走10米和向西走7米(向东为正); (4)运进50箱苹果和运出30箱苹果(运进为正).,解析 (1)+3 ,-5 .(2)+5万元,-10万元. (3)+10米,-7米.(4)+50箱,-30箱.,1.下列语句:不带“-”号的数都是正数;如果a是正数,那么-a一定是 负数;不存在既不是正数也不是负数的数;
10、0 表示没有温度.其中 正确的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,答案 B 只有正确.,2.一艘潜水艇所在的海拔高度为-50 m,若一条鲨鱼在潜水艇下方10 m 处,则鲨鱼所在的海拔高度为 ( ) A.-60 m B.-50 m C.10 m D.-10 m,答案 A 潜水艇在海平面下50 m处,鲨鱼在潜水艇下方10 m处,故鲨鱼 在海平面下60 m处,所以鲨鱼所在的海拔高度为-60 m,故选A.,3.(2016山西大同一中期中)下列说法正确的有 ( ) (1)整数就是正整数和负整数;(2)零是整数,但不是自然数;(3)分数包括 正分数、负分数;(4)正数和负数统称为有理数;(
11、5)一个有理数,它不是整 数就是分数. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,答案 B 整数包括正整数、0和负整数,故(1)错误;零是整数,也是自然 数,故(2)错误;正数、负数和0统称为有理数,故(4)错误.正确的是(3)(5), 共2个.,1.下列说法中,错误的是 ( ) A.整数一定是自然数 B.自然数一定是整数 C.自然数一定是非负整数 D.自然数一定是有理数,答案 A 负整数是整数,但负整数不是自然数,故A错误.,2.图中重合部分A处可以填入的数是 .(只需填入一个满足条件的 数即可),答案 -2(答案不唯一),解析 因为整数包含正整数、零、负整数,负数包含负整数和负分数, 故重合
12、部分表示负整数,所以A处只需填上一个负整数即可.,3.在生产图纸上通常用30 来表示轴的加工要求,这里300表示直 径是300 mm,+0.2和-0.5是指直径在(300-0.5)mm到(300+0.2)mm之间的 产品都属于合格产品.现加工一批轴,尺寸要求是4 ,请检验直径为 44.97 mm和45.04 mm的两根轴是不是合格产品.,解析 这批轴的尺寸要求是在(45-0.04)mm到(45+0.03)mm之间,即尺寸 在44.96 mm到45.03 mm之间都为合格,所以直径为44.97 mm的轴合格, 直径为45.04 mm的轴不合格.,一、选择题 1.(2018重庆巴南月考,7,)小明
13、身高165 cm,以小明的身高为标准, 小明爸爸身高175 cm,记作+10 cm,小明妈妈身高163 cm,应记作 ( ) A.-2 cm B.12 cm C.2 cm D.-12 cm,答案 A 165-163=2(cm),由已知可知,高出小明身高记为“+”,则小 明妈妈比小明低2 cm应记为-2 cm.,2.(2018辽宁本溪南芬中学第二次月考,3,)既不是正数也不是整 数的有理数是 ( ) A.0和负分数 B.负分数 C.负整数和负分数 D.正整数和正分数,答案 B 0是整数,故选项A不正确;负分数既不是正数也不是整数,故 选项B正确;负整数是整数,故选项C不正确;正整数是整数,故选项
14、D不正 确.,二、填空题 3.(2018安徽合肥四十二中第一次月考,12,)在数 、-2、0、15、 130%、0.25中,正数有 个.,答案 4,解析 正数中的正号可以省略不写,负数中的负号不能省略,0既不是正 数,也不是负数,故正数有 、15、130%、0.25,共4个.,1.(2018山西阶段第二次质量评估,1,)如果向北走3步记作+3步,那 么向南走8步记作 ( ) A.+8步 B.-8步 C.+11步 D.-11步,答案 B 向北走记为“+”,则向南走记为“-”,故选B.,2.(2016山东潍坊寿光世纪学校月考,8,)下列说法正确的是 ( ) A.一个数不是整数就是负数 B.整数和小
15、数统称有理数 C.有理数中没有最小的非负整数 D.0既不是正数也不是负数,答案 D 如 ,既不是整数也不是负数,选项A错误;整数和分数统称有 理数,选项B错误;最小的非负整数是0,选项C错误,故选D.,3.(2018河南济源期中,18,)把下面的有理数填在相应的大括号里: 15,- ,0,-30,0.15,-128, ,+20,-2.6.(8分) 正数集合: ; 负数集合: ; 整数集合: ; 分数集合: .,解析 正数集合: ; 负数集合: ; 整数集合:15,0,-30,-128,+20,; 分数集合: .,选择题 1.(2017四川成都中考,1,)九章算术中注有“今两算得失相 反,要令正
16、负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反,则分别叫做正数 与负数.若气温为零上10 记作+10 ,则-3 表示气温为 ( ) A.零上3 B.零下3 C.零上7 D.零下7 ,答案 B 由题意知,“-”代表气温为零下,所以-3 表示气温为零下3 ,故选B.,2.(2016甘肃天水中考,1,)四个数-3,0,1,中的负数是 ( ) A.-3 B.0 C.1 D.,答案 A -3是负数;0既不是正数,也不是负数;1和都是正数,故选A.,3.(2017贵州六盘水中考,1,)大米包装袋上(100.1)kg的标识表示 此袋大米重 ( ) A.(9.910.1)kg B.10.1 kg C.9.9 kg
17、D.10 kg,答案 A +0.1表示比标准10千克多0.1千克;-0.1表示比标准10千克少 0.1千克,所以此袋大米重(9.910.1)kg,故选A.,1.(2016广东广州中考,1,)中国人很早开始使用负数,中国古代数 学著作九章算术的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负 数.如果收入100元记作+100元,那么-80元表示 ( ) A.支出20元 B.收入20元 C.支出80元 D.收入80元,答案 C 如果收入100元记作+100元,那么-80元表示支出80元,故选C.,2.(2015广东广州中考,1,)四个数-3.14,0,1,2中,为负数的是 ( ) A.-3.14 B.0
18、 C.1 D.2,答案 A 比0小的数是负数,四个数中为负数的是-3.14.故选A.,1.观察下面依次排列的数,请直接写出后面的3个数,并写出第15个数、 第101个数、第2 018个数. (1)-1,-2,+3,-4,-5,+6,-7,-8, , ,; (2)-1, ,-3, ,-5, ,-7, , , ,.,解析 (1)+9;-10;-11. 第15个数为+15,第101个数为-101,第2 018个数为-2 018. (2)-9; ;-11. 第15个数为-15,第101个数为-101,第2 018个数为 .,2.图2-1-1中有A,B,C三个数集,每个数集中所包含的数都写在下面的括 号
19、内,请把这些数填入对应的三个圈内. A=3,2,0,4,B=5,6,-5,0,2,C=-5,0,4,-2.图2-1-1,解析 如图.,1.在小学我们学习了偶数0,2,4,6,8,以及奇数1,3,5,7,9,现在我们学 习了负数,也知道了负偶数与负奇数,负偶数为-2,-4,-6,-8,负奇数为-1, -3,-5,-7,下面我们将这些负偶数与负奇数排列,如图:在上述的这些数中,观察它们的规律,并求-101在哪一列.,解析 以8个数作为一个循环段,则第96个数在第一列,第100个数在第 五列,所以第101个数在第四列,即-101在第四列.,2.一种商品的标准单价是200元,但随着季节的变化,商品的单价可浮动 10%. (1)10%的含义是什么? (2)请计算出该商品的最高单价和最低单价; (3)如果以标准单价为基准,超过标准单价记为“+”,低于标准单价记为 “-”,则该商品单价的浮动范围又可以怎样表示?,解析 (1)+10%表示比标准单价高10%,-10%表示比标准单价低10%. (2)最高单价为200(1+10%)=220(元),最低单价为200(1-10%)=180(元). (3)该商品单价的浮动范围可以表示为-20+20元.,
